动力学普遍方程和拉格朗日方程演示教学

第二十五章动力学普遍(pǔbiàn)方程和拉格朗日方程25.1动力学普遍(pǔbiàn)方程例题(lìtí)125.2第二类拉格朗日方程例题2例题3例题4例题5第一页，共36页。第二十五章动力学普遍(pǔbiàn)方程和拉格朗日方程根据达朗伯原理和虚位移原理，可以导出非自由质点的动力学普遍方程。利用它解决问题时，可以避免(bìmiǎn)约束反力在动力学方程中的出现，比较方便!第一类拉格朗日方程：用直角坐标描述的非自由质点系的拉格朗日方程------模拟和求解复杂(fùzá)系统的动力学问题第二页，共36页。第二类拉格朗日方程：将完整约束系统的动力学普遍(pǔbiàn)方程表示为广义坐标的形式，可以推得。----可以直接写出个数与系统自由度相同的独立运动方程。25.1动力学普遍(pǔbiàn)方程设一个质点系由n个质点组成，在任意瞬时,加速度为第i个质点的质量为第三页，共36页。根据(gēnjù)达朗伯原理，在其上加达朗伯惯性力作用于此质点上的主动力的合力约束反力的合力达朗伯惯性力(25.1)则第四页，共36页。点积虚位移对这n个式子(shìzi)求和若为理想约束，由虚位移和理想约束的条件(tiáojiàn)知(25.2)(25.3)第五页，共36页。在具有理想约束的质点系中，在运动的任一瞬时，作用(zuòyòng)在其上的主动力系和达朗伯惯性力系在任意系统的任何一组虚位移上的虚功之和等于零。动力学普遍方程或者(huòzhě)达朗伯—拉格朗日原理说明(shuōmíng)

(25.4)上式变为：

第六页，共36页。

例25.1如图所示，有两个半径皆为r的轮子A，B，轮心通过光滑圆柱铰链与直杆AB相连，在倾角为的固定不动的斜面上作纯滚动。设两轮重皆为P，重心都在轮上，对轮心的转动惯量为J，连杆重Q。求连杆运动的加速度。解:(1)以两轮和连杆组成的系统(xìtǒng)为研究对象系统(xìtǒng)所受约束为理想约束aABPPQ第七页，共36页。若连杆发生平行于斜面向下的的虚位移为,则轮心的虚位移也为,轮子相应的虚转角(3)

轮子作纯滚动,其达朗伯惯性系可以简化为通过轮心的达朗伯惯性力

达朗伯惯性力偶矩其中

连杆作平动,其达朗伯惯性力系可简化为过其质心的一个达朗伯惯性力(2)系统所受的主动力为重力P,P和Q

第八页，共36页。（5）

根据动力学普遍(pǔbiàn)方程得：

方向平行(píngxíng)于斜面向下.25.2第二类拉格朗日方程(fāngchéng)直接用质点系的广义坐标的变分来表示各质点的虚位移,对完整约束系统来说,可推得与系统自由度相同的一组独立的运动微分方程第九页，共36页。设完整约束的质点系由n个质点组成,系统的自由度为k,广义坐标为各点的虚位移可表示(biǎoshì)为代入

各质点相对(xiāngduì)于定点O的矢径可表示为(25.5)（25.6)第十页，共36页。得（25.7）交换(jiāohuàn)上式求和顺序得广义(guǎngyì)主动力：广义(guǎngyì)达朗伯惯性力：先引入两个经典的拉格朗日关系式：（1）

第一个经典拉格朗日方程由对时间求导再对求偏导数第十一页，共36页。得到(dédào)（2）第二个经典(jīngdiǎn)拉格朗日方程在上式对s个广义坐标求偏导数得

即第十二页，共36页。也可以(kěyǐ)写为或对于(duìyú)不变质点系由得引入系统(xìtǒng)动能对求偏导数第十三页，共36页。将以上(yǐshàng)公式代入得由以上(yǐshàng)将改写(gǎixiě)为因为

