广东省揭阳市东埔中学2022年高二数学理下学期期末试题含解析

广东省揭阳市东埔中学2022年高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.从0，1，2，3，4，5这六个数中取两个奇数和两个偶数组成没有重复数字的四位数的个数是（

）A．300

B．216

C.180

D．162参考答案：C2.过曲线（）上横坐标为1的点的切线方程为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略3.已知直线的倾斜角为，则（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：A4.已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A．（2，+∞） B．（1，+∞） C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣∞，﹣1）参考答案：C【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的极值．【分析】（i）当a=0时，f（x）=﹣3x2+1，令f（x）=0，解得x=±，两个解，舍去．（ii）当a≠0时，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣），令f′（x）=0，解得x=0或．对a分类讨论：①当a＜0时，由题意可得；②当a＞0时，推出极值点不满足题意，推出结果即可．【解答】解：（i）当a=0时，f（x）=﹣3x2+1，令f（x）=0，解得x=±，函数f（x）有两个零点，舍去．（ii）当a≠0时，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣），令f′（x）=0，解得x=0或．①当a＜0时，＜0，当x＜或x＞0时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；当＜x＜0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．∴是函数f（x）的极小值点，0是函数f（x）的极大值点．∵函数f（x）=ax3﹣3x2+1存在唯一的零点x0，且x0＞0，则：，即：，可得a＜﹣2．②当a＞0时，＞0，当x＞或x＜0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当0＜x＜时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．∴是函数f（x）的极小值点，0是函数f（x）的极大值点．不满足函数f（x）=ax3﹣3x2+1存在唯一的零点x0，且x0＞0，综上可得：实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故选：C．5.若点P在椭圆上，F1、F2分别是椭圆的两焦点，且∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是(

)A．2 B．1 C． D．参考答案：B【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】由椭圆的定义可得m+n=2a=2①，Rt△F1PF2中，由勾股定理可得m2+n2=4②，由①②可得m?n的值，利用△F1PF2的面积是m?n求得结果．【解答】解：由椭圆的方程可得a=，b=1，c=1，令|F1P|=m、|PF2|=n，由椭圆的定义可得m+n=2a=2①，Rt△F1PF2中，由勾股定理可得（2c）2=m2+n2，m2+n2=4②，由①②可得m?n=2，∴△F1PF2的面积是m?n=1，故选B．【点评】本题考查椭圆的简单性质和定义，以及勾股定理的应用．6.已知平面与平面相交，直线，则（

）A．内必存在直线与平行，且存在直线与垂直B．内不一定存在直线与平行，不一定存在直线与垂直C．内不一定存在直线与平行，但必存在直线与垂直D．内必存在直线与平行，不一定存在直线与垂直参考答案：C试题分析：作两个相交平面，交线为，使得直线，假设内一定存在直线与平行，因为，而，所以直线，而，所以，这与平面与平面相交不一定垂直矛盾，所以内不一定存在直线与平行，因为直线，，所以，所以在内不一定存在直线与平行，但必存在直线与垂直，故选C．考点：线面位置关系的判定与证明．7.设平面向量=（1，2），=（-2，y），若

//，则|3十|等于（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A8.直线x﹣y+m=0与圆x2+y2+2y﹣1=0有两个不同交点的一个必要而不充分条件是（） A．﹣3＜m＜1 B．﹣2＜m＜0 C．﹣4＜m＜2 D．﹣2＜m＜1参考答案：C【考点】直线与圆相交的性质． 【专题】计算题． 【分析】使直线与圆有两个不同交点，需圆心（0，﹣1）到直线的距离小于半径，进而根据点到直线的距离表示出圆心到直线的距离，求得m的范围，进而可推断出﹣3＜m＜1是直线x﹣y+m=0与圆x2+y2+2y﹣1=0有两个不同交点的一个充要条件，排除A；当﹣2＜m＜0和﹣2＜m＜1时直线x﹣y+m=0与圆x2+y2+2y﹣1=0有两个不同交点，故其是充分条件，排除B，D；﹣4＜m＜2时特别是﹣4＜m＜﹣3时，直线x﹣y+m=0与圆x2+y2+2y﹣1=0无交点，可知﹣4＜m＜2是直线x﹣y+m=0与圆x2+y2+2y﹣1=0有两个不同交点的不充分条件；同时线x﹣y+m=0与圆x2+y2+2y﹣1=0有两个不同交点时﹣3＜m＜1，可知﹣4＜m＜2是线x﹣y+m=0与圆x2+y2+2y﹣1=0有两个不同交点的必要条件；进而可推断出C正确． 【解答】解：要使直线与圆有两个不同交点，需圆心（0，﹣1）到直线的距离小于半径， 即＜，求得﹣3＜m＜1 ﹣3＜m＜1是直线x﹣y+m=0与圆x2+y2+2y﹣1=0有两个不同交点的一个充要条件，故A不正确， 当﹣2＜m＜0和﹣2＜m＜1时直线x﹣y+m=0与圆x2+y2+2y﹣1=0有两个不同交点，故其是充分条件，故B，D不正确； ﹣4＜m＜2时特别是﹣4＜m＜﹣3时，直线x﹣y+m=0与圆x2+y2+2y﹣1=0无交点，可知﹣4＜m＜2是直线x﹣y+m=0与圆x2+y2+2y﹣1=0有两个不同交点的不充分条件；同时线x﹣y+m=0与圆x2+y2+2y﹣1=0有两个不同交点时﹣3＜m＜1，可知﹣4＜m＜2是线x﹣y+m=0与圆x2+y2+2y﹣1=0有两个不同交点的必要条件； 故选C 【点评】本题主要考查了直线与圆相交的性质和充分条件，必要条件和充分必要条件的判断定．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力． 9.双曲线的离心率为，则两条渐近线的方程是(

