高中数学人教A版2第二章推理与证明 第二章反证法

第二章推理与证明直接证明与间接证明2.2.2反证法A级基础巩固一、选择题1．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是()A．三角形中有两个内角是直角B．三角形中有三个内角是直角C．三角形中至少有两个内角是直角D．三角形中没有一个内角是直角解析：“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是“三角形中至少有两个内角是直角”．答案：C2．a＋b＞c＋d的一个必要不充分条件是()A．a＞c B．b＞cC．a＞c且b＞d D．a＞c或b＞d解析：由a＞c或b＞d可得a＋b＞c＋d，反之则不一定，选项D正确．答案：D3．“实数a，b，c不全大于0”A．a，b，c均不大于0B．a，b，c中至少有一个大于0C．a，b，c中至多有一个大于0D．a，b，c中至少有一个不大于0解析：“不全大于零”即“至少有一个不大于0”，它包括“全不大于”．选项D答案：D4．用反证法证明命题“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A、B、C、D四点共面，所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线；③假设直线AC、BD是共面直线．则正确的序号顺序为()A．①②③ B．③①②C．①③② D．②③①解析：结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.答案：B5．设实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a、b、c中至少有一个数不小于()A．0\f(1,3)\f(1,2)D．1解析：假设a、b、c都小于eq\f(1,3)，则a＋b＋c＜1，与a＋b＋c＝1矛盾．选项B正确．答案：B二、填空题6．有下列叙述：①“a＞b”的反面是“a＜b”；②“x＝y”的反面是“x＞y或x＜y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有________(填序号)．解析：“x＝y”的反面是“x≠y”，即是“x＞y或x＜y”，所以②正确；“a＞b”的反面是“a≤b”；“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心不在三角形外”；“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形至少有两个钝角”．所以这三个都错．答案：②7．用反证法证明命题“若实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a、b、c中至少有一个是偶数”时，应假设______________．解析：“a、b、c中至少有一个是偶数”的反面是“a、b、c都不是偶数”，故应假设a、b、c都不是偶数．答案：a、b、c都不是偶数8．已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝an＋2，bn＝bn＋1(a，b是常数，且a＞b)，那么这两个数列中序号与数值均对应相同的项有________个．解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n使得an＝bn，由题意a>b，n∈N*，则恒有an＞bn，从而an＋2＞bn＋1恒成立，所以不存在n使an＝bn.答案：0三、解答题9．若a、b、c均为实数，且a＝x2－2y＋eq\f(π,2)，b＝y2－2z＋eq\f(π,3)，c＝z2－2x＋eq\f(π,6)，求证：a、b、c中至少有一个大于0.证明：设a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，所以a＋b＋c≤0.而a＋b＋c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－2y＋\f(π,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y2－2z＋\f(π,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(z2－2x＋\f(π,6)))＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π－3＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3≥π－3＞0.所以a＋b＋c＞0，这与a＋b＋c≤0矛盾，故a、b、c中至少有一个大于0.10．求证：1、eq\r(3)、2不能为同一等差数列的三项．证明：假设1、eq\r(3)、2是数列{an}(n∈N*)中某三项，不妨设为an＝1，am＝eq\r(3)，ap＝2，(n，m，p互不相等)由等差数列定义可有eq\f(am－an,m－n)＝eq\f(ap－an,p－n)，即eq\f(\r(3)－1,m－n)＝eq\f(1,p－n)，则eq\r(3)－1＝eq\f(m－n,p－n).由于m，n，p是互不相等的正整数，所以eq\f(m－n,p－n)必为有理数，而eq\r(3)－1是无理数，二者不会相等．所以假设不成立，结论正确．B级能力提升1．设a、b、c都是正数，则三个数a＋eq\f(1,b)，b＋eq\f(1,c)，c＋eq\f(1,a)()A．都大于2 B．至少有一个大于2C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2解析：假设a＋eq\f(1,b)＜2，b＋eq\f(1,c)＜2，c＋eq\f(1,a)＜2，则a＋eq\f(1,b)＋b＋eq\f(1,c)＋c＋eq\f(1,a)＜6；因为a＋eq\f(1,a)≥2，b＋eq\f(1,b)≥2，c＋eq\f(1,c)≥2，所以a＋eq\f(1,b)＋b＋eq\f(1,c)＋c＋eq\f(1,a)≥6.所以假设错误，选项C正确．答案：C2．若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a解析：若两方程均无实根，则Δ1＝(a－1)2－4a2＝(3a－1)(－a解得a＜－1或a＞eq\f(1,3).Δ2＝(2a)2＋8a＝4a(a＋2)＜0，解得－2＜所以－2＜a＜－1.所以，若两个方程至少有一个方程有实根，则有a≤－2或a≥－1.答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\a\vs4\al(|)a≤－2或a≥－1))3．求证：不论x，y取何非零实数，等式eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\f(1,x＋y)总不成立．证明：假设存在非零实数x，y使得等式eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\f(1,x＋y)成立．于是有y(x＋y)＋x(x＋y)＝xy，即