广东省广州市职业高级中学2023年高一数学文上学期期末试题含解析

广东省广州市职业高级中学2023年高一数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.球O为边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球，P为球O的球面上动点，M为B1C1中点，DP⊥BM，则点P的轨迹周长为(

)A．π B．π C．π D．π参考答案：D【考点】球内接多面体．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】取BB1的中点N，连接CN，确定点P的轨迹为过D，C，N的平面与内切球的交线，求出截面圆的半径，即可得出结论．【解答】解：由题意，取BB1的中点N，连接CN，则CN⊥BM，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1，∴CN为DP在平面B1C1CB中的射影，∴点P的轨迹为过D，C，N的平面与内切球的交线，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的边长为2，∴O到过D，C，N的平面的距离为，∴截面圆的半径为=，∴点P的轨迹周长为．故选：D．【点评】本题考查截面与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，确定点P的轨迹是关键．2.设，则（

★

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C略3.函数的定义域为

A．（－5，＋∞）

B．［－5，＋∞

C．（－5，0）

D．（－2，0）参考答案：A4.（5分）某购物网站在2014年11月开展“全场6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额（6折后）满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元（单价）的商品共42件，为使花钱总数量最少，他最少需要下的订单张数为（） A． 2 B． 3 C． 4 D． 5参考答案：B考点： 函数模型的选择与应用．专题： 应用题；函数的性质及应用．分析： 因是选择题，可进行分步计算，用42=9+11+11+11易得到．解答： ∵原价是：48×42=2016（元），2016×0.6=1209.6（元），∵每张订单金额（6折后）满300元时可减免100，∴若分成10，10，11，11，由于48×10=480，480×0.6=288，达不到满300元时可减免100，∴应分成9，11，11，11．∴只能减免3次，故选：B．点评： 本题是一道应用题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的解法．5.已知a=，则下列结论正确的是A．c>b>aB．c>a>bC．a>b>cD．a>c>b参考答案：D6.函数f（x）=|sinx|+2|cosx|的值域为（）A．[1，2] B．[，3] C．[2，] D．[1，]参考答案：D【考点】三角函数值的符号；函数的值域．【分析】先将函数y=|sinx|+2|cosx|的值域?当x∈[0，]时，y=sinx+2cosx的值域，利用两角和与差的正弦函数化简，由正弦函数的性质求出函数的值域．【解答】解：∵函数y=|sinx|+2|cosx|的值域?当x∈[0，]时，y=sinx+2cosx的值域，∴y=sinx+2cosx=（其中θ是锐角，、），由x∈[0，]得，x+θ∈[θ，+θ]，所以cosθ≤sin（x+θ）≤1，即≤sin（x+θ）≤1，所以，则函数y=|sinx|+2|cosx|的值域是[1，]，故选：D．7.已知a＞0，b＞0，，则的最小值为（

）A．－3

B．

C．4

D．参考答案：B8.函数的图象的一条对称轴的方程是（）参考答案：A9.已知A,B,C,是的三个内角，若的面积（

）A.

B.

C.3

D.参考答案：D10.下列函数是偶函数的是（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知数列满足则的通项公式

参考答案：略12.函数f（x）=ln（x+2）﹣的零点所在区间是（n，n+1），则正整数n=

．参考答案：1【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；压轴题．【分析】由于本题是填空题，求的又是正整数，所以可以用特殊值法来解．代入1即可．【解答】解：因为n是正整数，所以可以从最小的1来判断，当n=1时，f（1）=ln（1+2）﹣2=ln3﹣2＜0，而f（2）=ln（2+2）﹣1＞0，所以n=1符合要求．又因为f（x）=ln（x+2）﹣，所以f'（x）=+=在定义域内恒大于0，故原函数递增，所以当n＞2时，f（n）＞f（2）＞0，即从2向后无零点．故答案为1．【点评】本题考查了函数零点的判定定理．在解题过程中用了填空题和选择题的特有解法；特殊值法．13.

．参考答案：4先用对数的运算法则将原始化简为，然后用对数的换底公式将不同底化为同底数即可通过约分求出值，对对数式求值问题，常先用对数运算进行化简，若底数不同用换底公式化为同底在运算.原式===4.

14.已知点P为线段y=2x，x∈[2，4]上任意一点，点Q为圆C：（x﹣3）2+（y+2）2=1上一动点，则线段|PQ|的最小值为．参考答案：﹣1【考点】直线与圆的位置关系．【分析】用参数法，设出点P（x，2x），x∈[2，4]，求出点P到圆心C的距离|PC|，计算|PC|的最小值即可得出结论．【解答】解：设点P（x，2x），x∈[2，4]，则点P到圆C：（x﹣3）2+（y+2）2=1的圆心距离是：|PC|==，设f（x）=5x2+2x+13，x∈[2，4]，则f（x）是单调增函数，且f（x）≥f（2）=37，所以|PC|≥，所以线段|PQ|的最小值为﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了两点间的距离公式与应用问题，也考查了求函数在闭区间上的最值问题，是基础题目．15.在△ABC中，角的对边分别为，向量，，若，则角

．参考答案：16.已知函数f（x）=是R上的增函数，则实数a的范围是．参考答案：[，6）【考点】函数单调性的性质．【分析】根据分段函数单调性的性质，确定a满足的条件即可求得a的取值范围．【解答】解：要使函数f（x）是增函数，则满足，即≤a＜6，故答案为：[，6）．17.等差数列中，，，则

.参考答案：21三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.九连环是我国的一种古老的智力游戏，它环环相扣，趣味无穷．按照某种规则解开九连环，至少需要移动圆环a9次．我们不妨考虑n个圆环的情况，用an表示解下n个圆环所需的最少移动次数，用bn表示前（n﹣1）个圆环都已经解下后，再解第n个圆环所需的次数，按照某种规则可得：a1=1，a2=2，an=an﹣2+1+bn﹣1，b1=1，bn=2bn﹣1+1．（1）求bn的表达式；（2）求a9的值，并求出an的表达式；（3）求证：．参考答案：解：（1）由bn=2bn﹣1+1．可得bn+1=2（bn﹣1+1），又b1+1=2，∴数列{bn+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴，得．（2）由已知，∴+28+26+24==341．当n是偶数时，=…==2n﹣1+2n﹣3+…+23+2==．当n是奇数时，=…==2n﹣1+2n﹣3+…+22+1=．综上所述：．（3）当n为偶数时，，当n为奇数时，．∴当n∈N*时，=，∴…+=．略19.（本小题满分10分）

在平面直角坐标系中，已知点A（－2，1），直线。

（1）若直线过点A，且与直线垂直，求直线的方程；

（2）若直线与直线平行，且在轴、轴上的截距之和为3，求直线的方程。

参考答案：解：（1）由题意，直线的斜率为2，所以直线的斜率为，（2分）

所以直线的方程为，即。（4分）

（2）由题意，直线的斜率为2，所以直线的斜率为2，

设直线的方程为。（6分）

令，得；令，得。（8分）

由题知，解得。

所以直线的方程为，即。（10分）20.已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），|﹣|=．（1）求cos（α﹣β）的值

（2）若0＜α＜，﹣＜β＜0，cosβ=，求sinα．参考答案：【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】（1）利用两个向量坐标形式的运算，两角差的余弦公式求得cos（α﹣β）的值．（2）由条件求得sin（α﹣β）、sinβ的值，再根据sinα=sin[（α﹣β）+β]=sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ计算求得结果．【解答】解：（1）∵=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），|﹣|===．∴cos（α﹣β）=．（2）由（1）得，，∴，∴sin（α﹣β）==，又∵cosβ=，∴sinβ=﹣=﹣．∴sinα=sin[（α﹣β）+β]=sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ=+=．21.已知函数． （1）求f（x）的周期． （2）当时，求f（x）的最大值、最小值及对应的x值． 参考答案：【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法． 【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的求值． 【分析】（1）根据三角函数公式化为f（x）=2sin（2x+）．即可求解周期． （2）根据范围得出，利用单调性求解即可． 【解答】解：（1）∵函数． ∴函数f（x）=2sin（2x+）． ∴f（x）的周期T==π 即T=π （2）∵ ∴， ∴﹣1≤sin（2x+）≤2 最大值2，2x=，此时， 最小值﹣1，2x=

此时 【点评】本题简单的考察了三角函数的性质，单调性，周期性，熟练化为一个角的三角函数形式即可． 22.已知函数f（x）=x2﹣2ax+5（a＞1）．（1）若函数f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；（2）若f（x）在区间（﹣∞，2]，上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】二次函数的性质．【分析】（1）确定函数的对称轴，从而可得函数的单调性，利用f（x）的定义域和值域均是[1，a]，建立方程，即可求实数a的值．（2）可以根据函数f（x）=x2﹣2ax+5=（x﹣a）2+5﹣a2．开口向上，对称轴为x=a，可以推出a的范围，利用函数的图象求出[1，a+1]上的最值问题，对任意的x∈[1，a+1]，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，从而求出实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=x2﹣2ax+5（a＞1），∴f（x）开口向上，对称轴为x=a＞1，…∴f（x）在[1，a]是单调减函数，…∴f（x）的最大值为f（1）=6﹣2a；f（x）的最小值为f（a）=5﹣a2…∴6﹣2a=a，且5﹣a2=1∴a=2…（2）函数f（x）=x2﹣2ax