2016高等数学零基础讲义

2016考研数学高等数学零基础入门讲欢迎使 TOC\o"1-1"\h\z\u第一讲函 第二讲极 第三讲连 第四讲导数与微 第五讲不定积 第六讲定积 第一讲函数yxyf(xx的取值范合 y＝C（常数 yx（为常数

yax（a0a1ylogax（a0a1ysinx;ycosx;ytanx.yarcsinx;yarccosx;f(x)f(xf(x为偶函数；f(x)f(x)，则称f(x常见的奇函数有：sinxtanxarctanxarcsinx等；f(xT)f(x，则称Tf(x的周期.由此可见，周期函数有无穷多个周期，一注：常见的周期函数有：sinxcosx以2tanxcotxsinxcosx,sin2x以f(xI上有定义，若x1x2I（x1x2f(x1f(x2fIf(x1f(x2，则单调递减.f(xIxI,都有f(x)Mf(xIf(xIf(xI上有界的充要条件是既有上界又有下界.第二讲极限0

0x

f(x)A0(0)，则存在0，当0|xx0|f(x)0(f(x)0(0)，且limf(x)AA0(x

f(xA，则存在00|xx0|f(x)定理1（单调有界准则数列xn满足单调上升（下降）有上界（下界有极限定理 准则：设数列xn满足以下两个条ynxnlimynlimzn 则x有极限且limxa nlimCC；limP(x)P(x)；limPn Pn(x0 （Q(x)xx0 xx0 0Qm Qm(x0a

ax

a

当mnlim 0＝ 当mnxbn

b1x

当mn利用第一个重要极限

sin

sin

limxcotx0sin

x0

1

e x1

xx无穷小量定义：若limfx0，则fx0l

fgl0fxgx高阶的无穷小量，称gxfx低阶的无穷小量记为fxogxl0fxgxl1fxgxf(x)~limf(x)gk

(c0f(xg(x)的k定理3：设f(x)~ 0f(1x) ，g(x)~

g1(x，若lim

f1(x)在，则g1

f

.

0常见的等价无穷小（xx~sinx~arcsinx~tanx~arctanx~ln(1x)~ex1cosx~1x2(1x)1~lim(3xsin11sin lim(3xsin11sin limtanxsin

11x2 sin1x2无穷大量，记limfx

fxMfx若limf(x)，则 f

0若limf(x)0，且f(x)0，则 f

第三讲连续1f(x在U(x0limy0f(xx0x0f(x的连续点x0f(x的x

f(x)f(x0f(x

f(x)f(x0)00

f(x)00

f(x)f(x0)第二类间断点：左右极限至少有一个不存在,若x

f(x)x0f(xx1）f(x)x2）f(x)f(x)

xxxx

xxxxx第四数与一、导数与微分概增量yfx0xfx0，如果极限limylimfx0xfx0x0 存在，则称此极限为函数fxx0处的导数，记作fx0yx0

，0dxx0

，x，

yfx

fxx0处可导fxx0处左、右导数皆存在且相yfxx0fx0fx0yfx在点x0，fx0处的切线的斜率，于是有切线yfx0fx0xx0yfx xxfx0003.求导法fx0(C)

(sinx)cos (cosx)sin (tanx)sec2x cos2(cotx)csc2x 11

(secx)secxtan (cscx)cscxcota(ax)axln (logx)

xln

(arcsinx)

(arccosx) 1(arctanx)11x

(arccotx) 1x

uvv(uv)u (uv)uvv v v 0 yf(uu(x)yf[(xdydydu duyyx是由方程Fx，y0所确定y的方法如下Fx，y0两边的各项x求导，把y看作中间变量，用复合函数求导公式计算，然后再解出y的表达式.yfxxgygydy dx定理1：设（1）x

f(x) limg(x)x（2）x的某去心邻域内(x),g(x)都可导，且满足 f(x)a()，其中g(x)

0f(x) f(x)

xx0gxx0 xx0gxsin sinxsin(sin lnlim x

lim

lim x

lim x lim(xln lim(

x0 tan二、微yfx0xfx0有下面的表达式yAx0xo x xAx0与x无关，ox是x0时比x高阶的无穷小，则称fxx0处可微，并把yAx0xfxx0处的微分，记以dy|xx或df x02：yf(xx0yf(xx0处可导且dyxxf(x0)x0第五 不定积设函fxFx在区I上有定义FxfxI上成立．则称Fx记以fxdx.其中xfxfxdx称

FxdxFx 或dFxFx fxdxf 或dfxdxf kfxdxkfx（4）fxgxdxfxdxgkdxkx sinxdxcosx cosxdxsinxtanxdxlncosxsecxdxlnsecxtanxsecxtanxdxsecx

cotxdxlnsinxcscxdxlncscxcotxcscxcotxdxcscxsec2xtan csc2xdxcotx 1dxarctanx21 dxarcsin1fxxdxfxdx令uxfuduF(uCFxsin e 1

x

ln2 x

sinxcos2sinxcos

11x

11xxt的反函数.

t1xa2x2 (a (a aa2x1 设ux，vx均有连续的导数uxdvxuxvxvxduxsin xarctan xln exsin arctan

axnaxn1b0xmb1xm1bn a0a1a2an及b0b1,b2,bm为常数，且a00b00P(x的次数n小于或等于分母多项式Q(x的次数m，称分式为真分式；P(x的次数n大于或等于分母多项式Q(x)的次数m定理：若上面定义中的Q(x)Q(x)b0(xa)k(xb)l(x2pxq)s （p24q则P(x) (x (x (x (x

(x

(xP1xx2px

P2x(x2px

(x2px1x25x1

(1x)(1x2)第六定义：设函数f(x)在[a,b]上有界，在a,b中任意插入若干个分ax0x1x2xn1xn把区间a,b分成n个小区

[x0,x1],[x1,x2],,[xn1,xnx1x1x0,x2x2x1,,xnxnxn1xi1xi]上任取一点i(xi1ixif(i与小区间长度xi乘积f(i)xi(i1,2,n并作nSf(i)xii1时,和SIIbf(x在区间[a,b]上的定积分(简称积分),记作af(x)dxbbnbf(x)dx=I=limf(i)xi 0叫做被积函数,做积分上限,a,b叫做积分区间b注意：积

变量无关，即： f(x)dxaf(t)dtf1f(x)在[a,bf(x在a,b2设f(x)在[a,bf(x)在[a,bbabaf(x)dx ab

f(x)dx

f a[f(x)g(x)]dxaf(x)dxa akf(x)dxk

f af(x)dxaf(x)dxcf 注意：我们规定无论a,b,c的相对位置如何，总有上述等式成立.性质4：如果在区间a,b上，f(x)1,则bf(x)dx bdxb 性质5：如果在区间a,b上，f(x)0, a

f(x)dx (a推论 如果在a,b上，f(x)g(x),则bf(x)dxb （ab