广东省广州市第十三中学2021年高一数学理下学期期末试卷含解析

广东省广州市第十三中学2021年高一数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若,那么满足的条件是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B2.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（

）A．32

B．16+16

C．48

D．16+32

参考答案：B略3.函数是（

）A.奇函数

B.偶函数

C.既奇又偶

D.非奇非偶参考答案：A4.（5分）斜率为l且原点到直线距离为的直线方程为（） A． x+y+2=0或x+y﹣2=0 B． x+y+=0或x+y﹣=0 C． x﹣y+2=0或x﹣y﹣2=0 D． x﹣y+=0或x﹣y﹣=0参考答案：C考点： 直线的一般式方程；点到直线的距离公式．专题： 直线与圆．分析： 知道直线的斜率设出直线方程：x﹣y+b=0，利用点到直线的距离公式求得b即可．解答： 解：因为直线的斜率是1，故设直线的方程为：x﹣y+b=0，原点到直线的距离：=，解得：b=±2，故选C．点评： 本题考查了直线方程的求法，考查了点到直线的距离公式，是基础题．5.下列关于直线l,m与平面α,β的说法，正确的是（

）A．若且α⊥β,则l⊥α

B．若l⊥β且α∥β则l⊥αC．若l⊥β且α⊥β则l∥α

D．若αβ=m,且l∥m,则l∥α参考答案：B6.下列说法正确的是(

)A．“若x2=1，则x=1”的否命题是“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要非充分条件C．“a+b≠3”是“a≠1或b≠2”的充分非必要条件D．“”是“a＞2且b＞2”的充分必要条件参考答案：C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】A．原命题的否命题是“若x2≠1，则x≠1”，即可判断出正误；B．由x2﹣5x﹣6=0解得x=﹣1或6，即可得出结论；C．由a=1且b=2?a+b=3，且逆否命题为：若“a+b≠3”，则“a≠1或b≠2”，即可判断出正误．D．由“a＞2且b＞2”?“”，反之不成立，例如a=1，b=5，即可判断出正误．【解答】解：A．“若x2=1，则x=1”的否命题是“若x2≠1，则x≠1”，因此不正确；B．由x2﹣5x﹣6=0解得x=﹣1或6．∴“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的充分非必要条件，因此不正确；C．由a=1且b=2?a+b=3，且逆否命题为：若“a+b≠3”，则“a≠1或b≠2”，因此“a+b≠3”是“a≠1或b≠2”的充分非必要条件，正确．D．由“a＞2且b＞2”?“”，反之不成立，例如a=1，b=5，因此“”是“a＞2且b＞2”的必要非充分条件，不正确．故选：C．【点评】本题考查了充要条件的判定、命题之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.直线a、b和平面α，下面推论错误的是（）A．若a⊥α，b?α，则a⊥b B．若a⊥α，a∥b，则b⊥αC．若a⊥b，b⊥α，则a∥α或a?α D．若a∥α，b?α，则a∥b参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A，由线面垂直的性质定理可判断；B，由线面垂直的判定定理可判断；C，由线面、线线垂直的判定定理可判断；D，若a∥α，b?α，则a∥b或异面【解答】解：对于A，若a⊥α，b?α，则a⊥b，由线面垂直的性质定理可判断A正确；对于B，若a⊥α，a∥b，则b⊥α，由线面垂直的判定定理可判断B正确；对于C，若a⊥b，b⊥α，则a∥α或a?α，由线面、线线垂直的判定定理可判断C正确对于D，若a∥α，b?α，则a∥b或异面，故D错；故选：D．8.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若，则△ABC的面积是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B9.已知，则的值为()A．－7

B．－8

C．3

D．4参考答案：C10.某学校要召开学生代表大会，规定各班每人推选一名代表，当各班人数除以的余数大于时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数）可以表示为（

）A．B．C．D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.含有三个实数的集合既可表示成{a，，1}，又可表示成{a2，a+b，0}，则a2014+b2015=