)．(A)

(B)(C)

(D)参考答案：B10.等差数列中的是函数的极值点，则等于A.2 B.3 C.4 D.5参考答案：A

解析：.因为，是函数的极值点,所以，是方程的两实数根,则.而为等差数列,所以,即,从而,选A.【思路点拨】利用导数即可得出函数的极值点，再利用等差数列的性质及其对数的运算法则即可得出．

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知满足，则的最小值为_

__.参考答案：212.写出命题“”的否定：

．参考答案：13.一个直角梯形的两底长分别为2和5，高为4，绕其较长的底旋转一周，所得的几何体的侧面积为

。参考答案：14.已知向量＝（4，2），向量＝（x，3），且//,则x＝

参考答案：6；

15.在某次数学测验中，学号的四位同学的考试成绩，且满足，则这四位同学的考试成绩的所有可能情况的种数为________种.参考答案：15【分析】分两类，按的情况，共有种，按的情况，共有种，再用分类计数原理求解.【详解】从所给的5个成绩中，任取4个，即可得到四位同学的考试成绩，按的情况，共有种，从所给的5个成绩中，任取3个，即可得到四位同学的考试成绩，按的情况，共有种，综上：满足，这四位同学的考试成绩的所有可能情况的种数为15种.故答案为：15【点睛】本题主要考查组合问题，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.16.若斜率互为相反数且相交于点P（1，1）的两条直线被圆O：x2+y2=4所截的弦长之比为，则这两条直线的斜率之积为．参考答案：﹣9或﹣【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】设这两条直线的斜率分别为k、﹣k，利用点斜式求得两条弦所在的直线方程，求出各自的弦心距，再结合弦长之比为得到关于k的一元二次方程，求出k的值，即可求得方程的两根之积．【解答】解：设这两条直线的斜率分别为k、﹣k，则这两条直线的方程分别为m：y﹣1=k（x﹣1），n：y﹣1=﹣k（x﹣1），即m：kx﹣y+1﹣k=0，n：kx+y﹣1﹣k=0．圆心O到直线m的距离为d==，可得弦长为2．圆心O到直线n的距离为d′==，可得弦长为2．再由弦长之比为=，即=，可得3k2﹣10k+3=0．求得k=3，或k=，∴当k=3时，这两条直线的斜率之积为3×（﹣3）=﹣9；当k=时，两条直线的斜率之积为×（﹣）=﹣，故答案为：﹣9或﹣．17.已知直线恒过定点，若点在直线上，则的最小值为

▲

.

参考答案：4略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在棱长为3的正方体中，.⑴求两条异面直线与所成角的余弦值；⑵求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.参考答案：（1）以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示,则,所以即两条异面直线与所成角的余弦值为(2)设平面的一个法向量为由得，所以，则不妨取则19.已知，分别用“For”语句和“While”语句描述计算S这一问题的算法过程。参考答案：20.（本小题6分）已知函数满足，且在区间和区间上分别单调。（Ⅰ）求解析式；（Ⅱ）若函数求的值。参考答案：解：（Ⅰ）∵，∴。①

1分又∵在区间和区间上分别单调，∴的对称轴为，即。②由②得，。

2分把代入①得，。3分（Ⅱ）∵∴4分，5分∴。6分21.如图是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去一部分后的直观图与三视图中的侧(左)视图、俯视图，侧(左)视图是底边长分别为2和4的直角梯形，俯视图是直角边长为2的等腰直角三角形．（Ⅰ）求出该几何体的体积；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面BCD；（Ⅲ）求直线CE与平面BDE的夹角正弦值．参考答案：解：（Ⅰ）由题意可知，四棱锥B－ACDE中，AE⊥平面ABC，∴AE⊥AB，又AB⊥AC，且AE和AC相交，所以，AB⊥平面ACDE，又AC＝AB＝AE＝2，CD＝4，则四棱锥B－ACDE的体积为．……4分（Ⅱ）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，

………5分设平面BDE和平面BCD的法向量分别为，取

………6分，取

………7分，∴平面BDE⊥平面BCD

………8分（Ⅲ），

………11分直线CE与平面BDE的夹角正弦值为

………12分略22.已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1．（1）求曲线C的方程；（2）是否存在整数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有|FA|2+|FB|2＜|AB|2？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】（1）设P（x，y）（x＞0）是曲线C上任意一点，列出方程求解即可．（2）设过点M（m，0）（m＞0）的直线l与曲线C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）．设l的方程为x=λy+m，联立利用韦达定理，结合向量的数量积推出m2﹣6m+1＜4λ2，对任意实数λ，4λ2的最小值为0，转化求解即可得到m的取值范围．【解答】解：（1）设P（x，y）（x＞0）是曲线C上任意一点，那么点P（x，y）满足：，化简得y2=