初中数学浙教版八年级下册第2章一元二次方程2．4一元二次方程根与系数的关系

浙教版八年级下册第2章一元二次方程根与系数的关系同步练习一、单选题（共15题；共30分）1、已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个根，则x1+x2等于（）A、-4

B、-1

C、1

D、42、△ABC的一边长为5，另两边分别是方程x2﹣6x+m=0的两根，则m的取值范围是（）A、m＞

B、＜m≤9

C、≤m≤9

D、m≤3、已知x1、x2是方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5=0的两个实数根，则x12+x22的最大值是（）A、19

B、18

C、15

D、134、如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2，x2=﹣1，那么p，q的值分别是（）A、1，﹣2

B、﹣1，﹣2

C、﹣

D、1，25、若一元二次方程﹣3x2+6x+m=0的一个根为x1=3，则该方程的另一个根是（）A、x2=﹣1

B、x2=﹣3

C、x2=﹣5

D、x2=56、已知一元二次方程x2﹣3x﹣3=0的两根为α与β，则的值为（）A、-1

B、1

C、-2

D、27、方程x2﹣2023|x|+2023=0的所有实数根之和是（）A、﹣2023

B、0

C、2023

D、20238、已知3m2﹣2m﹣5=0，5n2+2n﹣3=0，其中m，n为实数，则|m﹣|=（）A、0

B、

C、

D、0或9、如果关于x的方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一个正根，则实数a的取值范围是（）A、﹣2＜a＜2

B、

C、

D、10、设x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3=0的两根，则x13﹣4x22+15等于（）A、-4

B、8

C、6

D、011、若α，β是方程x2﹣2x﹣2=0的两个实数根，则α2+β2的值为（

）A、10

B、9

C、8

D、712、若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+的最小值为（）A、1

B、2

C、

D、13、若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（

）A、x2+3x﹣2=0

B、x2﹣3x+2=0

C、x2﹣2x+3=0

D、x2+3x+2=014、若α，β是方程x2+2x﹣2023=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（

）A、2023

B、2023

C、﹣2023

D、401015、如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，那么这个一元二次方程是（

）A、x2+3x+4=0

B、x2+4x﹣3=0

C、x2﹣4x+3=0

D、x2+3x﹣4=0二、填空题（共5题；共6分）16、已知x1，x2是一元二次方程4x2﹣（3m﹣5）x﹣6m2=0的两个实数根，且，则________．17、已知a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，则代数式a2+b+3的值为________

．18、等腰△ABC中，BC=8，若AB、AC的长是关于x的方程x2﹣10x+m=0的根，则m的值等于________．19、从﹣4、-、0、、4这五个数中，任取一个数作为a的值，恰好使得关于x的一元二次方程2ax2﹣6x﹣1=0有两个不相等的实数根，且使两个根都在﹣1和1之间（包括﹣1和1），则取到满足条件的a值的概率为________．20、已知分式，当x=2时，分式无意义，则a=________；当a为a＜6的一个整数时，使分式无意义的x的值共有________个．三、解答题（共3题；共15分）21、已知实数m，n（m＞n）是方程的两个根，求的值．22、已知x1，x2是方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5=0的实数根（x1，x2可相等）

（1）证明方程的两根都小于0；

（2）当实数k取何值时x12+x22最大？并求出最大值．23、已知：关于x的方程x2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）若α，β是这个方程的两个实数根，求：的值；

（3）根据（2）的结果你能得出什么结论？四、综合题（共3题；共35分）24、已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC=5．(1)k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？(2)k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求此时△ABC的周长．25、已知：关于x的一元二次方程mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣3=0（m＞3）．(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2（用含m的代数式表示）；

①求方程的两个实数根x1，x2（用含m的代数式表示）；

②若mx1＜8﹣4x2，直接写出m的取值范围．26、如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=﹣p，x1•x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：(1)若p=﹣4，q=3，求方程x2+px+q=0的两根．(2)已知实数a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，求+的值；(3)已知关于x的方程x2+mx+n=0，（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数．

