广东省揭阳市五云中学2021-2022学年高一数学理模拟试题含解析

广东省揭阳市五云中学2021-2022学年高一数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.以下现象是随机现象的是A.标准大气压下，水加热到100℃，必会沸腾B.长和宽分别为a，b的矩形，其面积为a×bC.走到十字路口，遇到红灯D.三角形内角和为180°参考答案：C【分析】对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】A.标准大气压下，水加热到100℃，必会沸腾,是必然事件；B.长和宽分别为a，b的矩形，其面积为，是必然事件；C.走到十字路口，遇到红灯，是随机事件；D.三角形内角和为180°，是必然事件.故选：C【点睛】本题主要考查必然事件、随机事件的定义与判断，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.2.已知α1，α2，α3是三个相互平行的平面，平面α1，α2之间的距离为d1，平面α2，α3之间的距离为d2，直线l与α1，α2，α3分别相交于P1，P2，P3.那么“P1P2＝P2P3”是“d1＝d2”的()A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：C3.下列函数中，奇函数是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C4.已知向量，若，则（

）A．(－2,－1)

B．(2,1)

C．(3,－1)

D．(－3,1)参考答案：A5.函数y=x2+1的值域是（）A．[0，+∞） B．[1，+∞） C．（0，+∞） D．（1，+∞）参考答案：B【考点】函数的值域．【分析】根据二次函数的性质求解即可．【解答】解：函数y=x2+1的定义域为R，开口向上，对称轴x=0，当x=0时，函数y取得最小值为1．∴函数y=x2+1的值域[1，+∞）．故选B6.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则A的值是A． B． C． D．参考答案：C7.任取，且，若恒成立，则称为上的凸函数。下列函数中①，②

，③，

④在其定义域上为凸函数是（

）A.①②

B.②③

C.

②③④

D.②④参考答案：D8.在中,已知,则的面积是

（）

A.

B.

C.或

D.参考答案：C略9.（5分）圆⊙C1：x2+y2=1，与圆⊙C2：x2+y2﹣4x+3=0的位置关系是（） A． 内切 B． 外切 C． 相交 D． 相离参考答案：B考点： 圆与圆的位置关系及其判定．专题： 计算题．分析： 求出两圆的圆心和半径，计算两圆的圆心距，将圆心距和两圆的半径之和或半径之差作对比，判断两圆的位置关系．解答： 圆⊙C1的圆心C1（0，0），半径等于1．⊙C2：x2+y2﹣4x+3=0即（x﹣2）2+y2=1，圆心C2（2，0），半径为1，两圆的圆心距等于2，正好等于两圆的半径之和，故两圆相外切，故选B．点评： 本题考查圆与圆的位置关系及其判定的方法，关键是求圆心距和两圆的半径．10.下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系y=ekx+b（k，b是常数）．若该食品在0℃的保鲜时间设计192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是

小时．参考答案：24【考点】函数的值．【分析】利用待定系数法求出，由此能求出该食品在33℃的保鲜时间．【解答】解：∵某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系y=ekx+b（k，b是常数）．该食品在0℃的保鲜时间设计192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，∴，解得e22k=，∴e11k=，∴该食品在33℃的保鲜时间y=e33k+b=（e11k）3?eb=（）3?192=24．故答案为：24．12.命题“若a＞1且b＞1，则a+b＞2”的否命题是命题（填“真”或“假”）参考答案：假【考点】四种命题的真假关系；四种命题间的逆否关系．【专题】简易逻辑．【分析】根据命题“若p，则q”的否命题是“若￢p，则￢q”，写出它的否命题判断即可．【解答】解：命题“若a＞1，且b＞1，则a+b＞2的否命题是：“若a≤1，或b≤1，则a+b≤2”，是假命题．故答案为：假．【点评】本题考查了四种命题之间的关系，解题时应熟记四种命题之间的关系是什么，是容易题．13.函数的定义域为＿＿＿＿＿＿＿＿；参考答案：14.已知，则__________．参考答案：由题意，函数，所以，所以．15.函数的最大值是________________．参考答案：略16.在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A∶B＝1∶2，且a∶b＝1∶，则cos2B的值是________

参考答案：17.若关于的方程=a在区间上有两个不同的实根，则实数a的取值范围为__________________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（1）解关于x的方程loga（3x﹣1）=loga（x﹣1）+loga（3+x），（a＞0且a≠1）；（2）求值：lg5+lg2﹣（﹣）﹣2+（﹣1）0+log28．参考答案：【考点】对数的运算性质．【分析】（1）loga（3x﹣1）=loga（x﹣1）+loga（3+x），（a＞0且a≠1），可得3x﹣1＞0，x﹣1＞0，3+x＞0，3x﹣1=（x﹣1）（3+x），联立解得x．（2）利用指数与对数的运算法则即可得出．【解答】解：（1）∵loga（3x﹣1）=loga（x﹣1）+loga（3+x），（a＞0且a≠1），∴3x﹣1＞0，x﹣1＞0，3+x＞0，3x﹣1=（x﹣1）（3+x），联立解得：x=2．（2）原式=lg10﹣3﹣1×（﹣2）+1+3=1﹣9+4=﹣4．19.已知是等差数列，为公差且不等于，和均为实数，它的前项和记作，设集合，，试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明．（Ⅰ）若以集合中的元素作为点的坐标，则这些点都在一条直线上；（Ⅱ）至多有一个元素；（Ⅲ）当时，一定有．参考答案：解析：（Ⅰ）正确．因为，在等差数列中，，所以，．这表明点的坐标适合方程．所以，点均在直线上．……………5分（Ⅱ）正确．设，则坐标中的、应是方程组的解．解这个方程组，消去，得．（﹡）当时，方程（﹡）无解，此时，．……………10分当时，方程（﹡）只有一个解，此时方程组也只有一个解，即

故上述方程组至多有一解，所以至多有一个元素．………15分（Ⅲ）不正确．取，，对一切，有，．这时集合中的元素的点的横、纵坐标均为正．另外，由于，如果，那么根据（Ⅱ）的结论，至多有一个元素（），而，．这样的，产生矛盾．所以，，时，，故时，一定有是不正确的．……20分20.如图，A，B是海面上位于东西方向相距5（3+）海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？参考答案：【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】先根据内角和求得∠DAB和，∠DBA及进而求得∠ADB，在△ADB中利用正弦定理求得DB的长，进而利用里程除以速度即可求得时间．【解答】解：由题意知AB=5（3+）海里，∠DBA=90°﹣60°=30°，∠DAB=90°﹣45°=45°，∴∠ADB=180°﹣（45°+30°）=105°，在△ADB中，有正弦定理得=∴DB===10又在△DBC中，∠DBC=60°DC2=DB2+BC2﹣2×DB×BC×cos60°=900∴DC=30∴救援船到达D点需要的时间为=1（小时）答：该救援船到达D点需要1小时．21.（本题满分12分）已知函数是二次函数，且，．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）求证在区间上是减函数.参考答案：

解：（Ⅰ）设又结合已知得

（Ⅱ）证明：设任意的且则又由假设知而在区间上是减函数.

22.（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，3），直线，设圆C的半径为1，圆心在直线上。（Ⅰ）若圆心C也在直线上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（Ⅱ）若圆C上存在唯一一点M，使，求圆C的方程。参考答案：（Ⅰ）由得圆心C为（3，2），因为圆C的半径