高中数学人教A版1本册总复习总复习 市赛获奖

2023学年广东省东莞市高二（上）期末数学试卷（文科）（B卷）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确.请把正确选择支号填在答题表内.）1．在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，，则AC=（）A．B．C．D．2．命题“若a＞2，则a＞1”及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．43．设Sn为等比数列{an}的前n项和，且8a3+a6=0，则=（）A．﹣11B．﹣8C．5D．114．已知等差数列{an}的前n项的和为Sn，若a5+a6=10，则S10=（）A．40B．45C．50D．555．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若B=60°，b2=ac，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形6．若x、y满足不等式，则z=3x+y的最大值为（）A．11B．﹣11C．13D．﹣137．已知p：x2﹣2x﹣3＜0，q：x+2≥0，则p是q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．双曲线5x2+ky2=5的一个焦点是（2，0），则其渐近线方程为（）A．B．C．D．9．已知函数f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极小值，则实数c的值为（）A．2B．2或6C．6D．4或610．已知=2（a＞0，b＞0），则ab的最小值是（）A．4B．5C．6D．711．已知椭圆E的中心为坐标原点，长轴的长为8，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，抛物线C的准线与椭圆E交于A，B两点，则|AB|=（）A．3B．6C．9D．1212．已知函数f（x）=﹣x3+6x2﹣9x+8，则过点（0，0）可以作几条直线与函数y=f（x）图象相切（）A．3B．1C．0D．2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在题中的横线上.）13．若关于x的不等式x2+3mx﹣4＜0的解集为（﹣4，1），则m的值为．14．已知数列{an}满足an+1=an+1（n∈N*），且a1=1，则=．15．已知抛物线y2=4x的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点且|MF|=3，则△OMF的面积为．16．如图，测量河对岸的塔高AB时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，在D点测得塔在北偏东30°方向，然后向正西方向前进10米到达C，测得此时塔在北偏东60°方向．并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB=米．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且．（1）求角C的大小；（2）若，且△ABC的周长为，求△ABC的面积．18．已知数列{an}的前n项和，等比数列{bn}，b1=a1，b4是a4与a5的等差中项．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）记cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和Tn．19．命题p：∀x∈R，x2+mx+1≥0；命题q：方程表示焦点在y轴上的椭圆．若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求实数m的取值范围．20．已知某种商品每日的销售量y（单位：吨）与销售价格x（单位：万元/吨，1＜x≤5）满足：当1＜x≤3时，y=a（x﹣4）2+（a为常数）；当3＜x≤5时，y=kx+7，已知当销售价格为3万元/吨时，每日可售出商品该4吨，当销售价格为5万元/吨时，每日可售出商品该2吨．（1）求a，k的值，并确定y关于x的函数解析式；（2）若该商品的销售成本为1万元/吨，试确定销售价格x的值，使得每日销售该商品所获利润最大．21．如图，椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为点A、B，已知椭圆C的焦距为2，且|AB|=|BF|．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点P（0，﹣2）的直线l交椭圆C于M，N两点，当△MON面积取得最大时，求直线l的方程．22．设函数f（x）=lnx+a（x2﹣3x+2），其中a∈R．（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（2）若a＞0，对∀x＞1，f（x）≥0成立，求实数a的最大值．

