2022-2023学年安徽省怀宁县高三年级上册学期12月第一次模拟考试数学试卷【含答案】

怀宁县2022-2023学年高三上学期12月第一次模拟考试数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，集合，则等于（）A．B．C． D．2．已知i是虚数单位，则复数z=2-i4+2i在复平面内对应的点所在的象限为（A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知等差数列的前项和为，,则使取得最小值时的值为()A．7 B．6 C．5 D．44．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，给出下列关于的结论：①它的图象关于直线对称；②它的最小正周期为③它的图象关于点对称；④它在上单调递增.其中所有正确结论的编号是（）A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④4．新型冠状病毒疫情期间，位党员需要被安排到个不同的路口执勤，每个路口至少安排一人，其中党员甲和乙不能被安排到同一个路口，那么总共有()种不同安排方法．A.114B.125C.96D.725.已知函数有且仅有两个不同的零点,则（）A．当时,, B．当时,,C．当时,, D．当时,,6．在长度为1的线段上任取A、B两点，则的概率为（）A． B． C． D．7．已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．8．已知，，则的最小值是（）.A．1 B． C．2 D．10．已知椭圆的左右焦点分别为，过作倾斜角为的直线与椭圆交于两点，且，则椭圆的离心率=（）A． B． C． D．11．下列大小关系正确的是（）A.B.C.D.12．若等边边长为2，边的高为，将沿折起，使二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为（）A． B． C． D．第II卷非选择题部分（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13．若曲线f（x）＝excosx﹣mx，在点（0，f（0））处的切线的倾斜角为，则实数m＝_____．14．的展开式中的系数为__________.（用数字作答）15．已知双曲线：的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线于交、两点，若，则的离心率为__________．16．已知分别为三个内角的对边，，且，则面积的最大值为____________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17—21题为必考题，每个考生都必须作答.22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．（12分）已知数列{an}满足a1＝eq\f(3,5)，an＋1＝eq\f(3an,2an＋1)，n∈N*.(1)求证：数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－1))为等比数列．(2)求数列{an}的通项公式.18.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.（1）求角；（2）若，边上的中线，求边的长.19．如图，四棱锥中，底面是边长为3的菱形，.面，且.在棱上，且，为棱的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.20．为研究一种新药的耐受性，要对白鼠进行连续给药后观察是否出现症状的试验，该试验的设计为：对参加试验的每只白鼠每天给药一次，连续给药四天为一个给药周期，试验共进行三个周期．假设每只白鼠给药后当天出现症状的概率均为，且每次给药后是否出现症状与上次给药无关．（1）从试验开始，若某只白鼠连续出现次症状即对其终止试验，求一只白鼠至少能参加一个给药周期的概率；（2）若在一个给药周期中某只白鼠至少出现次症状，则在这个给药周期后，对其终止试验，设一只白鼠参加的给药周期数为，求的分布列和数学期望．21．（12分）已知函数=x﹣1﹣alnx．（1）若，求a的值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n，﹤m，求m的最小值．22．已知点F是抛物线C：的焦点，P是其准线l上任意一点，过点P作直线PA，PB与抛物线C相切，A，B为切点，PA，PB与x轴分别交于Q，R两点．（Ⅰ）求焦点F的坐标，并证明直线AB过点F；（Ⅱ）求四边形ABRQ面积的最小值．1．已知集合，集合，则等于（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由，所以，故选：B.2．已知i是虚数单位，则复数z=2-i4+2i在复平面内对应的点所在的象限为（A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】因为z=2-i4+2i=6-8i203．已知，则a、b、c的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题,,且,.故.故选：C4．