高中数学北师大版3第一章计数原理 第1章

第一章§4一、选择题1．现从男、女共8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全球“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动，已知共有90种不同的方案，那么男、女同学的人数分别是()A．男同学2人，女同学60人 B．男同学3人，女同学5人C．男同学5人，女同学3人 D．男同学6人，女同学2人解析：设男同学有x人，则女同学有(8－x)人，故Ceq\o\al(2,x)×Ceq\o\al(1,8－x)×Aeq\o\al(3,3)＝90，∴x＝3.故男同学有3人，女同学有5人．答案：B2.如图，用6种不同的颜色把图中A、B、C、D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有()A．400种 B．460种C．480种 D．496种解析：从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D、A同色1种，D、A不同色3种．∴不同涂法有6×5×4×(1＋3)＝480(种)．故选C．答案：C3．某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有()A．(Ceq\o\al(1,26))2Aeq\o\al(4,10)个 B．Aeq\o\al(2,26)Aeq\o\al(4,10)个C．(Ceq\o\al(1,26))2104个 D．Aeq\o\al(2,26)104个解析：英文字母可以相同，故有(Ceq\o\al(1,26))2种选法，而数字有0～9共10个，故有Aeq\o\al(4,10)种排法．所以满足要求的牌照号码有(Ceq\o\al(1,26))2Aeq\o\al(4,10)个．答案：A4．某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的素菜，用餐者可以按下述方法搭配午餐：①任选两种荤菜，两种素菜和白米饭；②任选一种荤菜，两种素菜和蛋炒饭，则每天不同午餐的搭配方法有()A．22种 B．56种C．210种 D．420种解析：按第一种方法有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,7)种不同的搭配方法，按第二种方法共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,7)种不同的搭配方法，故共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,7)＝6×21＋4×21＝210种搭配方法，故答案选C．答案：C二、填空题5．用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有__________个．(用数字作答)解析：分两种情况：第一类：个、十、百位上都是偶数，Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,4)＝90.第二类：个、十、百位上共有两个奇数一个偶数，Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)Ceq\o\al(1,3)＝234，共有90＋234＝324(个)．答案：3246．9名学生排成前后两排，前排4人，后排5人，若其中某两人必须排在一起且在同一排，则排法种数是__________.解析：利用“分类法”和“捆绑法”．这两人坐前排：Ceq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(7,7)，这两人坐后排：Ceq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(7,7)，所以共有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(7,7)＋Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(7,7)种，即有70560种方法．答案：70560三、解答题7．某校高一年级有6个班级，现在从中选出10人组成高一女子篮球队参加高中篮球比赛，且规定每班至少选1人参加．这10个名额有多少种不同的分配方法？解析：方法一：除每班1个名额以外，其余4个名额也需要分配．这4个名额的分配方案可以分为以下几类；①4个名额全部给某一个班级，有Ceq\o\al(1,6)种分法；②4个名额分给两个班级，每班2个，有Ceq\o\al(2,6)种分法；③4个名额分给两个班级，其中一个班级1个，一个班级3个．由于分给一班1个、二班3个和一班3个、二班1个是不同的分法，因此是排列问题，共有Aeq\o\al(2,6)种分法；④分给三个班级，其中一个班级2个，其余两个班级每班1个，共有Ceq\o\al(1,6)·Ceq\o\al(2,5)种分法；⑤分给四个班级，每班1个，共有Ceq\o\al(4,6)种分法．N＝Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(2,6)＋Aeq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(1,6)·Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(4,6)＝126(种)．方法二：该问题也可以从另外一个角度去考虑：因为是名额分配问题，名额之间无区别，所以可以把它们视作排成一排的10个相同的球，要把这10个球分开成6段(每段至少有一个球)．这样，每一种分隔办法，对应着一种名额的分配方法．这10个球之间(不含两端)共有9个空位，现在要在这9个位子中放进5块隔板，共有N＝Ceq\o\al(5,9)＝126(种)放法．故共有126种分配方法．8．将6名应届大学毕业生分配到3个公司．(1)3个人分到甲公司，2个人分到乙公司，1个人分到丙公司，有多少种不同的分配方案？(2)一个公司去3个人，另一个公司去2个人，剩下的一个公司去1个人，有多少种不同的分配方案？解析：(1)利用分步乘法计数原理，第一步，3个人分到甲公司：Ceq\o\al(3,6)；第二步，2个人分到乙公司：Ceq\o\al(2,3)；第三步，1个人分到丙公司：Ceq\o\al(1,1).∴总的分配方案有Ceq\o\al(3,6)·Ceq\o\al(2,3)·Ceq\o\al(1,1)＝60(种)．(2)此题与(1)题不同，3个人去一个公司．首先将3人选出，再选公司(有三种情况)，所以解决问题可分步如下：第一步，选3人，Ceq\o\al(3,6)；第二步，3人选公司，Ceq\o\al(1,3)；第三步，选2人，Ceq\o\al(2,3)；第四步，2人选公司，Ceq\o\al(1,2)；第五步，剩余1人去一个公司，Ceq\o\al(1,1).所以分配方案有Ceq\o\al(3,6)·Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,3)·Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,1)＝360(种)．eq\x(尖子生题库)☆☆☆9．将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数．解析：如图所示，由题设，四棱锥S－ABCD的顶点S、A、B所染颜色互不相同，它们共有5×4