广东省广州市英东中学2022年高三数学文下学期期末试卷含解析

广东省广州市英东中学2022年高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，则大小关系为

A．

B．

C．

D．参考答案：A略2.将函数的图像向右平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是（

）A.函数g(x)的最大值为 B.函数g(x)的最小正周期为πC.函数g(x)的图象关于直线对称 D.函数g(x)在区间上单调递增参考答案：D【分析】根据平移变换和伸缩变换的原则可求得的解析式，依次判断的最值、最小正周期、对称轴和单调性，可求得正确结果.【详解】函数向右平移个单位长度得：横坐标伸长到原来的2倍得：最大值为2，可知Q错误；最小正周期为，可知B错误；时，，则不是的对称轴，可知C错误；当时，，此时单调递增，可知D正确.本题正确选项：D【点睛】本题考查三角函数平移变换和伸缩变换、正弦型函数的单调性、对称性、值域和最小正周期的求解问题，关键是能够明确图象变换的基本原则，同时采用整体对应的方式来判断正弦型函数的性质.3.若，，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C4.i是虚数单位，复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数k的范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略5.执行如图所示的程序框图，输出的T＝（A）29

（B）44 （C）52

（D）62参考答案：A6.设分别为双曲线的左右焦点，过引圆的切线交双曲线的右支于点，为切点，为线段的中点，为坐标原点，则等于（

） A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：A略7.如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点.设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为，则的取值范围是(

)A. B.C. D.参考答案：B试题分析：设正方体的棱长为1，则，所以，.又直线与平面所成的角小于等于90°，而为钝角，所以的范围为，选B.【考点定位】空间直线与平面所成的角.8.如果，那么下列不等式一定成立的是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A9.某几何体的三视图如图所示（在右边的网格线中，每个小正方形的边长为1），则该几何体的表面积为（）A．48 B．54 C．60 D．64参考答案：C【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是底面为矩形的四棱锥，根据图中数据计算它的表面积即可．【解答】解：由三视图可知：该几何体是底面为矩形的四棱锥，如图所示；根据图中数据，计算它的表面积为S=S矩形ABCD+S△PAB+2S△PAD+S△PCD=3×6+×6×4+2××3×5+×6×5=60．故选：C．【点评】本题考查了利用几何体三视图求表面积的应用问题，是基础题．10.已知f(x)=是（-∞，+∞）上的增函数，那么a的取值范围是（

）A．（1，+∞）

B．(-∞,3)

C．(,3)

D．(1,3)参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在中，边所对的角分别是已知，若，则的面积是____参考答案：略12.曲线在点处的切线方程为

.参考答案：13.在一个密封的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是

．参考答案：14.已知点P是抛物线上的动点，点P在直线上的射影是M，定点，2,4,6

则|PA|+|PM|的最小值是____________参考答案：15.将斜边长为4的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，则所形成的几何体体积是

．参考答案：．【分析】几何体为两个同底等高的圆锥的组合体．【解答】解：等腰直角三角形的斜边长为4，斜边的高为2．∴旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥的组合体．圆锥的底面半径为2，高为2．∴几何体的体积V=2×=．故答案为：．【点评】本题考查了旋转体的结构特征和体积计算，属于基础题．16.已知五个实数依次成等比数列，则=___________．参考答案：略17.某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：专业性别非统计专业统计专业男1310女720为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，计算得到