随着社会发展对环保的要求，越来越多的燃油汽车被电动汽车取代，为了了解某品牌的电动汽车的节能情况，对某一辆电动汽车“行车数据”的两次记录如下表：记录时间累计里程（单位：公里）平均耗电量（单位：公里）剩余续航里程（单位：公里）2020年1月1日50000.1253802020年1月2日51000.126246（注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量，）下面对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是（）A．等于 B．到之间 C．等于 D．大于【答案】D【解析】由题意可知：故该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计值大于12.6.故选：D.5．函数的部分图象大致是（）.A． B．C． D．【答案】A【解析】根函数是奇函数，排除D，根据x取非常小的正实数时，排除B，是满足的一个值，故排除C，故选：A．6．《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个.若在这座楼阁的灯球中，随机选取一个灯球，则这个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设大灯下缀2个小灯为个，大灯下缀4个小灯有个，根据题意可得，解得，则灯球的总数为个，故这个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为，故选B．7．已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】圆得到即圆心，半径，设在圆上，则，，即，所以实数的取值就是圆上的点到原点的距离取值，且，，则，因此实数的取值范围为故选：D.8．某程序框图如图所示，若输出的，则判断框内应填（）A． B． C． D．【答案】C【解析】当，进入循环，第一次循环后，．，第二次循环后，．，第三次循环后，．，第四次循环后，．，第五次循环后，．，满足条件，应跳出循环，故判断框内应填写“？”．故选：C．9．已知等差数列的前项和为，,则使取得最小值时的值为()A．7 B．6 C．5 D．4【答案】C【解析】等差数列{an}中，∵a4+a7+a10=9，S14﹣S3=77，∴，解得a1=﹣9，d=2．∴=n2﹣10n=（n﹣5）2﹣25，∴当n=5时，Sn取得最小值．故选C．10．已知椭圆的左右焦点分别为，过作倾斜角为的直线与椭圆交于两点，且，则椭圆的离心率=（）A． B． C． D．【答案】D【解析】椭圆的左右焦点分别为，过且斜率为的直线为联立直线与椭圆方程消后，化简可得因为直线交椭圆于A，B，设由韦达定理可得且，可得，代入韦达定理表达式可得即化简可得所以故选：D．11．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，给出下列关于的结论：①它的图象关于直线对称；②它的最小正周期为③它的图象关于点对称；④它在上单调递增.其中所有正确结论的编号是（）A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④【答案】B【解析】将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象.令，求得，不是最值，故的图象不关于直线对称，故①不正确；它的最小正周期为，故②正确；当时，，故的图象关于点对称，故③正确；在上，，没有单调性，故④错误，故选：B.12．若等边边长为2，边的高为，将沿折起，使二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可知：三棱锥中有，，则二面角的平面角为即有，三棱锥的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，设底面的外接圆圆心为，半径为，三棱锥的外接球球心为，半径为，则在等腰中有：，且，，解得：即的外接圆的半径，因为外接球为三棱柱的外接球，根据对称性可得，所以在中：，即，所以四面体的外接球的表面积故选：C第II卷非选择题部分（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13．若曲线f（x）＝excosx﹣mx，在点（0，f（0））处的切线的倾斜角为，则实数m＝_____．【答案】2【解析】f′（x）＝ex（cosx﹣sinx）﹣m．∴．∴m＝2．故答案为：214．已知数列满足，，令，则数列的前2020项的和__________．【答案】【解析】，是等比数列，，故答案为：15．世卫组织就新型冠状病毒感染的肺炎疫情称，新型病毒可能造成“持续人传人”.通俗点说就是存在A传B，B又传C，C又传D，这就是“持续人传人”.那么A、B、C就会被称为第一代、第二代、第三代传播者.假设一个身体健康的人被被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.95，0.9，0.85，健康的小明参加了一次多人宴会，事后知道，参加宴会的人有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者，试计算，小明参加聚会，仅和感染的10个人其中一个接触，感染的概率有多大_______.【答案】0.915【解析】设事件A，B，C为和第一代、第二代、第三代传播者接触，事件D为小明被感染，则由已知得：p(A)=0.5，p(B)=0.3，p(C)=0.2，p(D|A)=0.95，p(D|B)=0.90，p(D|C)=0.85，从而，小明被感染的概率由概率公式可得：p(D)=p(D|A)p(A)+p(D|B)p(B)+p(D|C)p(C)=0.95×0.5+0.90×0.3+0.85×0.2=0.915故答案为：0.91516．