微专题三　对角互补模型

第四章三角形微专题三对角互补模型对角互补模型主要包括两种模型：①含90°的对角互补模型；②含120°的对角互补模型.解决此类题型常用到的辅助线作法主要有两种：旋转法和过顶点作两垂线.

类型条件结论图示“90°”模型∠AOB＝∠DCE＝90°△CDM∽△CENOC平分∠AOB类型条件结论图示“120°”模型∠AOB＝2∠DCE＝120°△CDM∽△CENOC平分∠AOB

▶类型1：“90°”模型【例1】如图1，将一个直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线BD上滑动，并使其一条直角边始终经过点A，另一条直角边与BC相交于点E.（1）求证：PA＝PE；（2）若将（1）中的正方形变为矩形，其余条件不变（如图2），且AD＝10，DC＝8，求AP∶PE.图1

图2

思路点拨

图1－1

图2－1

图1－1

图2－1

▶类型2：“120°”模型【例2】在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，D是线段BC的中点，∠EDF＝120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F.（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为点F，AB＝4，求BE的长；

图1图2

思路点拨

图2－1

图2－11.如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝4，D为AB的中点，以点D为圆心作圆，半圆恰好经过三角形的直角顶点C，以点D为顶点，作90°的∠EDF，与半圆交于点E，F，则图中阴影部分的面积是

π－2

⁠.

π－2

▶类型1：“90°”模型2.已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，Q为线段DB上的一点，∠MQN＝90°，点M，N分别在直线BC，DC上.

图1（1）证明：如图，过Q点作QP⊥BD交DC于点P，则∠PQB＝90°.

∵∠MQN＝90°，∴∠NQP＝∠MQB.∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝CB，∠BDC＝∠DBC＝45°，DO＝BO，∴∠DPQ＝45°，DQ＝PQ.∴∠DPQ＝∠DBC，

∵Q是OD的中点，且PQ⊥BD，∴QP是△DOC的中位线，∴∠DPQ＝45°，DQ＝PQ.∴∠DPQ＝∠DBC，

∵Q是OD的中点，且PQ⊥BD，∴QP是△DOC的中位线，

▶类型2：“120°”模型

证明：如图，过点A向∠BDC的两边作垂线，垂足分别为点E，F.

由圆内接四边形的性质，得∠BDC＝180°－∠BAC＝60°.∵AB＝AC，∴∠ADB＝∠ADC＝30°.由圆内接四边形的性质，得∠BDC＝180°－∠BAC＝60°.∵AB＝AC，∴∠ADB＝∠ADC＝30°.

∴△ADE≌△ADF（AAS），∴AE＝AF，DE＝DF.又∵AB＝AC，∴Rt△AEB≌Rt△AFC（HL）.

∴△ADE≌△ADF（AAS），∴AE＝AF，DE＝DF.∴BE＝CF，∴BD＋CD＝BE＋DE＋DF－CF＝2DE.在Rt△DEA中，∠EDA＝30°，∴BD＋CD＝BE＋DE＋DF－CF＝2DE.在Rt△DEA中，∠EDA＝30°，∴BE＝CF，

解：EF＝BE＋CF.理由如下：延长FC到点T，使得CT＝BE，连接AT，如图.∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠ACB＝30°.∴∠DBC＝∠DCB＝60°，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠ACB＝30°.∵△BCD是等边三角形，∴∠DBC＝∠DCB＝60°，∴∠ABD＝∠ACD＝90°，∴∠ABE＝∠ACT＝90°.∵AB＝AC，BE＝CT，∴△ABE≌△ACT（SAS）.∴∠ABD＝∠ACD＝90°，∴∠ABE＝∠ACT＝90°.∵AB＝AC，BE＝CT，∴∠BAE＝∠CAT，AE＝AT，∴∠EAT＝∠BAC＝120°.又∵∠EAF＝60°，∴∠TAF＝60°＝∠EAF，∴∠BAE＝∠CAT，AE＝AT