（保留三位小数），所以判定

（填“有”或“没有”）的把握认为主修统计专业与性别有关系.参考答案：，有三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=x3+x2+ax+b（a，b为常数），其图象是曲线C．（1）当a=﹣2时，求函数f（x）的单调减区间；（2）设函数f（x）的导函数为f′（x），若存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f′（x0）=0同时成立，求实数b的取值范围；（3）已知点A为曲线C上的动点，在点A处作曲线C的切线l1与曲线C交于另一点B，在点B处作曲线C的切线l2，设切线l1，l2的斜率分别为k1，k2．问：是否存在常数λ，使得k2=λk1？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】压轴题；导数的综合应用．【分析】（1）先求原函数的导数，根据f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可；（2）由于存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f′（x0）=0同时成立，则存在唯一的实数根x0，即b=2x3+x2+x存在唯一的实数根x0，就把问题转化为求函数最值问题；（3）假设存在常数λ，依据曲线C在点A处的切线l1与曲线C交于另一点B，曲线C在点B处的切线l2，得到关于λ的方程，有解则存在，无解则不存在．【解答】解：（1）当a=﹣2时，函数f（x）=x3+x2﹣2x+b则f′（x）=3x2+5x﹣2=（3x﹣1）（x+2）令f′（x）＜0，解得﹣2＜x＜，所以f（x）的单调递减区间为（﹣2，）；（2）函数f（x）的导函数为由于存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f′（x0）=0同时成立，则即x3+x2+（﹣3x2﹣5x﹣1）x+b=0存在唯一的实数根x0，故b=2x3+x2+x存在唯一的实数根x0，令y=2x3+x2+x，则y′=6x2+5x+1=（2x+1）（3x+1）=0，故x=﹣或x=﹣，则函数y=2x3+x2+x在（﹣∞，），（﹣，+∞）上是增函数，在（，﹣）上是减函数，由于x=﹣时，y=﹣；x=﹣时，y=﹣；故实数b的取值范围为：（﹣∞，﹣）∪（﹣，+∞）；（3）设点A（x0，f（x0）），则在点A处的切线l1的切线方程为y﹣f（x0）=f′（x0）（x﹣x0），与曲线C联立得到f（x）﹣f（x0）=f′（x0）（x﹣x0），即（x3+x2+ax+b）﹣（x03+x02+ax0+b）=（3x02+5x0+a）（x﹣x0），整理得到（x﹣x0）2[x+（2x0+）]=0，故点B的横坐标为xB=﹣（2x0+）由题意知，切线l1的斜率为k1=f′（x0）=3x02+5x0+a，l2的斜率为k2=f′（﹣（2x0+））=12x02+20x0++a，若存在常数λ，使得k2=λk1，则12x02+20x0++a=λ（3x02+5x0+a），即存在常数λ，使得（4﹣λ）（3x02+5x0）=（λ﹣1）a﹣，故，解得λ=4，a=，故a=时，存在常数λ=4，使得k2=4k1；a≠时，不存在常数，使得k2=4k1．【点评】本题以函数为载体，考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查曲线的切线，同时还考查了方程根的问题，一般要转化为函数的最值来解决．19.已知点，，为坐标原点，函数.（1）求函数的最小值及此时的值；（2）若为的内角，，，的面积为，求的周长.参考答案：（I），2;(2).试题分析：（1）先根据向量数量积及配角公式将函数化为基本三角函数,再根据正弦函数性质求最值及对应自变量,(2)先根据条件求出角A,再利用余弦定理得两边平方和,最后根据基本不等式求两边和的最大值,即得的周长的最大值.试题解析：（1）∵，∴，∴当时，取得最小值2．点睛：向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，或转化为三角形中的“数量关系”，再利用解三角形的有关知识进行求解.20.已知函数f（x）=﹣x|x﹣a|+1（x∈R）． （Ⅰ）当a=1时，求使f（x）=x成立的x的值； （Ⅱ）当a∈（0，3），求函数y=f（x）在x∈上的最大值． 参考答案：【考点】分段函数的应用；函数的最值及其几何意义． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】（Ⅰ）当a=1时，f（x）=﹣x|x﹣1|+1=，依题意，可得，解之即可； （Ⅱ）当a∈（0，3），作出函数y=f（x）的图象，分0＜a≤1、1＜a＜2与2≤a＜3三类讨论，数形结合，即可求得函数y=f（x）在x∈上的最大值； 【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=﹣x|x﹣1|+1=， 由f（x）=x可得：． 解得x=1， （Ⅱ）f（x）=，作出示意图， 注意到几个关键点的值： f（0）=f（a）=1，f（）=1﹣， 当0＜a≤1时，f（x）在上单调递减，函数的最大值为f（1）=a； 1＜a＜2时，f（x）在上单调递增，在上单调递减， 函数的最大值为f（a）=1； 当2≤a＜3时，f（x）在上单调递减，在[，2]上单调第增， 且直线x=是函数的对称轴，由于（2﹣）﹣（﹣1）=3﹣a＞0， 故函数的最大值为f（2）=5﹣2a． 综上可得，f（x）max=． 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，着重考查二次函数在闭区间上的最值，综合考查数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想，考查逻辑思维、抽象思维、创新思维的综合运用，是难题 21.设全集，集合，集合(Ⅰ)求集合与；

(Ⅱ)求、参考答案：(Ⅰ)，不等式的解为，，(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，，

，22.已知函数．（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；（2）当时，试比较与1的大小；Ks5u

（3）求证：参考答案：解：（1）当时，，定义域是，，令，得或．

当或时，，当时，，的极大值是，极小值是．当时，；当时，，当仅有一个零点时，的取值范围是或．……………