．参考答案：1【考点】集合的表示法．【专题】计算题；集合思想；综合法；集合．【分析】根据集合相等和元素的互异性求出b和a的值，代入式子，即可得出结论．【解答】解：由题意得，{a，，1}={a2，a+b，0}，所以=0且a≠0，a≠1，即b=0，则有{a，0，1}={a2，a，0}，所以a2=1，解得a=﹣1，∴a2014+b2015=1．故答案为：1【点评】本题考查集合相等和元素的互异性，考查学生的计算能力，比较基础．12.已知函数f(x)=的定义域是一切实数,则m的取值范围是

参考答案：13.已知向量若则＝

.参考答案：14.在平面坐标系内，已知点，给出下面的结论；

①直线与直线平行；②;③；④，其中正确的结论序号是

参考答案：15.已知向量不超过5，则k的取值范围是

参考答案：略16.如图，在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点．那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值为

参考答案：17.已知，则=_______________．参考答案：4

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数g（x）=（a+1）x﹣2+1（a＞0）的图象恒过定点A，且点A又在函数（x+a）的图象上．（1）求实数a的值；（2）当方程|g（x+2）﹣2|=2b有两个不等实根时，求b的取值范围；（3）设an=g（n+2），bn=，求证：b1+b2+b3+…+bn＜（n∈N*）．参考答案：【考点】对数函数的图象与性质．【分析】（1）根据函数g（x）的图象过定点A，代入函数解析式求出a的值即可；（2）画出函数y=|2x﹣1|和y=2b的图象，结合图形即可得出b的取值范围；（3）根据题意写出an、bn的通项公式，利用裂项法求b1+b2+b3+…+bn即可．【解答】解：（1）函数g（x）的图象恒过定点A，A点的坐标为（2，2）；…2分又因为A点在f（x）上，则，即2+a=3，∴a=1；…4分（2）|g（x+2）﹣2|=2b，即|2x+1﹣2|=2b，∴|2x﹣1|=2b；…6分画出y=|2x﹣1|和y=2b的图象，如图所示；由图象可知：0＜2b＜1，故b的取值范围为；…8分（3）根据题意，得an=2n+1，bn==﹣；…10分∴b1+b2+b3+…+bn=﹣+﹣+﹣+…+﹣=﹣＜．…12分19.（满分12分）探究函数上的最小值，并确定取得最小值时的值。列表如下：x…0.53457…y…1475.345.115.0155.015.045.085.6778.612.14…(1)观察表中值随值变化趋势特点，请你直接写出函数的单调区间，并指出当取何值时函数的最小值为多少；(2)

用单调性定义证明函数在（0,2）上的单调性。参考答案：（1）由表中可知在为减函数，为增函数…………3分并且当时……………………3分（2）证明：设………9分即…………11分在为减函数…………12分20.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求B；（2）若，，，求a.参考答案：解:（1）因为，所以，而，故，（2）由或（舍）.

21.（本题满分12分）定义：对于任意，函数恒成立，且当时，总有成立，则称为函数．已知函数与是定义在上的函数．（1）试问函数是否为函数？并说明理由；（2）若函数是函数，求实数的值；（3）在（2）的条件下，利用函数图象讨论方程解的个数情况．参考答案：解：（1）当时，总有，满足条件①，·························1分当时，，满足条件②··················································································································3分（2）∵是函数，∴，∴恒成立．······················4分∴．·················································································································5分由

，得，即，··················································································6分因为所以

与不同时等于1

，，·····························································································7分当时，

，，········································8分

综合上述的值为1.·································································································8分（3）根据⑵知：a=1，方程为，··················································9分令

方程为图（略）····················································································································10分

由图形可知：当时，有一解；当

时，有二不同解；当时，方程无解．

2分略22.已知f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1．（1）求f（8）的值；

（2）求不等式f（x）＞3+f（x﹣2）的解集．参考答案：【考点】抽象函数及其应用；函数单调性的性质．【分析】（1）令x=y=2，可求得f（4），继而可求得f（8）的值；（2）由（1）f（8）=3，可求得f（x）＞3+