zfs 第 3 章 测试系统特性

第3章测试系统的特性MeasurementSystemCharacteristics

3.1测试系统及其主要性质(MeasurementSystemanditsProperties)3.2测试系统的静态特性(StaticCharacteristicsofMeasurementSystem)3.3

测试系统的动态特性(DynamicCharacteristicsofMeasurementSystem)3.4

测试系统在典型输入下的响应(ResponsewithTypicalInputSignals)3.5

实现不失真测试的条件(ConditionofNon-distortedMeasurement)3.6

测试系统静态特性和动态特性的测定(DeterminestaticandDynamic

Characteristics)3.7

测量误差的基本概念(ConceptofMeasurementError)第一节测试系统及其主要性质(MeasurementSystemanditsProperties)h(t)H(s)测试系统输入或激励x(t)X(s)Y(s)y(t)输出或响应

★测试系统方框图

★理想的测试系统

应具有单值的、确定的输入-输出关系，以线性关系最佳。

★定常线性系统或时不变线性系统

x(t)和y(t)之间满足常系数线性微分方程式（3.1）：式(3.1)

系数an、an-1、…、a0和bm、bm-1、…、b0均为常数。通常n>m，表明系统是稳定的，即系统的输入不会使输出发散。系数的大小和量纲取决于系统的结构及所用元器件的参数。当n=1时，称系统为一阶系统，n=2，为二阶系统，依此类推.

★严格地说，很多物理系统是时变的，因为构成系统的材料、元器件的特性并非都是非常稳定的。在工程中，通常以足够的精确度把时变线性系统当作时不变线性系统来处理。

★定常线性系统的主要性质

1、叠加原理若则即作用于线性系统的各个输入所产生的输出互不影响，总输出等于所有单个输入作用时的输出相叠加。2、比例特性（也称齐次性）若对于任意常数k，有3、微分特性系统对输入微分的响应等于对原输入响应的微分，即4、积分特性

如果系统的初始状态为零，则系统对输入积分的响应等于原输入响应的积分，即

5、频率保持特性

即信号经过测试装置后，幅值可能放大或缩小，相位也可能发生变化，但频率不会变化。这一性质在工程中非常重要。因为测试得到的信号常受到其他信号或噪声的干扰，依据这一性质可认定测得信号中只有与输入信号同频的成分才是真正由输入引起的.两点说明：

★只要一个系统满足叠加性和比例性，该系统就是线性系统.

★非线性系统的分析与求解十分困难。在许多情况下，非线性系统可在一定范围内近似为线性系统，并用线性系统的理论进行分析与求解，这使得对线性系统的研究更为重要。

若系统输入为简谐信号，则其稳态输出也为同频简谐信号，即第二节测试系统的静态特性(StaticCharacteristicsofMeasurementSystem)★测试系统的静态特性——是指静态测量情况下描述实际测试装置与理想定常线性系统的接近程度。★静态特性方程

测试装置处于静态测量时，输入x(t)和输出y(t)不随时间变化或其随时间变化的周期远远大于测试时间，式(3.1)各阶微分等于0，则式(3.7)即输入和输出之间呈单调、线性比例关系,式(3.7)为静态特性方程.

实际测试系统，输入和输出之间并不是理想的直线，式(3.7)变为：

★非线性度——测试系统的输出与输入之间保持常值线性比例关系的程度。y=Sxxyy=S1x+S2x2+S3x3

+xy一、非线性度

★定度曲线——通常用实验测定的方法求得的表示系统输入输出关系的曲线。

工程上用定度曲线的拟合直线作为参考理想直线。非线性度——定度曲线偏离其拟合直线的程度。常用百分数表示，即在测试装置标称输出范围（全量程）A内，定度曲线与拟合直线的最大偏差B于A的百分比，即式(3.8)非线性度是无量纲的。常用的两种拟合直线的方法：0BAx测量范围拟合曲线校准曲线0BAx测量范围端基直线校准曲线0Ax测量范围端基直线校准曲线（1）端基直线：通过测量范围上、下限点的直线。该方法简单，但其线性度较差。

