高中数学人教A版2本册总复习总复习 单元测评(二)

单元测评(二)导数及其应用(B卷)(时间：90分钟满分：120分)第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分．1．函数f(x)在x＝1处的导数为1，则eq\o(lim,\s\do14(x→0))eq\f(f1－x－f1＋x,3x)的值为()A．3 B．－eq\f(3,2)\f(1,3) D．－eq\f(2,3)答案：D2．函数f(x)＝axm(1－x)n在区间[0,1]上的图象如图所示，则m，n的值可能是()A．m＝1，n＝1B．m＝1，n＝2C．m＝2，n＝1D．m＝3，n＝1答案：B3．曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形面积为()\f(1,3) \f(1,2)\f(2,3) D．1答案：A4．求曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积，其中正确的是()A．S＝eq\i\in(0,1,)(x2－x)dxB．S＝eq\i\in(0,1,)(x－x2)dxC．S＝eq\i\in(0,1,)(y2－y)dxD．S＝eq\i\in(0,1,)(y－eq\r(y))dy解析：两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y＝x2与y＝x所围成图形的面积S＝eq\i\in(0,1,)(x－x2)dx.答案：B5．已知实数a，b，c，d成等比数列，且函数y＝ln(x＋2)－x，当x＝b时取到极大值c，则ad等于()A．－1 B．0C．1 D．2解析：y′＝eq\f(1,x＋2)－1，令y′＝0得x＝－1，当－2<x<－1时，y′>0，当x>－1时，y′<0，∴b＝－1，c＝ln(－1＋2)－(－1)＝1，∴ad＝bc＝－1，故选A.答案：A6．下列图象中，有一个是函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导数f′(x)的图象，则f(－1)的值为()(1)(2)(3)\f(1,3) B．－eq\f(1,3)\f(7,3) D．－eq\f(1,3)或eq\f(5,3)解析：f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，其图象为开口向上的抛物线，故不是第一个图；第二个图中，a＝0，f′(x)＝x2－1，但已知a≠0，故f′(x)的图象为第三个图，∴f′(0)＝0，∴a＝±1，又其对称轴在y轴右边，∴a＝－1，∴f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋1，∴f(－1)＝－eq\f(1,3)，故选B.答案：B7．已知曲线方程f(x)＝sin2x＋2ax(a∈R)，若对任意实数m，直线l：x＋y＋m＝0都不是曲线y＝f(x)的切线，则a的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(－1,0)B．(－∞，－1)∪(0，＋∞)C．(－1,0)∪(0，＋∞)D．a∈R且a≠0，a≠－1解析：若存在实数m，使直线l是曲线y＝f(x)的切线，∵f′(x)＝2sinxcosx＋2a＝sin2x＋2a，∴方程sin2x＋2a＝－1有解，∴－1≤a≤0，故所求a的取值范围是(－∞，－1)∪答案：B8．设函数f(x)＝ax2＋b(a≠0)，若eq\i\in(0,3,)f(x)dx＝3f(x0)，则x0＝()A．±1 \r(2)C．±eq\r(3) D．2解析：eq\i\in(0,3,)f(x)dx＝eq\i\in(0,3,)(ax2＋b)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)ax3＋bx))|eq\o\al(3,0)＝9a＋3b.由eq\i\in(0,3,)f(x)dx＝3f(x0)得，9a＋3b＝3axeq\o\al(2,0)＋3b，∴xeq\o\al(2,0)＝3，∴x0＝±eq\r(3).答案：C9．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0，且f(3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是()A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)解析：设F(x)＝eq\f(fx,gx)，则F′(x)＝eq\f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)，由题意知：F(x)为奇函数，F(x)在(－∞，0)上递增，F(3)＝0，数形结合易得F(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)，从而f(x)g(x)<0的解集也为(－∞，－3)∪(0,3)．答案：D10．已知函数f(x)＝ax2－1的图象在点A(1，f(1))处的切线l与直线8x－y＋2＝0平行，若数列{eq\f(1,fn)}的前n项和为Sn，则S2012的值为()\f(2011,2013) \f(2012,2013)\f(4024,4025) \f(2012,4025)解析：∵f′(x)＝2ax，∴f(x)在点A处的切线斜率为f′(1)＝2a，由条件知2a＝8，∴∴f(x)＝4x2－1，∴eq\f(1,fn)＝eq\f(1,4n2－1)＝eq\f(1,2n－1)·eq\f(1,2n＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))，∴数列{eq\f(1,fn)}的前n项和为Sn＝eq\f(1,f1)＋eq\f(1,f2)＋…＋eq\f(1,fn)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,5)))＋…＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n＋1)))＝eq\f(n,2n＋1)，∴S2012＝eq\f(2012,4025).答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．