广东省揭阳市翼之中学2021年高三数学文月考试题含解析

广东省揭阳市翼之中学2021年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设集合A={x1，x2，x3，x4}，xi∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4}，那么集合A中满足条件“x12+x22+x32+x42≤3”的元素个数为（）A．60 B．65 C．80 D．81参考答案：B【考点】1A：集合中元素个数的最值．【分析】将x的取值分为两组：M={0}，N={﹣1，1}，A中的四个元素中有1个取值为0，2个取值为0，个取值为0，4个取值为0，进行分类讨论，由此能求出集合A中满足条件“x12+x22+x32+x42≤3”的元素个数．【解答】解：集合A={x1，x2，x3，x4}，xi∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4}，集合A满足条件“x12+x22+x32+x42≤3”，设M={0}，N={﹣1，1}，①A中的四个元素中有1个取值为0，另外3个从M中取，取法总数有：=32，②A中的四个元素中有2个取值为0，另外2个从M中取，取法总数有：=24，③A中的四个元素中有3个取值为0，另外1个从M中取，取法总数有：=8，④A中的四个元素中有4个取值为0，取法总数有：=1，∴集合A中满足条件“x12+x22+x32+x42≤3”的元素个数为：32+24+8+1=65．故选：B．2.已知函数f（x）=ex﹣（x＜0）与g（x）=ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是(

)A．（﹣∞，） B．（﹣∞，） C．（﹣，） D．（﹣，）参考答案：B【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】函数f（x）与g（x）图象上存在关于y轴对称的点，就是f（﹣x）=g（x）有解，也就是函数y=f（﹣x）与函数y=g（x）有交点，在同一坐标系内画函数y=f（﹣x）==（x＜0）与函数y=g（x）=ln（x+a）的图象，结合图象解题．【解答】解：函数f（x）与g（x）图象上存在关于y轴有对称的点，就是f（﹣x）=g（x）有解，也就是函数y=f（﹣x）与函数y=g（x）有交点，在同一坐标系内画函数y=f（﹣x）==（x＜0）与函数y=g（x）=ln（x+a）的图象：∴函数y=g（x）=ln（x+a）的图象是把由函数y=lnx的图象向左平移且平移到过点（0，）后开始，两函数的图象有交点，把点（0，）代入y=ln（x+a）得，=lna，∴a==，∴a＜，故选：B．【点评】本题主要考查函数的图象，把方程的根的问题转化为函数图象的交点问题，体现了数形结合的思想．3.若R，为虚数单位，且，则A．， B．，

C．， D．，参考答案：B4.若（其中），则函数的图象

(

）A．关于直线y=x对称

B．关于x轴对称

C．关于y轴对称D．关于原点对称参考答案：B5.已知是虚数单位，复数满足，则的虚部是（ ）A．

B．

C．

D．参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵（i﹣1）z=i，∴，∴z的虚部是﹣．故选：D．6.已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是(

) A． B． C． D．参考答案：C考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由球的体积可以求出半径，从而得棱柱的高；由球与正三棱柱的三个侧面相切，得球的半径和棱柱底面正△边长的关系，求出边长，即求出底面正△的面积；得出棱柱的表面积．解答： 解：由球的体积公式，得πR3=，∴R=1．∴正三棱柱的高h=2R=2．设正三棱柱的底面边长为a，则其内切圆的半径为：?a=1，∴a=2．∴该正三棱柱的表面积为：3a?2R+2×=18．故选C．点评：本题考查了球的体积，柱体体积公式的应用；本题的解题关键是求底面边长，这是通过正△的内切圆与边长的关系得出的．7.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是(

) A．2 B． C． D．3参考答案：D考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据三视图判断几何体为四棱锥，再利用体积公式求高x即可．解答： 解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V==3?x=3．故选D．点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．8.若，则“”是“”的（

）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：A【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.9.在平行四边形ABCD中，，，，若将其沿BD折成直二面角A-BD-C，则三棱锥A-BDC的外接球的表面积为（）A.16π B.8π C.4π D.2π参考答案：C在平行四边形ABCD中，AB⊥BD，，，若将其沿BD折成直二面角A-BD-C，∴三棱锥A-BDC镶嵌在长方体中，

即得出：三棱锥A-BDC的外接球与长方体的外接球相同，∴2R==2，R=1，∴外接球的表面积为4π×12=4π，故选：C．10.复数的共轭复数是()（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.内接于以为圆心，1为半径的圆，且0，则=

．参考答案：12.已知某几何体的三视图如图所示，这该几何体的体积为

，表面积为

．参考答案：288,336.考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据三视图得出三视图得出该几何体是放倒的直三棱柱，利用给出的数据的体积，面积求解．解答： 解：根据三视图得出该几何体是放倒的直三棱柱．该几何体的体积为8×6×12=288，该几何体的表面积为12×（6+8）+2×+12×=12×14+48+120=336故答案为；288，336点评：本题考查了空间几何体的三视图运用，关键是确定几何体的直观图，根据几何体的性质判断直线的位置关系，属于中档题．13.已知，则 .参考答案：0或