（2）独立直线：拟合直线与定度曲线间偏差Bi的平方和最小，即∑Bi2最小的直线。二、灵敏度

★灵敏度——表征测试系统对输入信号变化的一种反应能力。x∆y∆xy★对于理想的定常线性系统，★灵敏度的量纲取决于输入-输出的量纲。当二者相同时，则灵敏度是一个无量纲的数，称为“放大倍数”或“增益”。实际应用中，总是用定度曲线的拟合直线的斜率作为该装置的灵敏度。当输入有一变化量∆x，引起输出发生相应变化∆y，则定义灵敏度S为：★注意：灵敏度越高，测量范围越窄，测量系统的稳定性也往往越差。三、分辨力

★分辨力——测试系统所能测量到最小输入量变化的能力，即能引起输出量发生变化的最小输入量Δx。

分辨力与灵敏度密切相关，是灵敏度的导数。

★分辨力也称为灵敏阈或灵敏限。★数字测试系统：分辨力是其输出显示系统最后一位所代表的输入量；模拟测试系统：输出指示标尺最小分度值的一半所代表的输入量。回程误差：是指输入量由小到大与由大到小变化时，测试装置对同一输入量所得输出量不一致的程度，用全量程范围内同一输入量下所得输出的最大差值hmax与量程A之比的百分数表示回程误差四、回程误差产生回程误差的原因：系统中磁性材料的磁滞、弹性材料迟滞、机械结构的摩擦和游隙等。漂移：测试系统在输入不变的条件下，输出随时间变化的趋势.

点漂：在规定条件下，对一恒定输入在规定时间内的输出变化.五、漂移

零漂：指测试系统测量范围最低值处的点漂。

产生原因：(1)仪器自身结构参数变化；(2)周围环境的变化。第三节测试系统的动态特性(DynamicCharacteristicsofMeasurementSystem)

★测试系统的动态特性——是指输入量随时间变化时，其输出随输入而变化的关系。

★一般地，在所考虑的测量范围内，测试系统可认为是线性系统。用式(3.1)描述测试系统以及和输入x(t)、输出y(t)间的关系.

★微分方程式(3.1)使用不便，常采用数学变换方法建立测试系统的传递函数和频率响应，以此来描述系统的特性。后者是x(t)的傅里叶积分公式。那么，一个非周期函数x(t)在什么条件下，可以用傅里叶积分公式来表示？关于拉普拉斯变换傅里叶变对

傅里叶积分定理——若x(t)在（-∞，+∞）上满足下列条件：①在任一有限区间上满足狄利克雷条件；②在（-∞，+∞）上绝对可积（即积分收敛），则有成立，而左端的x(t)在其间断点处，应以[x(t+0)+x(t-0)]/2代替。

傅里叶变换的不足：

问题1：为什么要用拉氏变换？傅里叶变换有不足。（1）绝对可积条件比较强，许多函数即使是很简单的函数（如单位函数、正弦函数、余弦函数以及线性函数等）都不满足该条件.（2）可进行傅氏变换的函数必须在整个数轴上有定义，但在物理、无线电技术等实际应用中，许多以时间t为自变量的函数往往在t<0时是无意义的或不需要考虑，像这样的函数都不能取傅氏变换。问题2：对于任意一个函数，能否经过适当地改造使其进行傅氏变换时克服上述两个缺点？能！

问题3：如何改造函数？

应用单位函数u(t)和指数衰减函数e-σt(σ>0)。

▲单位函数u(t):因不收敛，u(t)不满足绝对可积条件.傅氏变换将u(t)看成推广傅氏变换的定义

这样定义的傅氏变换应理解为是在广义意义下的傅氏变换。所谓广义是相对于古典意义而言的，在广义意义下的傅氏变换是允许交换积分运算和求极限运算的次序，即

▲指数衰减函数:x(t)0t1|X(ω)|0ω1/σ使积分区间由(-∞,+∞)换成[0,+∞)任意函数x(t)使其变得绝对可积x(t)，再取傅里叶变换产生拉普拉斯变换对取傅氏变换，得:

由此确定的X(s)，实际上是由f(t)通过一种新的变换得来的，这种变换称为拉普拉斯变换。设，则得

拉普拉斯变换定义：设函数

f(t)

