第一节特征值与特征向量

第五章矩阵的相似标准型第一节特征值与特征向量第二节相似矩阵第三节矩阵的对角化第四节实对称矩阵的对角化1第一节特征值与特征向量一．特征值与特征向量的概念二．特征值与特征向量的计算三．特征值与特征向量的性质2一．特征值与特征向量的概念定义：设A是数域P上一个n阶方阵，如果存在数域P中数和n维非零列向量,使得特征值的特征向量．则称为矩阵A的特征值，称为A的属于在几何中，在物理学、化学、生物学等的问题.于是我们抽象出下述概念.学科中，都会提出是否有向量满足3如①:设因此，2是A的一个特征值，是A的属于由于特征值2的一个特征向量．因此，-3是A的一个特征值，是A的属于特征值-3的一个特征向量．又4①方阵A可以有几个不同的特征值．②A的属于同一个特征值的特征向量有无穷多个．说明：问题：如何判断数域P上的n阶矩阵是否有特征值和特征向量？若有的话，如何求A的全部特征值和特征向量？5是A的属于特征值的特征向量分析：二．特征值与特征向量存在性的判断与计算6定义：则称为A的特征多项式．方程称为A的特征方程．即7定理1设A是数域P上一个n阶方阵，则是A的一个特征值是A的特征方程在数域P上的一个根．是A的属于特征值的特征向量说明：(1)判断A是否有特征值就是判断A的特征方程在数域P上是否有根．(2)求A的属于特征值的全部特征向量就是求齐次线性方程组的所有非零解。齐次线性方程组的一个非零解。8☆求A的全部特征值及特征向量的方法：2.求A的特征方程在数域P上的全部根的全部特征值；就是A则1.计算A的特征多项式3.对于A的每一个特征值,求出齐次线性方程组的一个基础解系，则A的属于的全部特征向量为不全为零9例1求如下矩阵的特征值和特征向量.(1)求特征值.

则A的全部特征值为解：A的特征方程为分别求出的非零解(2)求特征向量,即

10对于特征值解齐次线性方程组对系数矩阵做初等行变换：11一个基础解系是则A的属于的全部特征向量是(c1为不等于零任意常数)一般解是12对于特征值解齐次线性方程组对系数矩阵做出等行变换：13一个基础解系是(c2,

c3为不全为零任意常数).一般解是则A的属于的全部特征向量是14例２求如下矩阵复数域上的特征值和特征向量.A的全部特征值为解：A的特征方程是实数域上的矩阵A没有特征值,复数域上的矩阵15对于特征值求出齐次线性方程组基础解系为则A的属于的全部特征向量是(c1为不等于零任意常数)16对于特征值求出齐次线性方程组基础解系为则A的属于的全部特征向量是(c2为不等于零任意常数)问题：对角矩阵(上、下三角阵)的特征值是什么？答案：主对角线元素17（1）属于矩阵A的每一个特征值的特征向量加上零向量构成向量空间，称为A的特征子空间。说明几个概念和结论：（2）把特征值在特征多项式中的重数称为的代数重数；把属于的特征子空间的维数称为的几何重数。（3）对于每一个特征值而言，它的几何重数总不大于它的代数重数。18三．特征值与特征向量的性质特征值为，则19则⑴⑵☆n阶方阵A的迹：n阶方阵A的主对角元素之和称为A的迹，记作

tr(A),即性质1设的特征值为行列式的另一种计算法20性质2复特征值.复数域上的任意n阶方阵A必有n个全不为零.n阶方阵A可逆A的n个特征值性质3例3的一个特征值.证明：已知是A的一个特征值，则是kA∵是A的特征值,∴存在非零向量使得成立，21证：∵是A的特征值,∴存在非零向量使得成立，试证：是A-1的特征值.例4A是n阶可逆矩阵，是A的特征值，(书P163—例5.1.4)22解：∵是A的特征值,练习：若A可逆,且是A的一个特征值,则答案:个特征值是（）23例5设是n阶方阵A的特征值，证明是A2的特征值.证：是A2的特征值.易知，是的特征值。例6已知A的n个特征值是求3E-A的特征值.(书P163—例5.1.5)24解：∵矩阵3E-A的特征多项式∴3E-A的n个特征值是易知，A+3E的n个特征值是25练习设是n阶方阵A的特征值，则有A2+4E必有特征值（）.性质4从以上例子可以得出若是A的特征值,f(A)为A的多项式,则必是f(A)的特征值。A2+3A必有特征值（）.A2+3A+4E必有特征值（）.A5+3A3+2A+E必有特征值（）.26作业P1779(1)1027例7(幂等矩阵：若A2=A，则称A为幂等矩阵)若A是幂等矩阵，证明A的特征值只能是0或1．证：28例8证明n阶方阵A