已知双曲线的右焦点为，过作一条渐近线的垂线，垂足为，在第一象限，线段交双曲线于点，如果，则双曲线的离心率等于________.【答案】【解析】由题意知，与渐近线垂直，则斜率为，因为，则直线方程为，与联立得，解得，即，由，可得，因为在双曲线上，则，整理得，，即.故答案为:.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ），，由正弦定理可得：，，，．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，，，由正弦定理得：，由，故为锐角，，．【答案】（1）证明见解析；是，，，，；（2）.【解析】证明：（1）由堑堵的性质得：四边形是矩形，底面，平面，，又，，平面，面，四棱锥为阳马，四面体为鳖臑，四个面的直角分别是，，，.（2），由（1）知阳马的体积：，当且仅当时，，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，设平面的法向量，则，取，得，设平面的法向量，则，取，得，设当阳马体积最大时，二面角的平面角为，则，当阳马体积最大时，二面角的余弦值为.19．已知动圆的圆心为点，圆过点且与被直线截得弦长为．不过原点的直线与点的轨迹交于两点，且．（1）求点的轨迹方程；（2）求三角形面积的最小值．【答案】（1）．（2）16【解析】（1）设，圆的半径圆到直线的距离由于圆被直线截得弦长为，所以即，化简得，所以点的轨迹方程为．（2）由知（或）解法一：设直线的方程为由消去得即，由即，即由于，所以，所以解得所以直线方程为恒过定点三角形面积当时，所以三角形面积的最小值为16．解法二：设直线的方程为，则直线的方程为由，解得即，所以同理可得三角形面积下面提供两种求最小值的思路：思路1：利用基本不等式，当且仅当即时，所以三角形面积的最小值为16．思路2：用导数不妨设，则，当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增所以当时，所以三角形面积的最小值为16．20.（1）记一轮投球，甲命中为事件，乙命中为事件，相互独立，由题意，，甲的得分的取值为，，，，（2）由（1），，同理，经过2轮投球，甲的得分取值：记，，，则，，，，由此得甲的得分的分布列为：－2－1012∴，∵，，∴，，∴，代入得：，∴，∴数列是等比数列，公比为，首项为，∴．∴．21.（Ⅰ），当时，，，，无零点；当时，，，单调递减，又，，有唯一零点；当时，，，又，，有唯一零点；综上所述：在有两个零点．（Ⅱ）（i），由（Ⅰ）知：在无极值点；在有极小值点，即为，在有极大值点即为，又，，，，可知，，同理在有极小值点，…，在有极值点．由得：，，，，，而，，故有，在是增函数，，即；（ii）由（i）知：，，，由在递增得：，当为偶数时，不妨设，从开始相邻两项配对，每组和均为负值，即，结论成立；当为奇数时，设，，，从开始相邻两项配对，每组和均为负值，还多出最后一项也是负值，即，结论也成立．综上，对一切，成立．18.证明：（1）由堑堵的性质得：四边形是矩形，底面，平面，，又，，平面，面，四棱锥为阳马，四面体为鳖臑，四个面的直角分别是，，，.（2），由（1）知阳马的体积：，当且仅当时，，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，设平面的法向量，则，取，得，设平面的法向量，则，取，得，设当阳马体积最大时，二面角的平面角为，则，当阳马体积最大时，二面角的余弦值为19.（1）设，圆的半径圆到直线的距离由于圆被直线截得弦长为，所以即，化简得，所以点的轨迹方程为．（2）由知（或）设直线的方程为由消去得即，由即，即由于，所以，所以解得所以直线方程为恒过定点三角形面积当时，20.（1）记一轮投球，甲命中为事件，乙命中为事件，相互独立，由题意，，甲的得分的取值为，，，，（2）由（1），，同理，经过2轮投球，甲的得分取值：记，，，则，，，，由此得甲的得分的分布列为：－2－1012∴，∵，，∴，，∴，代入得：，∴，∴数列是等比数列，公比为，首项为，∴．∴．21.（Ⅰ），当时，，，，无零点；当时，，，单调递减，又，，有唯一零点；当时，，，又，，有唯一零点；综上所述：在有两个零点．（Ⅱ）（i），由（Ⅰ）知：在无极值点；在有极小值点，即为，在有极大值点即为，又，，，，可知，，同理在有极小值点，…，在有极值点．由得：，，，，，而，，故有，在是增函数，，（2）取中点，连接，∵是的菱形，∴，又面，∴分别以、、为、、轴正方向建立空间直角坐标系如图所示.则、、、、.∴、.设面的一个法向量，则由可得，不妨令，则解得，，∴.显然面的一个法向量，∴，∴二面角的余弦值为.18．（1）证明见解析，；（2）证明见解析.【解析】试题分析：本题第（1）问，证明等比数列，可利用等比数列的定义来证明，之后利用等比数列，求出其通项公式；对第（2）问，可先由第（1）问求出，然后转化为等比数列求和，放缩法证明不等式.试题解析：（1）证明：由得，所以，所以是等比数列，首项为，公比为3，所以，解得.（2）由（1）知：，所以，因为当时，，所以，于是=，所以.19．（1）；（2）分布列见解析，.【分析】（1）利用“正难则反”思想，计算一个给药周期也没有参加完的概率，则至少能参加一个给药周期的概率为；（2）先计算出一个给药周期内至少出现次症状的概率，