由题意得，得或，当时，得，则，当，得，则，所以或。

14.关于的方程只有一个实数解，则实数的取值范围是____.参考答案：15.不等式的解集为

．参考答案：略16.某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）：

合唱社粤曲社武术社高一4530高二151020

学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取人，结果合唱社被抽出人，则这三个社团人数共有_______________.参考答案：150

略17.如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则

；函数在处的导数

．参考答案：【答案】2

【解析】

【高考考点】:函数的图像，导数的求法。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ctanC=（acosB+bcosA）．（1）求角C；（2）若c=2，求△ABC面积的最大值．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理与和差公式即可得出．（2）利用余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（1）ctanC=（acosB+bcosA），由正弦定理可得：sinCtanC=（sinAcosB+sinBcosA）=sin（A+B）=sinC．∴tanC=，C∈（0，π）．∴C=．（2）由余弦定理可得：12=c2=a2+b2﹣2abcosC≥2ab﹣ab=ab，可得ab≤12，当且仅当a=2时取等号．∴△ABC面积的最大值==3．19.已知两定点E（﹣2，0），f（2，0）动点P满足?=0，由点P向x轴作垂线段PQ垂足为Q，点M满足=，点M的轨迹为C．（I）求曲线C的方程；（II）过点D（0，﹣2）作直线l与C交于A，B两点，点N满足=+（O为原点），求四边形OANB面积的最大值，并求此时的直线l的方程．参考答案：【考点】圆锥曲线的综合．【分析】（Ⅰ）先求出点P的轨迹方程，再利用PM⊥x轴，点M满足，确定P，M坐标之间的关系，即可求曲线C的方程；（Ⅱ）求得四边形OANB为平行四边形，则SOANB=2S△OAB，表示出面积，利用基本不等式，即可求得最大值，从而可得直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵动点P满足，∴点P的轨迹是以EF为直径的圆∵E（﹣2，0），F（2，0），∴点P的轨迹方程x2+y2=4设M（x，y）是曲线C上任一点，∵PM⊥x轴，点M满足，∴P（x，2y）∵点P的轨迹方程x2+y2=4∴x2+4y2=4∴求曲线C的方程是；（Ⅱ）∵，∴四边形OANB为平行四边形当直线l的斜率不存在时，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设l：y=kx﹣2，l与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2）直线方程代入椭圆方程，可得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0∴x1+x2=，由△=256k2﹣48（1+4k2）＞0，可得或∵|x1﹣x2|=|x1﹣x2|∴SOANB=2S△OAB=2|x1﹣x2|==8令k2=t，则，当t＞，即4t﹣3＞0时，由基本不等式，可得≥16，当且仅当，即t=时，取等号，此时满足△＞0∴t=时，取得最小值∴k=时，四边形OANB面积的最大值为2，所求直线l的方程为和．20.已知F1，F2为椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，点P（1，）在椭圆上，且|PF1|+|PF2|=4．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过F1的直线l1，l2分别交椭圆E于A，C和B，D，且l1⊥l2，问是否存在常数λ，使得，λ，成等差数列？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．参考答案：解：（I）∵|PF1|+|PF2|=4，∴2a=4，a=2．∴椭圆E：，将P代入可得b2=3，∴椭圆E的方程为．（II）①当AC的斜率为零或斜率不存在时，=；②当AC的斜率k存在且k≠0时，AC的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，并化简得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0．设A（x1，y1），C（x2，y2），则，，∵直线BD的斜率为，∴|BD|==，∴=，综上：，∴，∴存在常数使得成等差数列．

略21.（本小题满分12分）申请某种许可证，根据规定需要通过统一考试才能获得，且考试最多允许考四次.设表示一位申请者经过考试的次数，据统计数据分析知的概率分布如下：1234P0.10.30.1⑴求一位申请者所经过的平均考试次数；⑵已知每名申请者参加次考试需缴纳费用（单位：元）,求两位申请者所需费用的和小于500元的概率；⑶4位申请者中获得许可证的考试费用低于300元的人数记为，求的分布列.参考答案：⑴由的概率分布可得...所以一位申请者所经过的平均考试次数为2.4次.⑵设两位申请者均经过一次考试为事件，有一位申请者经历两次考试一位申请者经历一次考试为事件，两位申请者经历两次考试为事件，有一位申请者经历三次考试一位申请者经历一次考试为事件.因为考试需交费用,两位申请者所需费用的和小于500元的事件为.所以两位申请者所需费用的和小于500元的概率为0.42.⑶一位申请者获得许可证的考试费用低于300元的概率为，