广东省广州市四十八中学2021年高三数学理期末试题含解析

广东省广州市四十八中学2021年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.记,，则这三个数的大小关系是．

．

．

．参考答案：由比较法不难得出，构造函数，知此函数在区间上为减函数，从而得到即2.若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A． B． C． D．参考答案：C考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

专题： 三角函数的求值．分析： 利用两角和的正弦函数对解析式进行化简，由所得到的图象关于y轴对称，根据对称轴方程求出φ的最小值．解答： 解：函数f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）的图象向右平移φ的单位，所得图象是函数y=sin（2x+﹣2φ），图象关于y轴对称，可得﹣2φ=kπ+，即φ=﹣，当k=﹣1时，φ的最小正值是．故选：C．点评： 本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数图象的特点，属于基础题．3.某几何体的三视图如图所示，其中圆的半径均为1，则该几何体的体积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A3.函数f(x)=(sinx+cosx)2的一条对称轴的方程是(

)参考答案：A化简，∴将选项代入验证，当时，取得最值，故选.5.设，则“的

（A）充分不必要条件

（B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件参考答案：B6.若，，则角的终边一定落在直线（

）上。A．

B．

C．

D．参考答案：答案：D7.（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略8.已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点，点F为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足|PA|=m|PF|，当m取最大值时|PA|的值为（）A．1 B． C． D．2参考答案：D【考点】抛物线的简单性质．【分析】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义，结合|PA|=m|PF|，设PA的倾斜角为α，则当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，求出P的坐标，即可求得|PA|的值．【解答】解：抛物线的标准方程为x2=4y，则抛物线的焦点为F（0，1），准线方程为y=﹣1，过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PF|，∵|PA|=m|PF|，∴|PA|=m|PN|，设PA的倾斜角为α，则sinα=，当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1，∴P（2，1），∴|PA|==2．故选D．【点评】本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，解答此题的关键是明确当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，属中档题．9.（5分）（2015?万州区模拟）x，y满足约束条件，若z=y﹣2ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．1或﹣B．或﹣1C．2或1D．2或﹣1参考答案：【考点】：简单线性规划．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=2ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．【解答】：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=y﹣2ax得y=2ax+z，即直线的截距最大，z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a＞0，目标函数y=2ax+z的斜率k=2a＞0，要使z=y﹣2ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=2ax+z与直线2x﹣y+2=0平行，此时2a=2，即a=1．若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣2ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=2ax+z与直线x+y﹣2=0，平行，此时2a=﹣1，解得a=﹣综上a=1或a=﹣，故选：A．【点评】：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．注意要对a进行分类讨论．10.已知集合，，则（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.圆与直线y=x相切于第三象限，则a的值是

．参考答案：因为圆与直线y=x相切于第三象限，所以。则有圆心到直线的距离，即，所以12.某厂家拟在2011年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是1万件.已知2011年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）．（1）将2011年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；（2）该厂家2011年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？参考答案：解：（1）由题意可知，当时，，∴即，∴，每件产品的销售价格为元.∴2009年的利润

（8分）（2）∵时，.∴，当且仅当，即时，.（15分）答：该厂家2011年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元.（16分）13.一个空间几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为

.

参考答案：14.△ABC中B=120°,AC=2,AB=2,则△ABC的面积为_________.参考答案：15.已知，若，且方程有5个不同根，则的取值范围为________参考答案：【分析】设，作出函数的图象，由方程有个不同根转化为二次方程的两根，，并构造函数，转化为二次函数的零点分布，得出，结合，可作出关于、的不等式组，作出可行域，将视为可行域中的点到直线的距离，结合图象可得出答案.【详解】作出函数的图象如下图所示：设，则方程有个不同根转化二次方程的两根，，构造函数，可得不等式，即，结合，作出图形如下图所示，不等式组表示的平面区域为边长为的正方形，不等式组表示的区域为下图中的阴影部分（不包括轴），代数式视为可行域中的点到直线的距离，当点与点重合时，，结合图形可知，取值范围是，故答案为：.【点睛】本题考查复合函数的零点个数问题，涉及二次函数零点分布、线性规划以及点到直线的距离，解题的关键在于将问题转化为二次函数零点的分布，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于难题.16.观察下列等式：；；；…则当且表示最后结果.

（最后结果用表示最后结果）．参考答案：。17.各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则的值为

，的值为

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数,的图象关于直线对称，其中为常数，且．(1)求函数的最小正周期；(2)若的图象经过点，求函数在上的值域．参考答案：略19.（本小题满分13分）下表为某体育训练队跳高、跳远成绩的分布，共有队员40人，成绩分为1～5五个档次，例如表中所示跳高成绩为4分，跳远成绩为2分的队员为5人.将全部队员的姓名卡混合在一起，任取一张，该卡片队员的跳高成绩为x分，跳远成绩为y分.⑴求m+n的值；⑵求x=4的概率及x≥3且y=5的概率．yx跳

远54321

跳

高51310141025132104321m60n100113参考答案：20.[选修4-5不等式]已知函数（1）.证明:（2）若,求实数a的取值范围.参考答案：证明：因为所以（2）因为所以解得21.已知函数.(1)求在区间[－2，1]上的最大值；(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线相切，求t的取值范围；(3)问过点A(－1，2)，B(2，10)，C(0，2)分别存在几条直线与曲线相切？(只需写出结论)参考答案：略22.（本小题满分13分）如图，已知在直四棱柱（侧棱垂直底面的棱柱）中，，，．（Ⅰ）求证：平面.（Ⅱ）求与平面所成的角的的正弦值；（Ⅲ）求二面角的正弦值．参考答案：见解析考点：利用直线方向向量与平面法向量解决计算问题