《数学分析选论》例题选讲new

《数学分析选论》例题选讲第十章.多元函数微分学一．主要内容：多元函数的极限与连续，多元函数的偏导数与全微分的计算，多元函数的高阶偏导数与二元函数的极值计算.例题.例1设证明:.证明对由于可知当时，便有。故。例2设证明：不存在.证明它随而异，因此不存在。例3讨论函数在点处的偏导数的存在性.解计算偏导数1).当时，按通常方法求偏导数2).当时，按定义求偏导数，.例4设,而,.求,.和解.由于,,,,于是,..例5设.求,.解这里是以和为自变量的复合函数,它可写成如下形式,,.由复合函数求导法则知 .于是,例6设在上可微函数满足+，试证：在极坐标系里只是的函数.证对于复合函数，，由于，=+，因此当时，，与无关，即在极坐标系里只是的函数.例7从一块边长为的正方形铁皮四角截去同样大小的正方形，然后把四边折起来做成一个无盖盒子，问要截去多大的正方形，才能使盒子的容积最大？。解设截去的正方形边长为，则盒子的容积为.由，于是,是内唯一稳定点，必为最值点.由得为最大值点.于是要截去边长为的小正方形，能做成容积最大的盒子.例8求函数在矩形域上的最大值与最小值.解1）求稳定点.令解得稳定点（另一点）.2）判定稳定点是否是极值点。为此求出，，，并有的偏导数处处存在，因此在D内有其他的极值点.3）考察在上的取值情形如下i．在，上，，而故f在D的这条边上关于y是单增的；ii．在，上，是单减的；iii．在,上，有稳定点；iv．在，上，有稳定点.4）计算特殊点上的函数值，，经比较，便可得到，第十一章.隐函数一．主要内容：隐函数的求导条件极值的计算偏导数在几何上的应用.二.例题.例1设方程确定,求.解设.由于,及其偏导数在平面上任一点都连续,且,.于是由方程确定存在,且.例2讨论方程在原点附近所确定的二元隐函数及其偏导数.解由于,,处处连续,由隐函数存在定理,知在原点附近能唯一确定连续的隐函数,且可求得它的偏导数如下,.例3设是由方程，求.解方程两边对求偏导，有，因而方程两边对求偏导，有，因而.故.例4设,求.解方程组两边对求偏导得到，因此有，。方程组两边对求偏导得到，因此.例5求表面积为,而体积最大的长方体的体积.解设长，宽，高分别为，则问题变为求函数的最大值，联系方程为.设辅助函数为，则有，解方程组得到，因而最大体积为.例6求函数在条件,下的极值,并证明不等式,其中为任意正实数.解设拉格朗日函数为.对求偏导数,并令它们都等于零,则有由此解得的稳定点为,为判定是否为所求条件极(小)值,可把条件看作隐函数(满足隐函数定理条件),并把目标函数看作与的复合函数,再应用极值充分条件来作出判断,为此计算如下:=,,,,,,.当时,,,.由此可见,所求得的稳定点为极小值点,且是最小点.于是,就有不等式,(且).令则有,代入上面不等式,有,或,例7求空间曲线，，，在点（对应于）处的切线方程和法平面方程.解将代人参数方程，得点，该曲线的切向量为T=（于是得切线方程为法平面方程为=0，即例8求椭圆面在处的切平面方程与法线方程.解设.由于在全空间上处处连续,在处于是,得切平面方程为,即.法线方程为.第十三章.重积分重点:二重，三重积分的计算例题.例1设是由直线和围成,试求的值.解先对积分后对积分..由分部积分法,知.例2设是由矩形区域，围成,试求的值.解由于则例3设=,试求的值.解利用极坐标变换例4设是上的正值连续函数，试证，其中是，.证明由于对上面区域变换积分变量记号时，积分区域不变，因此。例5计算,其中为由平面,,,,与所围成.解在平面上的投影区域为,于是.例6计算其中积分区域为，的公共部分.解法1用球坐标计算积分，积分区域分解成；，其中；，于是=.解法2用平行于0xy平面去截此V，得到的截痕为圆，因此，可用“先二后一”法，有=.例7变换为球面坐标计算积分.解积分区域变换为球面坐标为，于是，=.例8设函数连续，，其中，，求和.解因为区域为柱状区域，被积函数中第二项为，所以用柱坐标法比较方便．.于是，.利用洛必达法则，有.例9求曲面被柱面与平面所割下部分的面积.解曲面方程表示为，，，于是所求面积S=.例10变换为球面坐标计算积分.解积分区域变换为球面坐标为，于是，=.第十四章.曲线与曲面积分重点:第一（二）型曲线积分的计算第一（二）型曲面积分的计算3.格林公式和高斯公式计算曲线与曲面积分.斯托克斯公式的运用二.例题.例1计算，其中L是摆线的一段（）.解由，，可得，，则=.例2计算，其中为以，，，为顶点的正方形封闭围线.解段：直线方程，，.段：直线方程，，。段：直线方程，，段：直线方程，，于是有，=0.例3计算，其中为四分之一的边界，依逆时针方向.解设，，则原式＝＝。例4判别下列表达式.是否某函数的全微分，若是的话，求出这个函数.解设，因为，则是某函数的全微分.且.例5求,其中是点A(2,0)到点O(0,0)的上半圆周.解用轴上直线段,使上半圆周和直线段构成封闭曲线.设,.有.于是=.其中在直线段上,有,,则.因此.例6计算曲面积分其中为圆锥面被曲面所割下的部分.解对于圆锥面，则，在平面上投影区域为：，于是.例7计算，其中S是由曲面与平面所围成立体表面的外侧.解曲面S1取负侧，而投影区域为D1：，于是应用极坐标可得，曲面S2取正侧，而投影区域为D2：2，于是应用极坐