广东省揭阳市普宁马鞍山中学2022年高三数学文上学期期末试卷含解析

广东省揭阳市普宁马鞍山中学2022年高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设集合；则(

)

参考答案：选

2.设，则等于（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C3.若复数是纯虚数（i是虚数单位），则a的值为

A．-2

B．2

C．1

D．-1参考答案：B略4.已知双曲线的左、右焦点分别为.P为双曲线右支上任意一点，的最小值为8，则双曲线的离心率的取值范围是（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D5.设集合，，那么“”是“”的（

）A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：答案：B6.设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（）(A)0

(B)1

(C)

(D)3参考答案：B，又均为正实数，，当且仅当时等号成立，因此当取得最大值时，，此时，因此，，当且仅当时等号成立，因此的最大值为，故选B.7.已知函数，则方程恰有两个不同的实根时，实数的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C8.已知函数，若则的取值范围是（

）

A.

参考答案：【知识点】函数的奇偶性，解不等式.

B4

E3【答案解析】C

解析：因为，所以是偶函数，所以为，解得，所以选C.【思路点拨】先确定是偶函数，所以为，解得.9.已知正方体的棱长为，动点在正方体表面上且满足,则动点的轨迹长度为

A．

B．

C．

D．

参考答案：B10.已知函数，则f（f（4））=（）A．﹣3 B． C．3 D．8参考答案：D【考点】函数的值．【分析】根据函数的解析式依次求出f（4）和f（f（4））的值．【解答】解：由题意得，，所以f（4）==﹣2，f（﹣2）==8，即f（f（4））=8，故选D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A（1，2），则b﹣a=．参考答案：5【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先根据曲线y=x3+ax+b过点（1，2）得出a、b的关系式，再根据切线过点（1，2）求出k，然后求出x=1处的导数并求出a，从而得到b，即可得到b﹣a的值．【解答】解：∵y=x3+ax+b过点（1，2），∴a+b=1，∵直线y=kx+1过点（1，2），∴k+1=2，即k=1，又∵y′=3x2+a，∴k=y′|x=1=3+a=1，即a=﹣2，∴b=1﹣a=3，∴b﹣a=3+2=5．故答案为：5．12.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=2AC=8，作△ABC外接圆O的切线CD，作BD⊥CD于D，交圆O于点E，给出下列四个结论：①∠BCD=60°；②DE=2；③BC2=BD?BA；④CE∥AB；则其中正确的序号是

．参考答案：①②③④【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题；转化思想；推理和证明．【分析】利用直角△ABC的边角关系即可得出BC，利用弦切角定理可得∠BCD=∠A=60°．利用直角△BCD的边角关系即可得出CD，BD．再利用切割线定理可得CD2=DE?DB，即可得出DE．利用△ACB∽△CDB，可得BC2=BD?BA；证明∠BCE=∠ABC，可得CE∥AB【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=8，∴BC=AB?sin60°=4．[来源:学&科&网]∵CD是此圆的切线，∴∠BCD=∠A=60°，即①正确．在Rt△BCD中，CD=BC?cos60°=2，BD=BC?sin60°=6．由切割线定理可得CD2=DE?DB，∴12=6DE，解得DE=2，即②正确．∵∠BCD=∠A，∠D=∠ACB，∴△ACB∽△CDB，∴CB：DB=AB：CB，∴BC2=BD?BA，即③正确；④∵∠ECD=∠ABC=30°，∠BCD=60°，∴∠BCE=30°=∠ABC，∴CE∥AB，即④正确；故答案为：①②③④．【点评】熟练掌握直角三角形的边角关系、弦切角定理、切割线定理是解题的关键．13.已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m有三个零点，则实数m的取值范围是．参考答案：【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据函数与零点的关系将函数转化为两个函数图象的交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由g（x）=f（x）﹣m=0得f（x）=m，若函数g（x）=f（x）﹣m有三个零点，等价为函数f（x）与y=m有三个不同的交点，作出函数f（x）的图象如图：当x≤0时，f（x）=x2+x=（x+）2﹣≥﹣，若函数f（x）与y=m有三个不同的交点，则﹣＜m≤0，即实数m的取值范围是（﹣，0]，故答案为：（﹣，0]．14.已知点在圆上，点关于直线的对称点也在圆上，则。参考答案：15.艾萨克?牛顿（1643年1月4日﹣1727年3月31日）英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数f（x）零点时给出一个数列{xn}：满足，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）有两个零点1，2，数列{xn}为牛顿数列，设，已知a1=2，xn＞2，则{an}的通项公式an=．参考答案：2n【考点】数列递推式．【分析】由已知得到a，b，c的关系，可得f（x）=ax2﹣3ax+2a，求导后代入，整理可得，两边取对数，可得是以2为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式求导答案．【解答】解：∵函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）有两个零点1，2，∴，解得：．∴f（x）=ax2﹣3ax+2a．则f′（x）=2ax﹣3a．则==，∴，则是以2为公比的等比数列，∵，且a1=2，∴数列{an}是以2为首项，以2为公比的等比数列，则，故答案为：2n．【点评】本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，属中档题．16.已知满足对任意都有成立，则的取值范围是___