的相互独立性得第二类拉格朗日方程若质点系所受的全部的主动力为有势力第十四页，共36页。系统(xìtǒng)的势能只是系统(xìtǒng)广义坐标的函数可得引进(yǐnjìn)L=T-V,成为拉格朗日函数，则上式为第十五页，共36页。应用动力学普遍方程(fāngchéng)解题时的注意事项：（1）系统中各质点的加速度与各刚体的角速度都必须是绝对(juéduì)加速度于绝对(juéduì)角速度。（2）计算(jìsuàn)主动力与惯性力的虚功时所涉及到的虚位移必须是绝对虚位移。拉格朗日方程得解题步骤（1）以整个系统为研究对象，分析系统的约束性质，确定系统的自由度数，并恰当选取同样数目的广义坐标第十六页，共36页。（2）写出广义坐标，广义速度表示(biǎoshì)的系统的动能（3）计算广义力。比较方便而且常用得式由公式计算。当主动力均为有势力时，则需求广义坐标表示的系统的势能，并写出拉氏函数。（4）计算各相应(xiāngyīng)的导数（5）根据相应形式的拉氏方程(fāngchéng)，建立质点系的运动微分方程(fāngchéng)。第十七页，共36页。例25．2一质量为m的小球(xiǎoqiú)与弹簧的一端相连，弹簧的另一端固定。已知弹簧的质量不计，弹性系数为k，在平衡位置式的长度为L。是求小球(xiǎoqiú)在同一铅垂面内运动的拉氏方程。okmr(1)

取小球和弹簧组成的系统为研究对象，系统由两个自由度，选取小球的极坐标为广义坐标第十八页，共36页。(2)系统(xìtǒng)的动能为（3）设衡位置时系统(xìtǒng)的势能为零，则系统(xìtǒng)的势能为其中(qízhōng)（4）系统的拉格朗日函数（5）分别计算导数第十九页，共36页。（6）由保守系统(xìtǒng)的第二类拉格朗日方程第二十页，共36页。得第二十一页，共36页。例25.3图是一质量为M的均质圆盘，半径为R,其中心A与弹性系数为k，弹簧原长为，且与水平地面平行的弹簧一端相连，弹簧的另一端固定。质量为m，长为的均质杆AB通过以光滑铰链A与圆盘中心相连。若圆盘在水平地面上作纯滚动，试求系统运动的拉式方程。BPC第二十二页，共36页。(2)圆盘和杆的动能(dòngnéng)分别为解（1）系统的自由度为2，以图中的x，为系统的广义坐标。设杆的质心为C，圆盘的速度瞬心为P第二十三页，共36页。故系统的动能为（3）设过A的水平面为重力势能(zhònɡlìshìnénɡ)的零势能面，弹簧原长为弹性势能的零势能点则系统的势能为（4）系统(xìtǒng)的拉格朗日函数为L=T-V(5)计算(jìsuàn)导数第二十四页，共36页。（6）由拉氏方程(fāngchéng)第二十五页，共36页。可得到(dédào)第二十六页，共36页。例25.4质量为M的均质圆柱再三角块斜边上作纯滚动，如图所示。三角块的质量也为M，置于光滑水平面上，其上有刚度系数为k的弹簧平行于斜面系在圆柱体轴心O上。设角试用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程。解：取整个(zhěnggè)系统为研究对象三角块作平动(píngdòng)，圆柱作平面运动，系统具有两个自由度。ok第二十七页，共36页。选三角块的水平位移和圆柱中心O沿三角块斜面的位移为广义坐标，其中由静止时三角块任一点位置计起，由弹簧原长处计起如图。因为作用在系统上的主动力mg和弹性力均为有势力，所以，可用拉格朗日方程式求解mgmgok第二十八页，共36页。取圆柱(yuánzhù)中心O为动点，动系与三角块固连，定系与水平面固连，则O点的绝对速度其中所以(suǒyǐ)，系统的动能第二十九页，共36页。将以上(yǐshàng)表达式代入整理得到系统(xìtǒng)的微分方程第三十页，共36页。例25.5如图所示系统中，均质圆柱B的质量，半径R=10cm,通过绳和弹簧与质量的物块M相连，弹簧的刚度系数,斜面的倾角。假设圆柱B滚动而不滑动，绳子的倾角段与斜面平行，不计定滑轮A，绳子和弹簧的质量，以及轴承A处摩擦，试求系统的运动微分方程解：取整个系统(xìtǒng)为研究对象。圆柱B作平面运动物块M作作平动，定滑轮A作定轴转动MAB第三十一页，共36页。系统有两个自由度，选圆柱B的质心沿斜面向上坐标及物块M铅垂向下的的坐标为广义坐标，其原点均在静平衡位置。如图AMB因为作用在系统上的主动力重力和弹性力均为有势力所以(suǒyǐ)可用拉格朗日方程式求解第三十二页，共36页。若选弹簧原长处为势能零点(línɡdiǎn)，则系统的势能故系统(xìt