当

t≥0时有定义，而且积分（s是一个复变量）在s的某一域内收敛，则由此积分所确定的函数可写为：

拉氏变换的存在定理：若f(t)满足：①在t≥0的任一有限区间上分段连续；②在t充分大后满足不等式|f(t)|≤Mect，其中M、c都是实常数，则X(s)=L[f(t)]在半平面Re(s)上一定存在。

f(t)为X(s)的拉氏逆变换(或称为象原函数)，记为：

f(t)=L-1[X(s)]

X(s)是

f(t)的拉氏变换(或称为象函数)，记为：

X(s)=L[f(t)]拉普拉斯变换与傅里叶变换的区别：FT:时域函数f(t)频域函数X(ω)（变量t、ω都是实数）

傅里叶变换建立了时域与频域之间的联系；

拉普拉斯变换建立了时域与复频域之间的联系。变量

t变量ω

LT:时域函数f(t)复频域函数X(s)

t（实数）s=σ+jω（复数）变量

t变量s（复频率）

传递函数H(s)是指零初始状态下，定常线性系统输出量y(t)的拉氏变换与引起该输出的输入量x(t)拉氏变换之比，即一、传递函数1、传递函数的概念2、传递函数的导出根据拉氏变换的微分性质由式(3.1)可得：公式两边取拉氏变换并整理令令其中系统的传递函数式(3.11)其中

传递函数H(s)表达了系统本身的特性，而与激励及系统的初始状态无关。但Hh(s)则由激励和系统本身的初始条件所决定。若这些初始条件全为零，即Hh(s)=0时，有

或

这表明，在零初始条件下，系统的传递函数等于其响应的拉氏变换与其激励的拉氏变换之比。3、传递函数的特点

（1）H(s)表征系统本身的固有动态特性，与输入x(t)及系统的初始状态无关。如果x(t)给定，则系统输出的特性完全由H(s)决定。

（2）H(s)只反映系统传输特性，而和系统具体物理结构无关，即同一形式的传递函数可表征具有相同传输特性的不同物理系统。

（3）H(s)的分母取决于系统的结构，分子则和系统与外界之间的关系，如输入（激励）点的位置、输入方式、被测量及测点布置情况有关。分母中s

的幂次n

代表系统微分方程的阶数，如当n=1或n=2时，分别称为一阶系统或二阶系统。二、频率响应函数

频率响应函数是在频域中描述和考察系统特性。与传递函数相比，频率响应函数易通过实验来建立，且其物理概念清楚。利用它和传递函数的关系，由它极易求出传递函数H(s)。★频率响应函数的求法（1）在H(s)已知的情况下，令H(s)中s的实部为零，即s=jω便可以求得频率响应函数：式(3.12)

（2）若在t=0时刻将输入信号接入系统，令s=jω带入拉氏变换，实质上是将拉氏变换变成了傅里叶变换，又由于系统的初始条件为零，因此式(3.13)

这表明：在测得输出y(t)和输入x(t)后，由其FT可求得H(ω)。注意：H(ω)是描述系统的简谐输入和其稳态输出的关系，在测量系统的H(ω)时，必须在系统响应达到稳态阶段时才测量。★幅、相频率特性的图像描述

幅频特性A()——反映了定常线性系统在正弦信号激励下，其稳态输出信号与输入信号的幅值比。

相频特性()——反映了稳态输出信号与输入信号的相位差.

频率特性——指幅频特性与相频特性的统称。（3）实验确定频率响应函数

●依次用不同频率i的正弦信号激励被测系统，同时测量激励和系统稳态输出的幅值Xi、Yi和相位差i。A(i)=Yi/Xi,(i)=i

●用具有多个频率成分的信号激励被测系统，同时测量激励和系统稳态输出，计算激励与稳态输出的傅里叶变换，获得不同频率i分量通过系统后的幅值比A(i)及相位差(i)。★伯德(Bode)图实频特性曲线P()-ω；

虚频特性曲线Q()-ω；

奈奎斯特(Nyquist)图Q(ω)-P(ω)。★实频特性与虚频特性对数幅频特性曲线：20logA()(dB)-log

对数相频特性曲线：()-log三、脉冲响应函数输出的拉氏变换为输入为单位脉冲函数★h(t)、x(t)、y(t)三者间的关系：

y(t)=h(t)*x(t)

h(t)为系统的脉冲响应函数或权函数，是系统特性的时域描述.★H(s)、h(t)和H(ω)分别是在复频域、时域和频域中描述测试系统的动态特性。三者一一对应。h(t)H(s)拉氏变换对h(t)H(ω)傅氏变换对h(t)H(s)H()傅里叶变换拉普拉斯变换s=j传递函数、频率响应函数、脉冲响应函数的关系：案例：音响系统性能评定y(t)=x(t)*h(t)Y(f)=X(f)H(f)