____．参考答案：17.执行如图所示的程序框图，若输出S的值为____________．参考答案：当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，，输出S的值为．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数.（I）当时，解不等式；（II）若不等式恒成立，求实数的取值范围．参考答案：（1）由得，，或，或解得：原不等式的解集为……………4分（2）由不等式的性质得：，要使不等式恒成立，则…………6分解得：或…………8分所以实数的取值范围为.………………10分19.（13分）（2015?河南二模）设a为实数，函数f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R．（1）求f（x）的单调区间及极值；（2）求证：当a＞ln2﹣1且x＞0时，ex＞x2﹣2ax+1．参考答案：考点：利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：计算题；压轴题．分析：（1）由f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R，知f′（x）=ex﹣2，x∈R．令f′（x）=0，得x=ln2．列表讨论能求出f（x）的单调区间区间及极值．（2）设g（x）=ex﹣x2+2ax﹣1，x∈R，于是g′（x）=ex﹣2x+2a，x∈R．由（1）知当a＞ln2﹣1时，g′（x）最小值为g′（ln2）=2（1﹣ln2+a）＞0．于是对任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增．由此能够证明ex＞x2﹣2ax+1．解答：（1）解：∵f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R，∴f′（x）=ex﹣2，x∈R．令f′（x）=0，得x=ln2．于是当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，ln2）ln2（ln2，+∞）f′（x）﹣0+f（x）单调递减2（1﹣ln2+a）单调递增故f（x）的单调递减区间是（﹣∞，ln2），单调递增区间是（ln2，+∞），f（x）在x=ln2处取得极小值，极小值为f（ln2）=eln2﹣2ln2+2a=2（1﹣ln2+a），无极大值．（2）证明：设g（x）=ex﹣x2+2ax﹣1，x∈R，于是g′（x）=ex﹣2x+2a，x∈R．由（1）知当a＞ln2﹣1时，g′（x）最小值为g′（ln2）=2（1﹣ln2+a）＞0．于是对任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增．于是当a＞ln2﹣1时，对任意x∈（0，+∞），都有g（x）＞g（0）．而g（0）=0，从而对任意x∈（0，+∞），g（x）＞0．即ex﹣x2+2ax﹣1＞0，故ex＞x2﹣2ax+1．点评：本题考查函数的单调区间及极值的求法和不等式的证明，具体涉及到导数的性质、函数增减区间的判断、极值的计算和不等式性质的应用．解题时要认真审题，仔细解答．20.已知等比数列的公比，是和的一个等比中项，和的等差中项为，若数列满足（）．(Ⅰ）求数列的通项公式；

(Ⅱ）求数列的前项和．参考答案：（Ⅰ）因为是和的一个等比中项，所以．由题意可得因为，所以．解得所以．故数列的通项公式．(Ⅱ）由于（），所以．

．

①．

②①-②得．所以21.已知直角的三边长,满足(1)已知均为正整数,且成等差数列,将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列,且,求满足不等式的所有的值;(2)已知成等比数列,若数列满足,证明数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形,且是正整数.参考答案：解(1)设的公差为,则设三角形的三边长为,面积,由得,当时,,经检验当时,,当时,综上所述,满足不等式的所有的值为2、3、4

(2)证明因为成等比数列,.由于为直角三角形的三边长,知,,又,得,于是,则有.故数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形

因为,,由数学归纳法得：由,同理可得,故对于任意的都有是正整数略22.已知F1，F2分别为椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的上下焦点，其F1是抛物线C2：x2=4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且|MF1|=．（1）试求椭圆C1的方程；（2）与圆x2+（y+1）2=1相切的直线l：y=k（x+t）（t≠0）交椭圆于A，B两点，若椭圆上一点P满足，求实数λ的取值范围．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）利用抛物线的方程和定义即可求出点M的坐标，再利用椭圆的定义即可求出；（2）根据直线与圆相切则圆心到直线距离等于半径，可得k=，联立直线与椭圆方程，结合椭圆上一点P满足，可得到λ2的表达式，进而求出实数λ的取值范围【解答】解：（1）令M为（x0，y0），因为M在抛物线C2上，故x02=4y0，①又|MF1|=，则y0+1=，②由①②解得x0=﹣，y0=椭圆C1的两个焦点为F1（0，1），F2（0，﹣1），点M在椭圆上，由椭圆定义，得2a=|MF1|+|MF2|==4∴a=2，又c=1，∴