微专题五　手拉手模型

第四章三角形微专题五手拉手模型1.说明：两个三角形的顶点重合，其中一个三角形不动，另一个三角形绕着重合的顶点旋转，就好像手拉着手一样，所以称为“手拉手”模型.2.判断方法：将初始图形的公共顶点放在上方，图形正对着我们，左边顶点称为“左手”，右边顶点称为“右手”.3.特点：（1）两条“拉手线”所在直线夹角与初始图形中公共顶点对应的角相等或互补；（2）三角形顺时针或逆时针旋转，得到的结论相同；（3）“手拉手”模型中，若“手拉手”的两个三角形均是等腰三角形，且公共顶点是顶角顶点，则对应边与“拉手线”组成的两个三角形全等；若两个三角形为非等腰三角形，则对应边与“拉手线”组成的两个三角形相似.

模型模型说明图示基本结论手拉手全等模型1.△AOB∽△COD，OA＝OB，∠AOB＝α；2.将△COD绕点O旋转，直线AC，BD交于点E，所夹锐角为β1.△AOC≌△BOD（点A，O，C三点不共线）；2.当α≤90°时，β＝α，当α＞90°时，β＝180°－α；3.点E在△OAB的外

接圆上模型模型说明图示基本结论手拉手相似模型1.△AOB∽△COD，OA＝OB，∠AOB＝α；2.将△COD绕点O旋转，直线AC，BD交于点E，所夹锐角为β1.△AOC≌△BOD（点A，O，C三点不共线）；2.当α≤90°时，β＝α，当α＞90°时，β＝180°－α；3.点E在△OAB的外接圆上模型模型说明图示基本结论手拉手相似模型1.△AOB和△COD是直角三角形，O是直角顶点，OA≠OB；2.△AOB∽△COD，∠AOB＝α＝90°；3.将△COD绕点O旋转，直线AC，BD交于点E，所夹锐角为β模型模型说明图示基本结论手拉手相似模型1.△AOB和△COD是直角三角形，A是直角顶点；2.△AOB∽△COD，∠AOB＝α；3.将△COD绕点O旋转，直线AC，BD交于点E，所夹锐角为β模型模型说明图示基本结论手拉手相似模型1.△AOB∽△COD，∠AOB＝α，OA≠OB；2.将△COD绕点O旋转，直线AC，BD交于点E，所夹锐角为β

▶类型1：手拉手全等模型【例1】已知在△ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将△AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到△EOF，连接AE，CF.图1（1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是

AE＝CF

⁠；

AE＝CF（2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；图2（3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6时，求DE的长.图3

思路点拨

图2

图3

▶类型2：手拉手相似模型【例2】如图1，已知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，点D，E分别在线段AB，AC上，∠C＝∠AED＝90°.图1（1）观察猜想：如图2，将△ADE绕点A逆时针旋转，连接BD，CE，BD的延长线交CE于点F.当BD的延长线恰好经过点E时，点E与点F重合，此时，

图2

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（2）类比探究：如图3，继续旋转△ADE，点F与点E不重合时，上述结论是否仍然成立，请说明理由.图3备用图

思路点拨

（3）当CE⊥AD时，分

图4－1图4－2

图3

图3

▶类型1：手拉手全等模型1.如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，D为BC边上一点（不与点B，C重合）.将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接EC，则：（1）①∠ACE的度数是

60°

⁠；

②线段AC，CD，CE之间的数量关系是

AC＝CD＋CE

⁠.

60°

AC＝CD＋CE

（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC.请写出∠ACE的度数及线段AD，BD，CD之间的数量关系，并说明理由.

（3）如图3，在Rt△DBC中，DB＝3，DC＝5，∠BDC＝90°.若点A满足AB＝AC，∠BAC＝90°，请直接写出线段AD的长度.

▶类型2：手拉手相似模型2.如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，D，E分别是BC，AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按逆时针方向旋转，记旋转角为α.图1

（1）问题发现：