2023学年广东省东莞市高二（上）期末数学试卷（文科）（B卷）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确.请把正确选择支号填在答题表内.）1．在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，，则AC=（）A．B．C．D．【分析】结合已知，根据正弦定理，可求AC【解答】解：根据正弦定理，，则故选B【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础试题2．命题“若a＞2，则a＞1”及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据四种命题真假之间的关系进行判断即可．【解答】解：若a＞2，则a＞1，成立，即原命题为真命题，则逆否命题也为真命题，逆命题为：若a＞1，则a＞2，为假命题．，当a=时，满足a＞1，但a＞2不成立，则否命题为假命题，故真命题的个数为2个，故选：B．【点评】本题主要考查四种命题真假关系的判断，根据逆否命题的等价性只需要判断两个命题即可，3．设Sn为等比数列{an}的前n项和，且8a3+a6=0，则=（）A．﹣11B．﹣8C．5D．11【分析】利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵8a3+a6=0，∴a3（8+q3）=0，解得q=﹣2．则===5，故选：C．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．已知等差数列{an}的前n项的和为Sn，若a5+a6=10，则S10=（）A．40B．45C．50D．55【分析】a5+a6=10，可得a1+a10=10．再利用等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：∵a5+a6=10，∴a1+a10=10．则S10===50．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若B=60°，b2=ac，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形【分析】由余弦定理可得a=c，即可判断出结论．【解答】解：由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accos60°=ac，a=c，∴△ABC的形状是等边三角形．故选：D．【点评】本题考查了余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．若x、y满足不等式，则z=3x+y的最大值为（）A．11B．﹣11C．13D．﹣13【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到最大值．【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+y得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，则由图象可知当直线y=﹣3x+z经过点A时直线y=﹣3x+z的截距最大，此时z最大，此时M=z=3×+5×=17，由，解得，即A（4，﹣1），此时z=3×4﹣1=11，故选：A．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．7．已知p：x2﹣2x﹣3＜0，q：x+2≥0，则p是q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式之间的关系进行判断即可．【解答】解：由x2﹣2x﹣3＜0，得﹣1＜x＜3，由x+2≥0得x≥﹣2，则p是q的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式之间的关系是解决本题的关键．比较基础．8．双曲线5x2+ky2=5的一个焦点是（2，0），则其渐近线方程为（）A．B．C．D．【分析】根据双曲线方程，得a2=1，b2=，结合题意得a，b，c关系，解出k，从而得到双曲线方程，由此不难得出该双曲线的渐近线方程．【解答】解：双曲线5x2+ky2=5化成标准方程得x2﹣=1，得a2=1，b2=﹣，∴c==，∵双曲线的一个焦点是（2，0），∴=2，解之得k=，双曲线方程为x2﹣=1，∴该双曲线的渐近线方程为y=x，故选：D．【点评】本题给出含有参数的双曲线方程，在已知其一个焦点的情况下求双曲线的渐近线方程，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．9．已知函数f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极小值，则实数c的值为（）A．2B．2或6C．6D．4或6【分析】根据函数在x=2处有极小值，得到f′（2）=0，解出关于c的方程，再验证是否为极小值即可．【解答】解：∵函数f（x）=x（x﹣c）2，∴f′（x）=3x2﹣4cx+c2，又f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极值，∴f′（2）=12﹣8c+c2=0，解得c=2或6，又由函数在x=2处有极小值，故c=2，c=6时，函数f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极大值，故选：A．【点评】本题考查函数在某一点取得极值的条件，是中档题，本题解题的关键是函数在这一点取得极值，则函数在这一点点导函数等于0，注意这个条件的应用．10．已知=2（a＞0，b＞0），则ab的最小值是（）A．4B．5C．6D．7【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵=2（a＞0，b＞0），∴2≥，化为ab≥6，当且仅当a=3，b=2时取等号．∴ab的最小值是6．故选：C．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．已知椭圆E的中心为坐标原点，长轴的长为8，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，抛物线C的准线与椭圆E交于A，B两点，则|AB|=（）A．3B．6C．9D．12【分析】由题意知，2a=8，抛物线C：y2=8x的焦点为（2，0），准线为x=﹣2，从而写出椭圆的标准方程为+=1，从而联立方程解出A，B的坐标，从而解得．【解答】解：由题意知，2a=8，故a=4，抛物线C：y2=8x的焦点为（2，0），准线为x=﹣2，故c=2，故椭圆的方程为+=1，故联立方程得，，解得，x=﹣2，y=±3，故A（﹣2，3），B（﹣2，﹣3），故|AB|=6，故选：B．【点评】本题考查了抛物线与椭圆的基本性质的应用，同时考查了学生的化简运算能力．12．已知函数f（x）=﹣x3+6x2﹣9x+8，则过点（0，0）可以作几条直线与函数y=f（x）图象相切（）A．3B．1C．0D．2【分析】设出切点，求出切点处的导数，写出切线方程把A的坐标代入后得到关于切点横坐标的方程，再解方程即可判断切点横坐标的个数，从而答案可求．【解答】解：设切点为P（x0，﹣x03+6x02﹣9x0+8），f（x）=﹣x3+6x2﹣9x+8的导数为f′（x）=﹣3x2+12x﹣9，则f′（x0）=﹣3x02+12x0﹣9，则切线方程y+x03﹣6x02+9x0﹣8=（﹣3x02+12x0﹣9）（x﹣x0），代入O（0，0）得，x03﹣3x02+4=0，即有（x03+1）﹣3（x02﹣1）=0，即有（x0+1）（x0﹣2）2=0，解得x0=﹣1或2，则切线有两条．故选D．【点评】本题考查了利用导数研究曲线上点的切线问题，考查了利用切线方程，解方程的运算能力，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在题中的横线上.）13．若关于x的不等式x2+3mx﹣4＜0的解集为（﹣4，1），则m的值为1．【分析】由已知得﹣4和1是方程x2+3mx﹣4=0的两个根，由此能求出m．【解答】解：∵关于x的不等式x2+3mx﹣4＜0的解集为（﹣4，1），∴﹣4和1是方程x2+3mx﹣4=0的两个根，∴﹣4+1=﹣3m，解得m=1．故答案为：1．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意一元二次不等式的性质的合理运用．14．已知数列{an}满足an+1=an+1（n∈N*），且a1=1，则=．【分析】利用裂项消项法，求解数列的和即可．【解答】解：数列{an}满足an+1=an+1（n∈N*），且a1=1，数列是等差数列，an=n．则==1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查等差数列的应用，数列求和，考查计算能力．15．已知抛物线y2=4x的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点且|MF|=3，则△OMF的面积为．【分析】利用抛物线的定义，可得M的坐标，即可求得△OFM的面积．【解答】解：抛物线方程为y2=4x的准线方程为x=﹣1，∵|MF|=3，∴xM=2，yM=±2，∴△OFM的面积为=，故答案为：．【点评】本题考查抛物线的定义，考查三角形面积的计算，确定M的坐标是关键．16．如图，测量河对岸的塔高AB时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，在D点测得塔在北偏东30°方向，然后向正西方向前进10米到达C，测得此时塔在北偏东60°方向．并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB=30米．【分析】在△BCD中，由正弦定理，求得BC，在Rt△ABC中，求AB．【解答】解：由题意，∠BCD=30°，∠BDC=120°，CD=10m，在△BCD中，由正弦定理得BC=•10=10m．在Rt△ABC中，AB=BCtan60°=30m．故答案为：30．【点评】本题考查正弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且．（1）求角C的大小；（2）若，且△ABC的周长为，求△ABC的面积．【分析】（1）利用正弦定理可得sinC，即可得出；（2）利用余弦定理、三角形周长、三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（1）因为，所以，由正弦定理，，又因为△ABC为锐角三角形，所以．（2）由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，7=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab，△ABC的周长，c=．所以a+b=5，ab=6，∴△ABC的面积S=．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、三角函数周长、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．已知数列{an}的前n项和，等比数列{bn}，b1=a1，b4是a4与a5的等差中项．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）记cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和Tn．【分析】（1）求出数列{an}的首项a1，利用n≥2，，求出通项公式，然后求解．（2）化简cn=an•bn，利用错位相减法求解数列的{cn}的前n项和Tn．【解答】解：（1）数列{an}的前n项和，所以a1=S1=1…（1分）n≥2，…（2分）当n=1，也满足an=2n﹣1…（3分）所以…（4分）b1=a1=1，2b4=a4+a5=7+9，所以b4=8，…（6分），所以q=2，所以…（7分）（2），①…（8分）②…（9分）①式减去②式得：…（10分）=﹣3﹣（2n﹣3）•2n…（11分）∴…（12分）【点评】本题考查数列通项公式，以及数列求和的基本方法，考查计算能力．19．命题p：∀x∈R，x2+mx+1≥0；命题q：方程表示焦点在y轴上的椭圆．若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求实数m的取值范围．【分析】命题p为真，求出﹣2≤m≤2，命题q为真，求出0＜m＜2，利用“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，推出p是真命题且q是假命题，或p是假命题且q是真命题，求解即可．【解答】解：命题p：∀x∈R，x2+mx+1≥0为真，∴△=m2﹣4≤0⇒﹣2≤m≤2…（3分）命题q为真，即方程是焦点在y轴上的椭圆，∴0＜m＜2…（6分）又∵“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，∴p是真命题且q是假命题，或p是假命题且q是真命题，…（7分），或…（11分）∴m的取值范围是[﹣2，0]∪{2}…（12分）【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，考查计算能力．20．已知某种商品每日的销售量y（单位：吨）与销售价格x（单位：万元/吨，1＜x≤5）满足：当1＜x≤3时，y=a（x﹣4）2+（a为常数）；当3＜x≤5时，y=kx+7，已知当销售价格为3万元/吨时，每日可售出商品该4吨，当销售价格为5万元/吨时，每日可售出商品该2吨．（1）求a，k的值，并确定y关于x的函数解析式；（2）若该商品的销售成本为1万元/吨，试确定销售价格x的值，使得每日销售该商品所获利润最大．【分析】（1）通过x=3时，y=4；求出a，x=5时，y=5；求出k，得到函数的解析式．（2）当1＜x≤3时，求出每日销售利润的表达式，通过函数的导数判断函数的单调性，求出最大值．当3＜x≤5时，求出每日销售利润的表达式，利用二次函数的最值求解最大值，推出结果．【解答】解：（1）因为x=3时，y=4；所以a+3=4，得a=1…（2分）因为x=5时，y=5；所以5k+7=2，得k=﹣1…（4分）故…（5分）（2）由（1）知，当1＜x≤3时，每日销售利润=x3﹣9x2+24x﹣10（1＜x≤3）…（6分）f′（x）=3x2﹣18x+24．…（7分）令f′（x）=3x2﹣18x+24＞0，解得x＞4或x＜2所以f（x）在[1，2]单调递增，在[2，3]单调递减…（8分）所以当x=2，f（x）max=f（2）=10，…（9分）当3＜x≤5时，每日销售利润f（x）=（﹣x+7）（x﹣1）=﹣x2+8x﹣7=﹣（x﹣4）2+9…（10分）f（x）在x=4时有最大值，且f（x）max=f（4）=9＜f（2）…（11分）综上，销售价格x=2万元/吨时，每日销售该商品所获利润最大．…（12分）【点评】本题考查函数的解析式的求法，函数的导数的应用，考查分析问题解决问题的能力，分类讨论思想以及转化思想的应用．21．如图，椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为点A、B，已知椭圆C的焦距为2，且|AB|=|BF|．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点P（0，﹣2）的直线l交椭圆C于M，N两点，当△MON面积取得最大时，求直线l的方程．【分析】（1）由题意可得c=1，再由两点的距离公式，结合a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程；（2）方法一、设直线l的方程为y=kx﹣2，M（x1，y1），N（x2，y2），代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，以及弦长公式，点到直线的距离公式和三角形的面积公式，结合基本不等式即可得到直线方程；方法二、设出直线的方程，求得交点D，运用三角形的面积公式可得S△OMN=|OD|•|y1﹣y2|，由直线方程和韦达定理，代入整理，再由解不等式可得最大值及对应的斜率，即可得到所求直线的方程．【解答】解：（1）椭圆C的焦距为2，所以2c=2，c=1，由已知，即，2a2+2b2=3a2，a2=2b2=b2+c2，所以，可得椭圆方程为；（2）解法一：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx﹣2，M（x1，y1），N（x2，y2），由，消去y得关于x的方程：（1+2k2）x2﹣8kx+6=0，由直线l与椭圆相交于M、N两点，∴△＞0⇒64k2﹣24（1+2k2）＞0，解得，又由韦达定理得，∴=，原点O到直线l的距离，∵．解法1：令，则2k2=m2+3∴，当且仅当即m=2时，此时．所以，所求直线方程为．解法2：对两边平方整理得：4S2k4+4（S2﹣4）k2+S2+24=0（*）∵S≠0，，整理得：，又S＞0，∴，从而S△MON的最大值为，此时代入方程（*）得4k4﹣28k2+49=0∴，所以，所求直线方程为：．解法二：由题意知直线l的斜率存在且不为零．设直