改进：脉冲输入/白噪声输入，测量输出，再求输出频谱。飞机模态分析案例：镗杆固有频率测量实验：悬臂梁固有频率测量案例：桥梁固频测量

原理：在桥中设置一三角形障碍物，利用汽车过碍时的冲击对桥梁进行激励，再通过应变片测量桥梁动态变形，得到桥梁固有频率。H1(s)H2(s)Hn(s)X(s)X1(s)X2(s)Xn-1(s)Y(s)...H(s)H(s)=H1(s)H2(s)···

Hn(s)X(s)Y(s)四、环节的串联和并联1、环节的串联Y(s)H1(s)+X(s)H2(s)++Hn(s)...H(s)X(s)Y(s)H(s)=H1(s)+H2(s)++Hn(s)2、环节的并联2、高阶系统分解

★任何高阶系统都可看成是若干个一阶和二阶系统的并联或串联，一阶和二阶系统是分析和研究高阶、复杂系统的基础。

对于稳定的测试系统，即式(3.12)中的n>m，其分母可分解为s的一次和二次实系数因子式，即式(3.12)式(3.17)式(3.18)式中，αi、βi、ζi

均为实常数，且ζi<1。五、一阶和二阶系统特性1、一阶系统的特性一阶系统——能用一阶微分方程描述的系统均为一阶系统。

x(t)为输入位移量，y(t)为输出位移量。通常阻尼力Fb与运动速度成正比，作用力Fa与弹簧刚度及位移成正比，即(a)由弹簧、阻尼器组成的一阶机械系统

根据力平衡，得出阻尼系数刚度系数

RCy(t)x(t)(b)RC低通滤波器

CR低通滤波器：输出电压y(t)与输入电压x(t)之间的关系为：(c)液柱式温度计

液柱式温度计：若Ti(t)为被测温度，即输入；To(t)为温度计的示值温度，即输出。C表示温度计的热容量，R为传导介质的热阻，则根据热力学定律，它们之间关系为:由测试系统特性确定的常数

——测试系统的时间常数——测试系统的静态灵敏度令

得到归一化为标准形式：输出量输入量由弹簧、阻尼器组成的一阶机械系统RC低通滤波器液柱式温度计传递函数：

频率响应函数：

幅频特性：

相频特性：

负号表示输出滞后于输入脉冲响应函数：

●一阶系统的Nyquist图jQ(ω)P(ω)0φ(ω)ω|H(jω)|奈奎斯特(Nyquist)图Q(ω)-P(ω)●一阶系统的幅频和相频特性曲线ω=0A(0)=1ω=1/τA(ω)=0.707ω=1/τφ(1/τ)=-450相频特性曲线：幅频特性曲线：其中，S=1●一阶系统的Bode图-40-2002020lgA()/dB-20dB/dec对数幅频特性曲线：20lgA()(dB)-lg

●时间常数决定一阶系统适用的频率范围，在=1/处，A()=0.707(-3dB)，相角滞后45。此时的称为系统的截止频率。()/-90º-450对数相频特性曲线：()-lg

●一阶系统Bode图可近似用折线进行描述：在<1/段为20lgA()=0的水平线；在>1/段为-20dB/dec斜率的直线。近似折线与实际曲线的最大误差在转折频率1/处为-3dB。也称为-20dB/十倍频程h(t)1/0t0.368/斜率●一阶系统的脉冲响应函数★一阶系统的特点●当激励频率远小于1/时[约<1/(5)]，