答案解析部分一、单选题1、【答案】D

【考点】根与系数的关系

【解析】【解答】解：∵方程x2﹣4x+1=0的两个根是x1，x2，

∴x1+x2=﹣（﹣4）=4．

故选D．

【分析】据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和即可．2、【答案】B

【考点】根与系数的关系，三角形三边关系

【解析】【解答】解：设三角形另两边分别为a、b（a≥b），

根据题意得△=（﹣6）2﹣4m≥0，解得m≤9，

a+b=6，ab=m，

∵a＜b+5，即a﹣b＜5，

∴（a﹣b）2＜25，

∴（a+b）2﹣4ab＜25，即36﹣4m＜25，

∴m＞，

∴m的取值范围是＜m≤9．

故选B．

【分析】设三角形另两边分别为a、b（a≥b），先利用判别式的意义得到m≤9，根据根与系数的关系得到a+b=6，ab=m，由于a＜b+5，则利用完全平方公式变形得到（a﹣b）2＜25，所以（a+b）2﹣4ab＜25，即36﹣4m＜25，解得m＞，于是可得到m的取值范围是＜m≤9．3、【答案】B

【考点】根与系数的关系，二次函数的最值

【解析】【解答】解：由方程有实根，得△≥0，即（k﹣2）2﹣4（k2+3k+5）≥0

所以3k2+16k+16≤0，

所以（3k+4）（k+4）≤0

解得﹣4≤k≤﹣．

又由x1+x2=k﹣2，x1•x2=k2+3k+5，得

x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（k﹣2）2﹣2（k2+3k+5）=﹣k2﹣10k﹣6=19﹣（k+5）2，

当k=﹣4时，x12+x22取最大值18．

故选：B．

【分析】根据x1、x2是方程x2﹣（k﹣2）x+（k2+3k+5）=0的两个实根，由△≥0即可求出k的取值范围，然后根据根与系数的关系求解即可．4、【答案】B

【考点】根与系数的关系

【解析】【解答】解：根据题意得2+（﹣1）=﹣p，2×（﹣1）=q，

所以p=﹣1，q=﹣2．

故选：B．

【分析】根据根与系数的关系得2+（﹣1）=﹣p，2×（﹣1）=q，然后解方程即可．5、【答案】A

【考点】根与系数的关系

【解析】【解答】解：由根与系数的关系得3+x2=﹣=2，解得x2=﹣1．

故选A．

【分析】设方程的另一个解为x2，根据根与系数的关系得到3+x2=﹣=2，然后解一次方程即可．6、【答案】A

【考点】根与系数的关系

【解析】【解答】解：根据题意得α+β=3，αβ=﹣3，

所以===﹣1．

故选A．

【分析】先根据根与系数的关系得到α+β=3，αβ=﹣3，再通分得到=，然后利用整体代入的方法计算．7、【答案】B

【考点】根与系数的关系

【解析】【解答】解：当x＞0时，原方程化为x2﹣2023x+2023=0，方程的两根之和为2023；

当x＜0时，原方程化为x2+2023x+2023=0，方程的两根之和为﹣2023，

所以方程x2﹣2023|x|+2023=0的所有实数根之和是0．

故选B．

【分析】先根据绝对值的意义分类讨论：当x＞0时，原方程化为x2﹣2023x+2023=0；当x＜0时，原方程化为x2+2023x+2023=0，然后根据根与系数的关系分别得到两个方程的两根之和，再求所有根之和．8、【答案】D

