广东省惠州市稔山中学2021年高三数学文模拟试卷含解析

广东省惠州市稔山中学2021年高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若函数f（x）=lnx与函数g（x）=x2+2x+a（x＜0）有公切线，则实数a的取值范围为（）A．（ln，+∞） B．（﹣1，+∞） C．（1，+∞） D．（﹣ln2，+∞）参考答案：A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得到切线的斜率，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程，可得切点坐标的关系式，整理得到关于一个坐标变量的方程，借助于函数的极值和最值，即可得到a的范围．【解答】解：f′（x）=，g′（x）=2x+2，设与g（x）=x2+2x+a相切的切点为（s，t）s＜0，与曲线f（x）=lnx相切的切点为（m，n）m＞0，则有公共切线斜率为2s+2==，又t=s2+2s+a，n=lnm，即有a=s2﹣1+ln（2s+2），设f（s）=s2﹣1﹣ln（2s+2）（﹣1＜s＜0），所以f'（s）=＜0∴f（s）＞f（0）=﹣ln2﹣1，∴a＞﹣ln2﹣1，∵s∈（﹣1，0），且趋近与1时，f（s）无限增大，∴a＞﹣ln2﹣1故选A．2.复数z=1﹣i（i是虚数单位），则+z等于（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i参考答案：A【考点】复数代数形式的加减运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：+z=+1﹣i=+1﹣i=1+i+1﹣i=2．故选：A．3.如图所示，U是全集，M、N、S是U的子集，则图中阴影部分所示的集合是()A．(?UM∩?UN)∩SB．(?U(M∩N))∩SC．(?UN∩?US)∪MD．(?UM∩?US)∪N参考答案：A4.已知集合，，则为(

)A. B. C. D.参考答案：D5.若是偶函数,且当时,,则不等式的解集是

(

)A.

B.

C.

D参考答案：答案：C6.已知函数（）的最小值为8，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A因为在单调递减，在单调递增，则，令，则在上单调递增，又，，所以存在零点。

7.设向量a，b满足：|a|＝1，|b|＝2，a·(a＋b)＝0，则a与b的夹角是A．30°

B．60°

C．90°

D．120°参考答案：D8.下列命题正确的是A.若a＞b,则a2＞b2

B.若a＞b，则ac＞bcC.若a＞b，则a3＞b3

D.若a>b，则＜参考答案：C对于，若，，则不成立；对于，若，则不成立；对于，若，则，则正确；对于，，，则不成立.故选C

9.设是的三个内角，且满足：则等于（

）

参考答案：A10.若集合，则

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.①三角形纸片内有1个点，连同三角形的顶点共4个点，其中任意三点都不共线，以这4个点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，可得小三角形个数为3个；②三角形纸片内有2个点，连同三角形的顶点共5个点，其中任意三点都不共线，以这5个点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，可得小三角形个数为5个，……以此类推：三角形纸片内有15个点，连同三角形的顶点共18个点，若其中任意三点都不共线，以这些点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，则这样的小三角形个数为

个。（用数字作答）参考答案：31略12.已知函数等差数列的公差为2，，则

．参考答案：略13.已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），若P（ξ＞2）=0.15，则P（0≤ξ≤1）=

．参考答案：0.35【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据正态分布的对称性计算．【解答】解：∵变量ξ服从正态分布N（1，σ2），∴P（ξ＞1）=0.5，∴P（1≤ξ≤2）=P（ξ＞1）﹣P（ξ＞2）=0.35，∴P（0≤ξ≤1）=P（1≤ξ≤2）=0.35．故答案为：0.35．14.（5分）对a，b∈R，记，函数的最大值为参考答案：1考点： 函数零点的判定定理．分析： 先去掉函数中的绝对值，然后表示出函数f（x）的解析式，最后求函数的最大值即可．解答： 解：由题意知=∴当x＜﹣2时，f（x）=x+1＜﹣1当﹣2≤x≤2时，﹣1≤f（x）≤1当x＞2时，f（x）=3﹣x＜1综上所述，函数f（x）的最大值为1故答案为：1点评： 本题主要考查函数函数最值问题．含绝对值的函数要去掉绝对值考虑问题．15.若的二项展开式中，所有二项式系数和为，则该展开式中的常数项为