y＝eq\f(sinx,1＋cosx)，－π<x<π，当y′＝2时，x＝________.解析：y′＝eq\f(cosx1＋cosx＋sin2x,1＋cosx2)＝eq\f(1,1＋cosx)，令eq\f(1,1＋cosx)＝2，得cosx＝－eq\f(1,2)，∵－π<x<π，∴x＝±eq\f(2,3)π.答案：±eq\f(2,3)π12．已知函数f(x)＝3x2＋2x＋1，若eq\i\in(,1,)－1f(x)dx＝2f(a)(a>0)成立，则a＝________.解析：答案：eq\f(1,3)13．函数y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－3＝0，则f′(1)＋f(1)＝________.解析：由导数的几何意义得f′(1)＝－2，又根据(1，f(1))在切线上得f(1)＝1，所以，f′(1)＋f(1)＝－1.答案：－114．f(x)＝－eq\f(1,2)x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上单调递减，则b的取值范围为________．解析：问题转化为f′(x)＝－x＋eq\f(b,x＋2)≤0在(－1，＋∞)上恒成立，故b≤x2＋2x在(－1，＋∞)上恒成立，∵x2＋2x>(－1)2＋2×(－1)＝－1，∴b≤－1.答案：(－∞，－1]三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－ax2＋(a2－1)x＋b(a，b∈R)，其图象在点(1，f(1))处的切线方程为x＋y－3＝0.(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调区间，并求出f(x)在区间[－2,4]上的最大值．解：(1)f′(x)＝x2－2ax＋a2－1，∵(1，f(1))在x＋y－3＝0上，∴f(1)＝2，∴(1,2)在y＝f(x)上，∴2＝eq\f(1,3)－a＋a2－1＋b.又f′(1)＝－1，∴a2－2a解得a＝1，b＝eq\f(8,3).6分(2)∵f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋eq\f(8,3)，∴f′(x)＝x2－2x，由f′(x)＝0可知x＝0和x＝2是f(x)的极值点，所以有x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗所以f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递减区间是(0,2)．∵f(0)＝eq\f(8,3)，f(2)＝eq\f(4,3)，f(－2)＝－4，f(4)＝8，∴在区间[－2,4]上的最大值为分16．(12分)已知x＝1是函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋axex，x>0，,bx，x≤0))的极值点．(1)求a的值；(2)函数y＝f(x)－m有2个零点，求m的范围．解：(1)∵x>0时，f′(x)＝(x2＋ax＋2x＋a)ex，∴f′(1)＝(3＋2a由题意得f′(1)＝0，故a＝－eq\f(3,2).2分(2)问题可转化为y＝f(x)与y＝m图象有2个交点，x>0时，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(3,2)x))ex，∴f′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,2)x－\f(3,2)))ex.令f′(x)＝0得x＝1或x＝－eq\f(3,2)(舍)，∴易知f(x)在(0,1)上递减，在(1，＋∞)上递增，∴当x>0时，f(x)min＝f(1)＝－eq\f(e,2).4分①当b<0时，f(x)的草图如图①：①故m>－eq\f(e,2)时满足题意；6分②当b＝0时f(x)的草图如图②：②故－eq\f(e,2)<m<0时满足题意；8分③当b>0时f(x)的草图如图③：③故m＝－eq\f(e,2)或m＝0时满足题意.10分综上所述：当b<0时，m>－eq\f(e,2)；当b＝0时，－eq\f(e,2)<m<0；当b>0时，m＝－eq\f(e,2)或m＝分17．(12分)已知函数f(x)＝ax3＋bx2的图象经过点M(1,4)，曲线在点M处的切线恰好与直线x＋9y＝0垂直，(1)求实数a，b的值；(2)若函数f(x)在区间[m，m＋1]上单调递增，求m的取值范围．解：(1)∵f(x)＝ax3＋bx2的图象经过点M(1,4)，∴a＋b＝4.①f′(x)＝3ax2＋2bx，则f′(1)＝3a＋2b，由已知得f′(1)·(－eq\f(1,9))＝－1，即3a＋2b＝9，②由①②式解得a＝1，b＝分(2)f(x)＝x3＋3x2，f′(x)＝3x2＋6x，令f′(x)＝3x2＋6x≥0，得x≥0或x≤－2，∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－2]和[0，＋∞)．由条件知m≥0或m＋1≤－2，∴m≥0或m≤－分18．(14分)设函数f(x)＝x2＋aln(x＋1)．(1)若a＝－4，写出函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在[2，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；(3)若在区间[0,1]上，函数f(x)在x＝0处取得最大值，求实数a的取值范围．解：(1)a＝－4，f(x)＝x2－4ln(x＋1)(x>－1)，f′(x)＝2x－eq\f(4,x＋1)＝eq\f(2x＋2x－1,x＋1)(x>－1)，∴当－1<x<1时f′(x)<0，当x>1时f′(x)>0，∴函数f(x)在(－1,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.4分(2)f′(x)＝2x＋eq\f(a,x＋1)＝eq\f(2x2＋2x＋a,x＋1)(x>－1)．∵函数f(x)在[2，＋∞)上单调递增，∴2x2＋2x＋a≥0在[2，＋∞)上恒成立，令t＝2x2＋2x＝2eq\b\lc\(\rc\