【考点】一元二次方程的解，根与系数的关系

【解析】【解答】解：由3m2﹣2m﹣5=0得m1=﹣1，m2=；

由5n2+2n﹣3=0得n1=，n2=﹣1．

=，

①当m=﹣1，n=时，原式=；

②当m=﹣1，n=﹣1时，原式=0；

③当m=，n=时，原式=0；

④当m=，n=﹣1时，原式=．

综上所述，=0或．

故答案为0或．

【分析】先分别解方程求m，n的值，再把m，n的值分别组合出不同的情形计算求解．9、【答案】C

【考点】根的判别式，根与系数的关系

【解析】【解答】解：∵△=a2﹣4（a2﹣3）=12﹣3a2

（1）当方程有两个相等的正根时，△=0，此时a=±2，

若a=2，此时方程x2﹣2x+1=0的根x=1符合条件，

若a=﹣2，此时方程x2+2x+1=0的根x=﹣1不符舍去，

（2）当方程有两个根时，△＞0可得﹣2＜a＜2，

①若方程的两个根中只有一个正根，一个负根或零根，则有a2﹣3≤0，解可得﹣≤a≤，而a=﹣时不合题意，舍去．

所以﹣＜a≤符合条件，

②若方程有两个正根，则，

解可得a＞，

综上可得，﹣＜a≤2．

故选C．

【分析】根据方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一个正根，则方程一定有两个实数根，即△≥0，关于x的方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一个正根⇔（1）当方程有两个相等的正根，（2）当方程有两个不相等的根，①若方程的两个根中只有一个正根，一个负根或零根，②若方程有两个正根，结合二次方程的根的情况可求．10、【答案】A

【考点】根与系数的关系

【解析】【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3=0的两根，

∴x1+x2=﹣1，x1x2=﹣3，

∵x13=x1x12=x1（3﹣x1）=3x1﹣x12，

∴x13﹣4x22+15=3x1﹣x12﹣4x22+15=3x1﹣x12﹣x22﹣3x22+15=3（x1+x2）﹣（x1+x2）2+2x1x2+6，

∴x13﹣4x22+15=﹣3﹣1﹣6+6=﹣4，

故选：A．

【分析】首先求出两个之和与两根之积，然后把x13﹣4x22+15转化为3（x1+x2）﹣（x1+x2）2+2x1x2+6，然后整体代入即可．11、【答案】C

【考点】根与系数的关系

【解析】【解答】解：根据题意得α+β=2，αβ=﹣2，所以α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=22﹣2×（﹣2）=8．

故选C．

【分析】根据根与系数的关系得到α+β=2，αβ=﹣2，再利用完全平方公式变形得α2+β2=（α+β）2﹣2αβ，然后利用整体代入的方法计算．12、【答案】D

【考点】根与系数的关系

【解析】【解答】解：根据题意得△=4m2﹣4（m2+3m﹣2）≥0，解得m≤

x1+x2=﹣2m，x1x2=m2+3m﹣2，

x1（x2+x1）+=（x2+x1）2﹣x1x2

=4m2﹣（m2+3m﹣2）

=3m2﹣3m+2

=3（m﹣）2+，

所以m=时，x1（x2+x1）+有最小值，最小值为．

故选D．

【分析】根据判别式的意义得到m≤，再利用根与系数的关系得到x1+x2=﹣2m，x1x2=m2+3m﹣2，所以x1（x2+x1）+=（x2+x1）2﹣x1x2=3m2﹣3m+2，利用配方法得到原式=3（m﹣）2+，然后利用非负数的性质可判断x1（x2+x1）+的最小值为．13、【答案】B

【考点】根与系数的关系

【解析】【解答】解：两个根为x1=1，x2=2则两根的和是3，积是2．

A、两根之和等于﹣3，两根之积等于﹣2，所以此选项不正确；

B、两根之和等于3，两根之积等于2，所以此选项正确；

C、两根之和等于2，两根之积等于3，所以此选项不正确；

D、两根之和等于﹣3，两根之积等于2，所以此选项不正确，

故选：B．

【分析】解决此题可用验算法，因为两实数根的和是1+2=3，两实数根的积是1×2=2．解题时检验两根之和是否为3及两根之积是否为2即可．14、【答案】B

【考点】一元二次方程的解，根与系数的关系

【解析】【解答】解：α，β是方程x2+2x﹣2023=0的两个实数根，则有α+β=﹣2．

α是方程x2+2x﹣2023=0的根，得α2+2α﹣2023=0，即：α2+2α=2023．

所以α2+3α+β=α2+2α+（α+β）=α2+2α﹣2=2023﹣2=2023．

故选B．

【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系求解则可．设x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2=，x1x2=．而α2+3α+β=α2+2α+（α+β），即可求解．15、【答案】C

【考点】根与系数的关系

【解析】【解答】解：方程两根分别为x1=3，x2=1，则x1+x2=﹣p=3+1=4，x1x2=q=3

∴p=﹣4，q=3，

∴原方程为x2﹣4x+3=0．

故选C．

【分析】由根与系数的关系求得p，q的值．二、填空题16、【答案】m=1或m=5

【考点】根与系数的关系

【解析】【解答】解：∵方程有两个实数根，由韦达定理知：，

∵，而由知，x1，x2异号．

故=﹣，令x1=3k，x2=﹣2k，

则得：，

从上面两式消去k，得：，

即：m2﹣6m+5=0，

解之得：m1=1，m2=5．

故答案为：1或5．

【分析】x1，x2是一元二次方程4x2﹣（3m﹣5）x﹣6m2=0的两个实数根，根据根与系数的关系即可解答．17、【答案】7

【考点】一元二次方程的解，根与系数的关系

【解析】【解答】解：∵a是方程x2﹣x﹣3=0的根，

∴a2﹣a﹣3=0，

∴a2=a+3，

∴a2+b+3=a+3+b+3

=a+b+6，

∵a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，

∴a+b=1，

∴a2+b+3=1+6=7．

故答案为7．

【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2﹣a﹣3=0，即a2=a+3，则a2+b+3化简为a+b+6，再根据根与系数的关系得到a+b=1，然后利用整体代入的方法计算即可．18、【答案】25或16

【考点】根与系数的关系，三角形三边关系，等腰三角形的性质

【解析】【解答】解：当AB=BC=8，把x=8代入方程得64﹣80+m=0，解得m=16，

此时方程为x2﹣10x+16=0，解得x1=8，x2=2；

当AB=AC，则AB+AC=10，所以AB=AC=5，则m=5×5=25．

故答案为25或16．

【分析】讨论：根据等腰三角形性质当AB=BC=8，把x=8代入方程可得到m=16，此时方程另一根为2，满足三角形三边关系；当AB=AC，根据根与系数得关系得AB+AC=10，所以AB=AC=5，所以m=5×5=25．19、【答案】