．参考答案：1516.设，满足约束条件，则目标函数的最小值是

.参考答案：-1517.(文)已知向量和向量的夹角为，，则和的数量积=

参考答案：3三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数f（x）在定义域[﹣1，1]是奇函数，当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣3x2．（1）当x∈[0，1]，求f（x）；（2）对任意a∈[﹣1，1]，x∈[﹣1，1]，不等式f（x）≤2cos2θ﹣asinθ+1都成立，求θ的取值范围．参考答案：【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）根据函数奇偶性的性质，即可求出当x∈[0，1]，f（x）的表达式；（2）将不等式恒成立，转换为最值恒成立即可得到结论．【解答】解：（1）由题意可知，f（﹣x）=﹣f（x），设x∈[0，1]，则﹣x∈[﹣1，0]，则f（﹣x）=﹣3x2，∴f（﹣x）=﹣3x2=﹣f（x），即f（x）=3x2．（2）由（1）知f（x）=，∵不等式f（x）≤2cos2θ﹣asinθ+1都成立，∴f（x）max≤2cos2θ﹣asinθ+1都成立，∵f（x）max=f（1）=3，∴2cos2θ﹣asinθ+1≥3，即2sin2θ+asinθ≤0，设f（a）=2sin2θ+asinθ，∵a∈[﹣1，1]，∴，即，∴sinθ=0，即θ=kπ，k∈Z．19.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2－ax－2(a∈R)(1)讨论函数的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围.参考答案：【知识点】函数的性质；导数的综合应用

B3

B12

B14【答案解析】解：（Ⅰ）函数的定义域为：R,f￠(x)＝2ex－a．若a≤0，则f￠(x)＞0，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；若a＞0，则当x∈(－∞，ln)时，f￠(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(ln，＋∞)时，f￠(x)＞0，f(x)单调递增． …5分（Ⅱ）注意到f(0)＝0．若a≤0，则当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，f(x)≥f(0)＝0，符合题意．若ln≤0，即0＜a≤2，则当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，f(x)≥f(0)＝0，符合题意．若ln＞0，即a＞2，则当x∈(0，ln)时，f(x)单调递减，f(x)＜0，不合题意．综上所述，a的取值范围是(－∞，2]． …12分【思路点拨】（Ⅰ）先求函数的定义域，易知x∈R，然后对原函数求导，借助于函数y=2ex的图象，通过变换得到f′（x）=2ex-a的图象，解不等式得到原函数的单调区间．（Ⅱ）这是一道不等式恒成立问题，因此只需当x≥0时，f（x）min≥0即可，再结合（Ⅰ）中对函数单调性的研究，确定f（x）的最小值，则问题可解．20.（13分）

已知点（Ⅰ）求f(x)的定义域；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）求证：数列{an}前n项和参考答案：解析：（Ⅰ）由故x>0或x≤－1f(x)定义域为

…………（4分）（Ⅱ）下面使用数学归纳法证明：①在n=1时，a1=1，<a1<2，则n=1时（*）式成立.②假设n=k时成立，由要证明：只需只需(2k+1)3≤8k(k+1)2只需1≤4k2+2k而4k2+2k≥1在k≥1时恒成立.只需证：4k2+11k+8>0，而4k2+11k+8>0在k≥1时恒成立.于是：因此得证.综合①②可知（*）式得证.从而原不等式成立.

………………9分（Ⅲ）要证明：由（2）可知只需证：…………（**）下面用分析法证明：（**）式成立。要使（**）成立，只需证：即只需证：(3n－2)3n>(3n－1)3(n－1)只需证：2n>1而2n>1在n≥1时显然成立.故（**）式得证：于是由（**）式可知有：因此有：

……（13分）21.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=2、c=3，cosB=．

（1）求b的值；

（2）求sinC的值．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由a，c以及cosB的值，利用余弦定理即可求出b的值；（2）利用余弦定理表示出cosC，把a，b，c的值代入求出cosC的值，由C的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值即可．【解答】解：（1）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB