高中数学北师大版5第一章不等关系与基本不等式 学业分层测评2绝对值不等式

学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1．若|x－a|<m，|y－a|<n，则下列不等式一定成立的是()A．|x－y|<2m B．|x－y|<2nC．|x－y|<n－m D．|x－y|<n＋m【解析】|x－y|＝|(x－a)－(y－a)|≤|x－a|＋|y－a|＝m＋n，故选D.【答案】D2．已知实数a，b满足ab＜0，那么有()A．|a－b|＜|a|＋|b| B．|a＋b|＞|a|－|b|C．|a＋b|＜|a－b| D．|a－b|＜||a|－|b||【解析】∵ab＜0，∴|a－b|＞|a＋b|成立，|a－b|＝|a|＋|b|，|a＋b|≥|a|－|b|也成立．【答案】C3．不等式eq\f(|a＋b|,|a|＋|b|)≤1成立的条件是()A．ab≠0 B．a2＋b2≠0C．ab≥0 D．ab≤0【解析】∵|a＋b|≤|a|＋|b|，当|a|＋|b|≠0时，eq\f(|a＋b|,|a|＋|b|)≤1(*)．因此(*)成立的条件是a≠0且b≠0，即a2＋b2≠0.【答案】B4．已知a，b∈R，ab＞0，则下列不等式中不正确的是()A．|a＋b|≥a－b B．2eq\r(ab)≤|a＋b|C．|a＋b|＜|a|＋|b| D．|eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)|≥2【解析】当ab＞0时，|a＋b|＝|a|＋|b|，C错．【答案】C5．以下三个命题：①若a，b∈R，则|a＋b|－2|a|≤|a－b|；②若|a－b|<1，则|a|<|b|＋1；③若|x|<2，|y|>3，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))<eq\f(2,3).其中正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3【解析】对于①，|a＋b|＝|(b－a)＋2a|≤|b－a|＋2|a|＝|a－b|＋2|a|，∴|a＋b|－2|a|≤|a－b|，故①正确；对于②，1>|a－b|≥|a|－|b|，∴|a|<|b|＋1，故②正确；对于③，|y|>3，∴eq\f(1,|y|)<eq\f(1,3)，又∵|x|<2，∴eq\f(|x|,|y|)<eq\f(2,3)，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))<eq\f(2,3)，故③正确．故①②③均正确．故选D.【答案】D二、填空题6．设|a|＜1，|b|＜1(a，b∈R)，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是________.【导学号：94910006】【解析】当a＋b与a－b同号时，|a＋b|＋|a－b|＝2|a|，当a＋b与a－b异号时，|a＋b|＋|a－b|＝2|b|.又|a|＜1，|b|＜1，∴|a＋b|＋|a－b|＜2.【答案】|a＋b|＋|a－b|＜27．已知x，y，a∈R，且|x－y|<a，则|y|与|x|＋a的关系是________．【解析】|x－y|<a，即|y－x|<a.∴|y|－|x|≤|y－x|<a，即|y|<|x|＋a.【答案】|y|<|x|＋a8．函数f(x)＝|x＋2|－|x－2|的最大值为______，最小值为________．【解析】||x＋2|－|x－2||≤|(x＋2)－(x－2)|＝4.∴－4≤|x＋2|－|x－2|≤4.∴ymax＝4，ymin＝－4.【答案】4－4三、解答题9．已知f(x)＝|x－10|＋|x－20|(x∈R)，求f(x)的最小值，并求当f(x)有最小值时，实数x的取值范围．【解】∵|x－10|＋|x－20|＝|x－10|＋|20－x|≥|(x－10)＋(20－x)|＝10.当且仅当(x－10)(20－x)≥0时取等号．由(x－10)(20－x)≥0，得10≤x≤20.因此f(x)的最小值为10，此时实数x的取值范围是10,20]．10．若f(x)＝x2－x＋c(c为常数)，且|x－a|＜1，求证：|f(x)－f(a)|＜2(|a|＋1)．【证明】|f(x)－f(a)|＝|(x2－x＋c)－(a2－a＋c)|＝|x2－x－a2＋a|＝|(x－a)(x＋a－1)|＝|x－a|·|x＋a－1|＜|x＋a－1|＝|(x－a)＋(2a－1)|≤|x－a|＋|2a－1|≤|x－a|＋|2a|＋1＜1＋2|a|＋1＝2(|a|＋1)．故原不等式成立．能力提升]1．“|x－a|＜m且|y－a|＜m”是“|x－y|＜2m”(x，y，a，m∈R)的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】当|x－a|＜m，|y－a|＜m时，∵|x－y|＝|(x－a)－(y－a)|≤|x－a|＋|y－a|＜m＋m＝2m，∴|x－a|＜m且|y－a|＜m是|x－y|＜2m的充分条件．取x＝3，y＝1，a＝－2，m＝，则有|x－y|＝2＜5＝2m，但|x－a|＝5，不满足|x－a|＜m＝，故“|x－a|＜m且|y－a|＜m”是“|x－y|＜2m”的充分不必要条件．【答案】A2．设a，b∈R，且|a＋b＋1|≤1，|a＋2b＋4|≤4，则|a|＋|b|的最大值是()A．16 B．17C．18 D．19【解析】|a＋b|＝|(a＋b＋1)－1|≤|a＋b＋1|＋|－1|≤1＋1＝2，|a－b|＝|3(a＋b＋1)－2(a＋2b＋4)＋5|≤3|a＋b＋1|＋2|a＋2b＋4|＋5≤3×1＋2×4＋5＝16.①当ab≥0时，|a|＋|b|＝|a＋b|≤2；②当ab<0时，a(－b)>0，|a|＋|b|＝|a|＋|－b|＝|a＋(－b)|＝|a－b|≤16.总之，恒有|a|＋|b|≤16.而a＝8，b＝－8时，满足|a＋b＋1|＝1，|a＋2b＋4|＝4，且|a|＋|b|＝16，因此|a|＋|b|的最大值为16.【答案】A3．已知α，β是实数，给出三个论断：①|α＋β|＝|α|＋|β|；②|α＋β|＞5；③|α|＞2eq\r(2)，|β|＞2eq\r(2).以其中的两个论断为条件，另一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________．【解析】当①，③成立时，则|α＋β|＝|α|＋|β|＞4eq\r(2)＞5.【答案】①③⇒②4．已知f(x)＝x2－x＋c定义在区间0,1]上，x1，x2∈0,1]，且x1≠x2，证明：(1)f(0)＝f(1)；(2)|f(x2)－f(x1)|＜|x1－x2|.【证明】(1)f(0)＝c，f(1)＝c，故f(0)＝f(1)．(2)|f(x2)－f(x1)