【考点】根的判别式，根与系数的关系，概率公式

【解析】【解答】解：∵当a=﹣4时，原方程可化为﹣8x2﹣6x﹣1=0，解得x1=﹣，x2=﹣，符合题意；

当a=﹣时，原方程可化为﹣7x2﹣6x﹣1=0，解得x1=﹣，x2=﹣，符合题意；

当a=0时，原方程可化为﹣6x﹣1=0，解得x1=﹣，不符合题意；

当a=时，原方程可化为7x2﹣6x﹣1=0，解得x1=1，x2=﹣，符合题意；

当a=4时，原方程可化为8x2﹣6x﹣1=0，解得x1=﹣，x2=，符合题意．

∴取到满足条件的a值的概率=．

故答案为：．

【分析】分别把这5个数代入关于x的一元二次方程2ax2﹣6x﹣1=0，求出x的值，再根据概率公式即可得出结论．20、【答案】6；2

【考点】分式有意义的条件，根与系数的关系

【解析】【解答】解：由题意，知当x=2时，分式无意义，

∴分母=x2﹣5x+a=22﹣5×2+a=﹣6+a=0，

∴a=6；

当x2﹣5x+a=0时，△=52﹣4a=25﹣4a，

∵a＜6，

∴△=25﹣4a＞0，

故当a＜6的整数时，分式方程有两个不相等的实数根，

即使分式无意义的x的值共有2个．

故答案为6，2．

【分析】根据分式无意义的条件：分母等于零求解．三、解答题21、【答案】解：∵方程的二次项系数a=1，一次项系数b=﹣2，常数项c=2，

∴b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×2=4，

∴x=

=

=±1，

∴m=+1，n=﹣1；

∴+=

=

=

=4．

【考点】根与系数的关系

【解析】【分析】根据根与系数的关系求得一元二次方程的根，然后将其代入所求的代数式求值．22、【答案】（1）证明：∵△=（k﹣2）2﹣4（k2+3k+5）≥0，

∴﹣4≤k≤﹣，

∵x1+x2=k﹣2，x1x2=k2+3k+5，

∴x1+x2=k﹣2＜0，x1x2=k2+3k+5＞0，

∴方程的两根都小于0；

（2）解：x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（k﹣2）2﹣2（k2+3k+5）=﹣k2﹣10k﹣6=﹣（k+5）2+19，

∵﹣4≤k≤﹣，

∴k=﹣4时，x12+x22有最大值，最大值为﹣（﹣4+5）2+19=18．

【考点】根的判别式，根与系数的关系

【解析】【分析】（1）根据判别式的意义得到△=（k﹣2）2﹣4（k2+3k+5）≥0，解此不等式得到﹣4≤k≤﹣，再由根与系数的关系得x1+x2=k﹣2，x1x2=k2+3k+5，利用k的取值范围有x1+x2=k﹣2＜0，x1x2=k2+3k+5＞0，于是利用有理数的性质即可判断方程的两根都小于0；

（2）利用完全平方公式得到x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（k﹣2）2﹣2（k2+3k+5）=﹣（k+5）2+19，然后根据二次函数的最值问题求解．23、【答案】解：（1）△=4+4k，

∵方程有两个不等实根，

∴△＞0，

即4+4k＞0

∴k＞﹣1

（2）由根与系数关系可知α+β=﹣2，

αβ=﹣k，

∴=，

（3）由（1）可知，k＞﹣1时，的值与k无关．

【考点】根与系数的关系

【解析】【分析】（1）由方程x2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根，可以求出△＞0，由此可求出k的取值范围；

（2）欲求的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．

（3）只要满足△＞0（或用k的取值范围表示）的值就为一定值．四、综合题24、【答案】（1）解：根据题意得[x﹣（k+1）][x﹣（k+2）]=0，

解得，x1=k+1，x2=k+2，

若△ABC是直角三角形，且BC是斜边，

那么有（k+1）2+（k+2）2=52，

解得k1=2，k2=﹣5（不合题意舍去），

∴k=2

（2）解：①如果AB=AC，△=（2k+3）2﹣4（k2+3k+2）=04k2+12k+9﹣4k2﹣12k﹣8=1≠0，

不可能是等腰三角形．

②如果AB=5，或者AC=5

x1=5，52﹣（2k+3）×5+k2+3k+2=0

k2﹣7k+12=0

（k﹣4）（k﹣3）=0

k=4或者k=3（都符合题意）

k=4时：

x2﹣11x+30=0

（x﹣5）（x﹣6）=0，∴AB=5，AC=6，周长L=5+5+6=16，

k=3时：

x2﹣9x+20=0

（x﹣4）（x﹣5）=0，∴AB=4，AC=5，周长L=4+5+5=14

【考点】根与系数的关系，等腰三角形的性质，勾股定理

【解析】【分析】（1）先解方程可得x1=k+1，x2=k+2，若△ABC是直角三角形，且BC是斜边，那么有（k+1）2+（k+2）2=