A()1（误差不超过2%），输出、输入幅值几乎相等。

系统相当于一个积分器。其中A()几乎与激励频率成反比，相位滞后近90。结论：一阶系统适用于测量缓变或低频被测量。即当>>1，2、二阶系统的特性（a）弹簧质量阻尼系统x(t)（b）RLC电路x(t)y(t)取决于转动部分结构形状和质量的转动惯量游丝扭转刚度运动线圈产生的角位移输出信号电磁转矩系数输入运动线圈的电流信号阻尼系数（c）动圈式仪表频率响应函数：幅频特性：相频特性：脉冲响应函数：二阶系统微分方程的一般形式：阻尼比ζ<1固有频率灵敏度传递函数：以下几页ppt将书中p80-81页上图扫描后整理、制作二阶系统的Bode图0.1110-40-30-20-1001020ζ

=0.05ζ

=0.1ζ

=0.2ζ

=0.3ζ

=0.5渐近线A()/dB/nζ=0.7ζ=1.00.20.5-18000.1110-90()//nζ=-0.05ζ

=0.1ζ

=0.2ζ

=0.3ζ

=0.5ζ=0.7ζ

=1.00.20.5测试系统的动态特性(26/28)二阶系统（0<<1）Nyquist图ReIm==01=0.8=0.6=0.4=n012测试系统的动态特性(27/28)二阶系统的特点：<<n时，H()1，>>n时，H()0；n和的大小影响二阶系统的动态特性，且在通常使用的频率范围中，n的影响最为重要。=n时，A()=1/(2)，()

=

90，且在=n附近，系统发生共振。可利用此特性测量系统本身的参数。<0.5n时，二阶系统Bode图可用0dB线近似；

=(0.5~2)n

时，因共振，近似线误差较大，在n

处误差最大（误差大小与有关）。>2n

时，可用斜率为-40dB/dec的直线近似；测试系统的动态特性(28/28)<<n时，()很小，且和频率近似成正比增加；>>n时，()-180。靠近n时，()变化剧烈，且越小，变化越剧烈。二阶系统是振荡环节，对测试系统而言，为了减少频率特性不理想所引起的误差，一般取≤(0.6~0.8)n，

=0.65~0.7。此时，

()与/n近似成线性关系，系统响应速度较快且误差较小。tx(t)tx(t)th(t)ty(t)第四节测试系统在典型输入下的响应(ResponsewithTypicalInputSignals)对任意输入信号x(t)可用许多相邻接的、持续时间为的矩形波来逼近。若足够小，则该矩形波可视为强度为x()的脉冲信号。若系统脉冲响应函数h(t)已知，则在上述一系列脉冲作用下，系统在t时刻的响应可表示为式中，k=t，t<k时，h(t-k)=0。当→0时若t<0时，x(t)=0，则：

●结论：从时域看，系统的输出为输入与脉冲响应函数之卷积.

●注意：实际计算系统输出时，由于卷积计算量巨大，常用拉氏变换或傅氏变换将其转变到复数域或频域进行运算。即Y(s)=H(s)X(s)，Y()=H()X()1、测试系统在单位阶跃输入下的响应

x(t)10t拉氏变换

★一阶系统的单位阶跃响应取拉氏反变换

特点：（1）y(t)指数增大，无振荡；y()=1，无稳态误差。（2）y()=0.632，即经过时间，响应达到稳态输出的63.2%.（3）

反映系统响应的快慢。工程中，当响应曲线达到并保持在稳态值的95%～98%时，认为响应过程基本结束，故一阶系统的过渡过程为3～4。对于测试系统而言，越小越好。

★二阶系统的单位阶跃响应取拉氏反变换式中：y(t)t

特点：（1）y()=1，无稳态误差。（3）ζ一定时，固有频率n越高，系统响应越快。（2）二阶系统（0<ζ<1）瞬态输出分量为振幅等于的阻尼正弦振荡，阻尼振荡频率，振幅衰减的快慢由ζ和n决定，振荡幅值随ζ减小而加大，ζ=0时，系统振幅超调量为100%，且持续不断作等幅振荡，达不到稳态。（4）当ζ≥1,实质为两一阶系统串联,虽无振荡，但达到稳态时间较长.

