高中数学北师大版第一章立体几何初步 单元测试二

单元测试二本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．A、B为空间两点，l为一条直线，则过A、B且垂直于l的平面()A．不存在B．至多一个C．有且只有一个D．有无数个答案：B解析：当l⊥AB时，存在唯一一个这样的平面，当l不垂直AB时，这样的平面不存在．2．下列四个命题中，正确的为()①若两个平面有三个不共线的公共点，则这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③若M∈α，M∈β，a∩β＝l，则M∈l；④空间中相交于同一点的三条直线必在同一个平面内．A．①②B．①③C．②③D．③④答案：B解析：根据空间图形的公理容易判断①③是正确的．故选B.3．若直线a与平面α内无数条直线平行，则直线a与平面α的位置关系是()A．a∥αB．aαC．a∥α或aαD．a⃘α答案：C解析：直线a没有指明位置，有可能在平面α内，也有可能平行于平面α.4．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是()A．若mβ，α⊥β，则m⊥αB．若α∥β，mα，nβ，则m∥nC．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γD．若m⊥β，m∥α，则α⊥β答案：D解析：两个平面垂直，一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面，所以A不正确；两个平面平行，这两个平面内的直线不一定平行，所以B不正确；垂直于同一个平面的两个平面不一定垂直，也可能平行，所以C不正确；根据面面垂直的判定定理，知D正确．5．已知α1，α2，α3是三个相互平行的平面．平面α1，α2之间的距离为d1，平面α2，α3之间的距离为d2.直线l与α1，α2，α3分别相交于P1，P2，P3，那么“P1P2＝P2P3”是“d1＝d2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：C6．如图1是一正方体被过棱的中点M、N和顶点A、D、C1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为()图1ABCD答案：B解析：根据三视图的画法可知选B.7．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()ABCD答案：B解析：由正视图可把A、C排除，再由左视图把D排除，故选B.8．如图，已知在四面体C－ABD中，E，F分别是AC，BD的中点，若AB＝2，CD＝4，EF⊥AB，则异面直线EF与CD所成的角为()A．90°B．45°C．60°D．30°答案：D解析：取AD的中点G，连接FG，EG，因为E，F分别为AC，BD的中点，所以FG∥AB，且FG＝1，EG∥CD，且EG＝2，所以EF与CD所成的角即为EF与EG所成的角，即∠FEG.又EF⊥AB，即∠EFG＝90°，所以∠FEG＝30°.9．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝eq\r(2).将△沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中()A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直答案：C解析：最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻折，观察翻折过程，即可知选项C是正确的．10．如图，已知等边三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于点G，将△ADE绕DE旋转得到△A′DE，则下列命题中错误的是()A．动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上B．恒有平面A′GF⊥平面BCEDC．三棱锥A′－EFD的体积有最大值D．异面直线A′E与BD不可能垂直答案：D解析：由于A′G⊥DE，FG⊥DE，所以DE⊥平面A′FG，平面A′FG⊥平面BCED，过点A′作平面ABC的垂线，则垂足在线段AF上，所以命题A，B正确；当平面A′DE⊥平面BCED时，三棱锥A′－EFD的体积最大，所以命题C正确；因为BD∥EF，设AC＝2a，所以EF＝A′E＝a，A′G＝GF＝eq\f(\r(3),2)a，当A′F＝eq\r(2)a时，eq\r(2)a<A′G＋GF，A′E2＋EF2＝A′F2，所以异面直线A′E与BD可能垂直，所以命题D不正确．故选D.第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上．11．一个边长为a的正方形卷成圆柱侧面，则此圆柱的轴截面的面积为________．答案：eq\f(a2,π)解析：设圆柱底面半径为r，则2π·r＝a，r＝eq\f(a,2π)，故轴截面长为a，宽为eq\f(a,π)，面积为eq\f(a2,π).12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．答案：12＋π13．正方体AC1中，M、N分别为棱AA1和AB上的点，若∠B1MN为直角，则∠C1MN＝________.答案：90°解析：∵B1C1⊥平面ABB1A1，MN⊆平面ABB1A1，∴MN⊥B1C1，B1C1∩B1M＝B1，∴MN⊥平面MB1C1.∴MN⊥MC1，∴∠C1MN＝90°.14．下列关于四棱柱的四个命题中，正确的命题序号为________．①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱答案：②④解析：对于命题①，斜棱柱中的两个相对的侧面可以同时垂直于底面，故①错误．对于命题②，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则它们的交线一定垂直于底面，又这一交线是两对角面的平行四边形的中位线，所以四条侧棱都垂直于底面，棱柱为直四棱柱，即②正确．