广东省梅州市梓皋中学2022-2023学年高三数学理上学期期末试卷含解析

广东省梅州市梓皋中学2022-2023学年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设复数z1＝1－i，z2＝＋i，其中i为虚数单位，则的虚部为A．B．C．D．参考答案：D2.已知P是椭圆上的一点，F是椭圆的左焦点，O为坐标原点，且，，则点P到该椭圆左准线的距离为（

）A.6

B.4

C.3

D.

参考答案：答案：D3.已知函数，且，的导函数，函数的图象如图所示．则平面区域所围成的面积是（

）A．8 B．5 C．4 D．2参考答案：C考点：线性规划导数的综合运用试题解析：由图知：f(x)在单调递减，单调递增，又，所以等价于作

的可行域：A(2，0),B(0，4)，所以故答案为：C4.设集合M={0，1}，N={11－a，lga，2a，a}，以下对“是否存在实数a，使M∩N={1}”的判断正确的是

（

）

A．存在，且有四个值

B．存在，且有两个值

C．存在，且只有一个值

D．不存在参考答案：答案：D5.设，其中都是非零实数，若，那么（

）A．1

B．2

C．0

D．参考答案：A6.已知集合，集合，则等于（

）A． B． C．

D．参考答案：B7.已知△ABC的外接圆半径为1，圆心为O，且3+4+5=，则?的值为(

)A．﹣ B． C．﹣ D．参考答案：A【考点】向量在几何中的应用．【专题】平面向量及应用．【分析】先将一个向量用其余两个向量表示出来，然后借助于平方使其出现向量模的平方，则才好用上外接圆半径，然后进一步分析结论，容易化简出要求的结果．【解答】解：因为3+4+5=，所以，所以，因为A，B，C在圆上，所以．代入原式得，所以==．故选：A．【点评】本题考查了平面向量在几何问题中的应用．要利用向量的运算结合基底意识，将结论进行化归，从而将问题转化为基底间的数量积及其它运算问题．8.设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，N＝{1,3,5}，则N∩(?UM)＝()A．{1,3}B．{1,5}

C．{3,5}

D．{4,5}参考答案：C9.函数的图象大致是

（

）参考答案：D略10.已知则

A．

B．

C．

D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.右图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是［20.5，26.5］，样本数据的分组为，，，，，.已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为＿＿＿＿.参考答案：9

12.两个不共线向量的夹角为θ，M、N分别为线段OA、OB的中点，点C在直线MN上，且，则的最小值为

．参考答案：因为三点共线，所以，所以，，表示原点与直线动点的距离的平方，它的最小值为，填．

13.考察下列式子：；；；；得出的结论是

．参考答案：14.定义函数，其中表示不小于的最小整数，如，.当，时，函数的值域为，记集合中元素的个数为，则________．参考答案：【知识点】数列求和D4【答案解析】易知：当时，因为，所以，所以，所以；当时，因为，所以，所以，所以；当时，因为，所以，所以，所以；当时，因为，所以，所以，所以；当时，因为，所以，所以，所以，由此类推：，所以，所以，所以【思路点拨】根据所给函数求出通项，然后利用裂项求和求出结果。15.（文）已知向量则的最大值为_________．参考答案：3，所以当时，有最大值，所以的最大值为3.16.若实数，满足则的最大值为 ．参考答案：17.已知三棱锥P-ABC满足PA⊥底面ABC，△ABC是边长为的等边三角形，D是线段AB上一点，且AD=3BD.球O为三棱锥P-ABC的外接球，过点D作球O的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为34π，则球O的表面积为

．参考答案：100π将三棱锥P—ABC补成正三棱柱，且三棱锥和该正三棱柱的外接球都是球O，记三角形ABC的中心为，设球的半径为R，PA=2x，则球心O到平面ABC的距离为x，即O=x，连接C，则C=4，，在三角形ABC中，取AB的中点为E，连接D，E，则在直角三角形OD中，由题意得到当截面与直线OD垂直时，截面面积最小，设此时截面圆的半径为r,则最小截面圆的面积为，当截面过球心时，截面面积最大为，，如图三，球的表面积为故答案为：100π.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点为F，短轴上端点为B，连接BF并延长交椭圆于点A，连接AO并延长交椭圆于点D，过B、F、O三点的圆的圆心为C．（1）若C的坐标为（﹣1，1），求椭圆方程和圆C的方程；（2）若AD为圆C的切线，求椭圆的离心率．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意可得三角形BFO外接圆圆心为斜边BF中点C，由此求得b，c的值，结合隐含条件求出a，则椭圆方程和圆C的方程可求；（2）由AD为圆C的切线，得到AD⊥CO，联立直线和椭圆方程求得A的坐标，由得到a，b，c的关系式，结合隐含条件可求椭圆的离心率．解答：解：（1）∵三角形BFO为直角三角形，∴其外接圆圆心为斜边BF中点C，由C点坐标为（﹣1，1）得，b=2，c=2，∴a2=b2+c2=8，则圆半径，∴椭圆方程为，圆方程为（x+1）2+（y﹣1）2=2；（2）由AD与圆C相切，得AD⊥CO，BF方程为，由，得，由，得b4=2a2c2，（a2﹣c2）2=2a2c2a4﹣4a2c2+c4=0，解得：=．点评：本题考查了椭圆与圆的方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，解答此题的关键是由平面几何知识得到对应的关系，考查了学生的计算能力，是中档题．19.(本小题满分14分)已知A(-2，0)，B(2，0)为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，且APB面积的最大值为2．(I)求椭圆C的方程及离心率；(II)直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D，当直线AP绕点A转动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．参考答案：（Ⅰ）由题意可设椭圆的方程为，．由题意知解得，．……………..3故椭圆的方程为，离心率为．……5（Ⅱ）以为直径的圆与直线相切．

证明如下：由题意可设直线的方20.（本题满分14分）已知数列和满足.若为等比数列，且（1）求与；（2）设。记数列的前项和为.（i）求；（ii）求正整数，使得对任意，均有.参考答案：

（1）

（2）21.常州地铁项目正在紧张建设中，通车后将给市民出行带来便利.已知某条线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，．经测算，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当时地铁为满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为560人，记地铁载客量为.⑴求的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量；⑵若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？参考答案：（1）由题意知，，（为常数），---------2分，，-----------------------------------------3分，----------------5分，-----------------------------------------6分（2）由，可得，-----------------------------------------8分当时，，当且仅当时等号成立；-----------------------------------------10分当时，，当时等号成立，------12分当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元.答：当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元.------14分22.（本小题满分13分）已知函数，函数在x=1处的切线l与直线垂直.（1）求实数a的值；（2）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；（3）设是函数的两个极值点，若，求的最小值.参考答案：∵，∴.