（5）ζ=0.6～0.8，系统在较短时间(约(5~7)/n)进入偏离稳态不到2%～5%的范围内，且系统超调量≤10%，通常取ζ=0.6～0.8。2、测试系统在单位正弦输入下的响应拉氏变换

★一阶系统的响应

★二阶系统的响应式中，K1、K2是与ωn和ζ有关的系数；A(ω)和φ(ω)分别为二阶系统的幅频和相频特性。可见，正弦输入的稳态输出是同频的正弦信号，只是在不同频率下，其幅值响应和相位滞后不同，是输入频率的函数。因此，可利用不同频率的正弦信号去激励测试系统，通过观察其输出响应的幅值变化和相位滞后，来测定系统的动态特性。一阶系统的正弦响应二阶系统的正弦响应第五节实现不失真测试的条件(ConditionofNon-distortedMeasurement)0tx(t)y(t)t0x(t)y(t)=A0x(t)y(t)=A0x(t-t0)1、什么是不失真测试？

测试系统的输出信号y(t)的波形和输入x(t)的波形完全相似，从而保留原信号的特征和全部信息。2、不失真测试的条件？★时域内实现不失真测试的条件：(A0、t0为常数)

当测试系统初态为0时，即当t<0时，x(t)=0，y(t)=0，可得不失真测试装置的频率响应函数为取傅里叶变换幅频特性A()=A0

=常数相频特性

()=t0★频域内实现不失真测试的条件：A(),()A0A()=A0()=-t0-

c

c0不失真测试系统的频率特性图（||>c时，A()=0）

■不失真测试条件只适用于一般的测试目的。对于用于反馈控制系统中的测试装置，时间滞后可能造成系统不稳定，应根据具体要求，尽量减少时间滞后。■实际测量中，绝对的不失真测试是不可能实现的，只能把失真的程度控制在允许范围内。幅值失真：A()不等于常数时引起的失真相位失真：()与间的非线性引起的失真■一般对于单频率成分的信号，只要其幅值处于系统的线性区，输出信号无所谓失真问题。线性定常系统具有频率保持特性。3、几点结论对于含有多种频率成分的信号，既存在幅值失真，也存在相位失真。信号中不同频率成分通过测试装置后的输出。■根据测试信号的频带选择合适的测试装置。■信号预处理，如消除处于测试系统共振区的噪声。■对于一阶系统，时间常数

越小，响应越快，近于满足不失真测试条件的通频带越宽。■二阶系统（1）<0.3n段，()较小，且与近似线性；A()变化不超过10%，用于测试时，波形失真很小。（2）>(2.5~3)n段，()接近180，且随变化很小，若在实际测试电路或在数据处理中减去固定的相位差；或对测试信号反相，则相位失真很小，但此时A()过小，输出幅值衰减太大。4、减少失真的措施（3）=(0.3~2.5)n段，装置频率特性受

影响很大。当=0.6~0.8时，可获得较为合适的综合特性；当=0.7时，在=(0~0.58)n的频段内，A()变化小于5%，而()也接近直线，产生的相位失真也很小。注意：■幅值失真与相位失真的影响应权衡考虑，如在振动测试中，有时仅关心振动的频率成分及其强度，则可以允许有相位失真。而如若需要测量特定波形的延迟时间，则需要满足相位不失真条件。甚至，在某些测试情形下，可能并不关心失真问题，如两个输入信号间相位差的测量。■原则上构成一个测试系统的每个环节都应当基本满足不失真测试条件。第六节测试系统特性参数的测定(DetermineSystem’sCharacteristics)一、测试系统静态特性的测定

静态特性的测定：是一种特殊的测试，通过选择经过校准的标准静态量作为系统输入，求出其输入、输出特性曲线。标准输入量的误差应是所要求测试结果误差的1/3～1/5或更小。★具体标定过程：1、作输入-输出特性曲线。

将标准量在满量程范围内均匀地等分成个n输入点，即xi(i=1,2,…,n)，按正反行程进行相同的m次测量，得到2m条输入、输出特性曲线。4、求回程误差3、求作正、反行程的平均输入-输出曲线。x0xiH2iyAH1i2、求重复性误差H1和H2正行程重复性误差H1：反行程重复性误差H2：

计算正行程曲线和反行程曲线式中，y1ij、y2ij分别为第j次正行程曲线和反行程曲线，j=1,2,…,m5、求作定度曲线6、求作拟合直线，计算线性度和灵敏度x0xiH2iyAH1i定度曲线：

将定度曲线作为测试系统的实际输入-输出特性曲线，可消除各种误差的影响，使