第二节-龙格-库塔方法教学资料

基本思想：利用在某些特殊点上的函数值的线性组合来构造高阶单步法的平均斜率。第二节

龙格-库塔法什么叫平均(píngjūn)斜率？对差商应用微分中值定理，有，利用微分方程，有这里的称为平均斜率。第一页，共27页。可将改进的欧拉格式(géshi)改写成的算术(suànshù)平均值作为平均斜率。该公式可以看作是用和两个点处的斜率和由改进型欧拉公式我们可以猜想，如果在内多预测几个点的斜率(xiélǜ)，再对他们进行加权平均，可能得到精度更好的平均斜率！第二页，共27页。下面以2阶龙格-库塔方法为例来阐述(chǎnshù)这种思想考察区间上的一点，用和的斜率和的加权平均作为平均斜率的近似值：即取其中和是待定常数。若取，则问题在于如何确定处的斜率和常数和。第三页，共27页。仿照改进的欧拉方法，用欧拉方法预测的值，并用它来估计斜率：于是得到如下(rúxià)形式的算法：通过适当选取参数和的值，使得公式具有2阶精度(jīnɡdù)！！第四页，共27页。由泰勒公式展开(zhǎnkāi)，要使公式具有2阶精度，只需方程组有无穷(wúqióng)多解：二级方法有无穷(wúqióng)多种常见(chánɡjiàn)的3种二级方法：中点法（修正的Euler法）取二阶龙格库塔方法取第五页，共27页。三级方法(fāngfǎ)：N=3类似于N=2的推导方法(fāngfǎ)，可得到常见(chánɡjiàn)的2种三阶方法：库塔三阶方法第六页，共27页。四级方法(fāngfǎ)：N=4局部截断误差常见(chánɡjiàn)的2种四阶方法：经典(jīngdiǎn)龙格-库塔方法第七页，共27页。解：例2：用经典的龙格-库塔方法求解下列初值问题。经典(jīngdiǎn)的四阶龙格-库塔公式：第八页，共27页。0.10.20.30.40.51.09541.18321.26491.34161.41420.60.70.80.91.01.48321.54921.61251.6733

1.7321同保留(bǎoliú)5位的精确值完全一致：0.10.20.30.40.51.09541.18321.26491.34161.41420.60.70.80.91.01.48321.54921.61251.6733

1.7321第九页，共27页。第十页，共27页。二、高阶和隐式Runge-Kutta方法(fāngfǎ)注：对于显式N级R-K方法，最多只能(zhīnénɡ)得到N级方法；N

1,2,3,4

5,6,78,910,11,…NN-1N-2已经证明N级R-K方法的阶具有下列关系：若要得到(dédào)N阶以上方法，则使用N级隐式R-K方法N级隐式R-K方法的一般形式：N级隐式R-K法可以达到2N阶第十一页，共27页。(1)一级二阶的隐式中点(zhōnɡdiǎn)方法：(2)二级四阶的隐式R-K方法(fāngfǎ)：第十二页，共27页。三、变步长方法(fāngfǎ)基本思想：根据(gēnjù)精度自动地选择步长对于经典Runge-Kutta方法：Step1:设从出发，以为步长，经过一步计算得到Step2:取为步长，再从出发，经过两步计算得到第十三页，共27页。记如果，则将步长折半进行计算，直到为止此时取为最终结果；如果，则将步长加倍进行计算，直到为止此时将步长折半一次计算，得到的为最终结果。第十四页，共27页。一、收敛性/*Convergence*/§3单步法的收敛性、相容性和绝对(juéduì)稳定性对于初值问题的一种单步法产生的近似解，如果对于任一固定的，均有，则称该单步法是收敛的。类似(lèisì)地可以定义隐式单步法、多步法（§4）的收敛性第十五页，共27页。设初值问题（*）对应的下列单步法是阶的，且函数满足对的Lipschitz条件，即存在常数则该单步法是收敛的，且证明(zhèngmíng)：记由截断误差的定义(dìngyì)第十六页，共27页。因为单步法是阶的：满足其中第十七页，共27页。二、相容性/*Consistency*/对于阶方法：若方法（**）的增量函数满足：则称该方法与初值问题（*）相容。第十八页，共27页。设方法（**）与初值问题（*）相容，且满足L-条件，则该方法（**）是收敛的，即当固定，时再由相容性得：上式说明：当时，方法（**）趋于原微分方程本章讨论的数值方法(fāngfǎ)都是与原初值问题相容的第十九页，共27页。三、绝对(juéduì)稳定性/*AbsoluteStibility*/计算(jìsuàn)过程中产生的舍入误差对计算(jìsuàn)结果的影响首先(shǒuxiān)以Euler公式为例，来讨论一下舍入误差的传播:设实际计算得到的点的近似函数值为，其中为精确值，为误差如果，则误差是不增的，故可认为是稳定的第二十页，共27页。例如(lìrú)：对于初值问题精确解为而实际求解的初值问题为精确解为在处的误差为可见误差随着的增加呈指数函数增长如果初值问题为精确解为第二十一页，共27页。实际求解的初值问题为精确解为在处的误差为可见误差随着的增加呈指数函数递减当时，微分方程是不稳定的；而时，微分方程是稳定的。上面讨论的稳定性，与数值方法和方程中有关第二十二页，共27页。实验方程：对单步法应用实验方程，如果，当时，则称该单步法是绝对稳定的，在复平面上复变量满足的区域，称为该单步法的绝对稳定域，它与实轴的交集称为绝对稳定区间。若单步法是阶的，则由实验方程可得：第二十三页，共27页。例3：分别求Euler法和经典(jīngdiǎn)的R-K法的绝对稳定区间。解：Euler公式：将其应用于实验(shíyàn)方程绝对稳定域：当时，绝对稳定区间：经典的R-K公式：第二十四页，共27页。第二十五页，共27页。当时，绝对稳定区间：可以证明：