对于命题③，如图所示的斜四棱柱，它的所有棱长都相等，且∠AA1B1＝∠AA1D1＝60°，这时它的四个侧面两两全等，故③错误．对于命题④，由四棱柱的四条对角线两两相等得到两对角面是矩形，从而四棱柱是直四棱柱，故④正确．15．设m、n是异面直线，则下列四个命题中，正确命题的序号为______________．(1)一定存在平面α，使m⊂α且n∥α；(2)一定存在平面α，使m⊂α且n⊥α；(3)一定存在平面γ，使m、n到γ的距离相等；(4)一定存在无数对平面α、β，使m⊂α，n⊂β且α⊥β.答案：(1)(3)(4)解析：(1)正确，在直线m上任取一点作n的平行线n′，则直线m和n′相交，确定的平面为所求的α；(2)错误，当异面直线m、n不垂直的时候，就不存在平面α，使m⊂α且n⊥α；(3)正确，在异面直线m、n上各任意取一点A、B，过线段AB的中点作一个平面γ，使平面γ与异面直线都平行，则平面γ为所求；(4)正确，过直线m任作一个平面α，则过直线n的平面β绕着直线n旋转时，一定有一个位置，使得平面β与平面α垂直．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．(13分)下图是4个三视图和4个实物图，请将三视图和实物图正确配对．(1)(2)(3)(4)ABCD解：利用作三视图的方法判别．(1)的实物图形是C；(3)和(4)的俯视图可以看出，(3)(4)分别对应B，A，于是(2)对应D.17．(13分)如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD为平行四边形，M，N分别是棱AB，PC的中点，平面CMN与平面PAD交于PE.(1)求证：MN∥平面PAD；(2)求证：MN∥PE.证明：(1)如图，取DC的中点Q，连接MQ，NQ.∵N，Q分别是PC，DC的中点，∴NQ∥PD.∵NQ⃘平面PAD，PD平面PAD，∴NQ∥平面PAD.∵M是AB的中点，四边形ABCD是平行四边形，∴MQ∥AD.又∵MQ⃘平面PAD，AD平面PAD，∴MQ∥平面PAD.∵MQ∩NQ＝Q，∴平面MNQ∥平面PAD.∵MN平面MNQ，∴MN∥平面PAD.(2)∵平面MNQ∥平面PAD，且平面PEC∩平面MNQ＝MN，平面PEC∩平面PAD＝PE，∴MN∥PE.18．(13分)已知在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，AC＝eq\f(1,2)AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，D，S分别为PB，AB，BC的中点．(1)求证：PA∥平面CDM；(2)求证：SN⊥平面CDM.证明：(1)因为在三棱锥P－ABC中，M，D分别为PB，AB的中点，所以MD∥PA，因为MD平面CDM，PA⃘平面CDM，所以PA∥平面CDM.(2)由(1)，知MD∥PA.又PA⊥平面ABC，所以MD⊥平面ABC.又SN平面ABC，所以MD⊥SN.在△ABC中，连接DS，因为D，S分别为AB，BC的中点，所以DS∥AC，且DS＝eq\f(1,2)AC.又AB⊥AC，所以AD⊥DS.因为AC＝eq\f(1,2)AB，所以AC＝AD，所以∠ADC＝45°，∠CDS＝45°.又AB＝4AN，所以DN＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)AC，即DN＝DS，所以∠SND＝45°，故SN⊥CD.又MD∩CD＝D，所以SN⊥平面CDM.19．(13分)如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.解：(1)设BD中点为O，连接OC，OE，则由BC＝CD知，CO⊥BD，又已知CE⊥BD，所以BD⊥平面OCE.所以BD⊥OE，即OE是BD的垂直平分线，所以BE＝DE.(2)取AB中点N，连接MN，DN，∵M是AE的中点，∴MN∥BE，∵△ABD是等边三角形，∴DN⊥AB.由∠BCD＝120°知，∠CBD＝30°，所以∠ABC＝60°＋30°＝90°，即BC⊥AB，所以ND∥BC，所以平面MND∥平面BEC，故DM∥平面BEC.20．(14分)四棱锥P－ABCD的底面与四个侧面的形状和大小如图所示．(1)写出四棱锥P－ABCD中四对线面垂直关系(不要求证明)；(2)在四棱锥P－ABCD中，若E为PA的中点，求证：BE∥平面PCD.解：(1)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥平面PAB，BC⊥平面PAB，AB⊥平面PAD.(2)证法一：取PD的中点F，连接EF，CF，∵E，F分别是PA，PD的中点，∴EF∥AD，EF＝eq\f(1,2)AD，在直角梯形ABCD中，BC∥AD，且BC＝eq\f(1,2)AD，∴EF∥BC，且EF＝BC，∴四边形BEFC是平行四边形，∵BE∥CF.又∵CF⊂平面PCD，BE⃘平面PCD，∴BE∥平面PCD.证法二：取AD的中点N，连接EN，BN∵E，N分别是PA，AD的中点，∴EN∥PD，又∵EN⃘平面PCD，∴EN∥平面PCD在直角梯形ABCD中，BC∥AD，且BC＝eq\f(1,2)AD＝DN，∴四边形BCDN是平行四边形，BN∥CD又∵BN⃘平面PCD，∴BN∥平面PCD∵BN∩EN＝N，∴平面BEN∥平面PCD.又BE⊂平面BEN，∴BE∥平面PCD.21．(14分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC＝BC＝AA1＝a，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点．(1)求证：C1D⊥平面A1B1BA.(2)当点F在BB1上的什么位置时，AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论．解：(1)∵AC＝BC，∴A1C1＝B1C1，