广东省广州市市白云中学2023年高二数学理测试题含解析

广东省广州市市白云中学2023年高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.甲、乙、丙、丁四们同学一起去向老师询问数学学业水平考试成绩等级.老师说:“你们四人中有2人A等,1人B等,1人C等,我现在给甲看乙、丙的成绩等级,给乙看丙的成绩等级,给丙看丁的成绩等级”.看后甲对大家说:“我知道我的成绩等级了”.根据以上信息,则（

）A.甲、乙的成绩等级相同

B.丁可以知道四人的成绩等级C.乙、丙的成绩等级相同

D.乙可以知道四人的成绩等级参考答案：D2.四面体ABCD的各面都是锐角三角形，且，，。平面分别截棱AB、BC、CD、DA于点P、Q、R、S，则四边形PQRS的周长的最小值是（

）

A.2a

B.2b

C.2c

D.参考答案：B3.执行右面的程序框图，如果输入的，那么输出的（

）（A）

（B）（C）

（D）参考答案：B4.本周日有5所不同的高校来我校作招生宣传，学校要求每位同学可以从中任选1所或2所去咨询了解，甲、乙、丙三位同学的选择没有一所是相同的，则不同的选法共有（

）A.330种 B.420种 C.510种 D.600种参考答案：A种类有（1）甲1，乙1，丙1，方法数有；（2）甲2，乙1，丙1；或甲1，乙2，丙1；或甲1，乙1，丙2——方法数有；（3）甲2，乙2，丙1；或甲1，乙2，丙2；或甲2，乙1，丙2——方法数有.故总的方法数有种.【点睛】解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手．(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．5.数列前n项和=(

)A.;

B.;

C.;

D.参考答案：D6.过点(1,2),且在两坐标轴上的截距相等的直线有

（

）

A.1条

B.

2条

C.

3条

D.

4条参考答案：B略7.直线恒过定点C，则以C为圆心，5为半径的圆的方程为（

）A．

B．C．

D．参考答案：B直线，化为，时，总有，即直线直线过定点，圆心坐标为，又因为圆的半径是，所以圆的标准方程是，故选B.

8.已知和是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出

的是（

）A．，且

B.∥，且

C.，且∥

D.，且∥参考答案：B9.如右题图所示，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则下列命题正确的是(

)①AH⊥平面CB1D1②AH=AC1③点H是△A1BD的垂心④AH∥平面BDC1A.①②④

B.②③④

C.①②③

D.①③④参考答案：C10.i是虚数单位，复数z满足，则=（

）A.5

B.

C.13

D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.从4名男同学、3名女同学中选3名同学组成一个小组，要求其中男、女同学都有，则共有种不同的选法．（用数字作答）参考答案：30【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】不考虑特殊情况有C73，只选男同学C43，只选女同学C33，由对立事件的选法，可求．【解答】解：不考虑特殊情况有C73，利用对立事件的选法，故有C73﹣C43﹣C33=30，故答案为30．12.已知复数，则__________；参考答案：13.对于函数f（x）=xlnx有如下结论：①该函数为偶函数；②若f′（x0）=2，则x0=e；③其单调递增区间是[，+∞）；④值域是[，+∞）；⑤该函数的图象与直线y=﹣有且只有一个公共点．（本题中e是自然对数的底数）其中正确的是（请把正确结论的序号填在横线上）参考答案：②③⑤【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的定义域、导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最值，从而判断结论即可．【解答】解：f（x）=xlnx的定义域是（0，+∞），故不是偶函数，故①错误；f′（x）=lnx+1，令f′（x0）=2，即lnx0+1=2，解得：x0=e，故②正确；令f'（x）＞0，即lnx+1＞0，解得：x＞，∴f（x）的单调递增区间是[，+∞），故③正确；由f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，得：f（x）的最小值是f（）=﹣，故f（x）的值域是[﹣，+∞），故④错误；故该函数的图象与直线y=﹣有且只有一个公共点，⑤正确；故答案为：②③⑤．14.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA+acosB=0，则B=___________.参考答案：.【分析】先根据正弦定理把边化为角，结合角的范围可得.【详解】由正弦定理，得．，得，即，故选D．【点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取定理法，利用转化与化归思想解题．忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在范围内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角．15.设函数，则=

▲

．参考答案：-216.已知x＞0,由不等式……，启发我们可以得出推广结论：

.参考答案：略17.若“”是“”的必要不充分条件，则的最大值为

▲

．

参考答案：-1略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）如下左图，矩形的周长是24，把沿向折叠，折过去后交于点，得到下右图，设，（1）设，试用表示出；（2）把的面积表示成的函数，并求出该函数的最大值及相应的值；参考答案：（1），矩形周长为24，，折过去后，，则，在中，解得：……………………4分（2）………………5分所以的面积

…………7分由………………8分由基本不等式，得：，当且仅当取等号…………10分由不等式的性质，得：综上，当时的最大面积是。

……………12分19.（本小题满分12分）如图，在三棱锥S－ABC中，BC⊥平面SAC，AD⊥SC．（I）求证：AD⊥平面SBC；（II）试在SB上找一点E，使得BC//平面ADE，并证明你的结论．

参考答案：（I）证明：BC⊥平面SAC，平面SAC，∴BC⊥AD，又∵AD⊥SC，，平面SBC，平面SBC，∴AD⊥平面SBC．

…………（5分）（II）过D作DE//BC，交SB于E，E点即为所求．∵BC//DE，BC面ADE，DE平面ADE，∴BC//平面ADE．

…………（10分）

20.从一副扑克牌的红桃花色中取5张牌，点数分别为1，2，3，4，5．甲、乙两人玩一种游戏：甲先取一张牌，记下点数，放回后乙再取一张牌，记下点数．如果两个点数的和为偶数就算甲胜，否则算乙胜．（1）求甲胜且点数的和为6的事件发生的概率；（2）这种游戏规则公平吗？说明理由．参考答案：【考点】等可能事件的概率．【分析】（1）设“甲胜且点数的和为6”为事件A，甲的点数为x，乙的点数为y，则（x，y）表示一个基本事件，列举两人取牌结果，可得A包含的基本事件数目，由古典概型的公式，计算可得答案；（2）根据题意，设“甲胜”为事件B，“乙胜”为事件C；由列举法分别计算两人取胜的概率，比较可得答案．【解答】解：（1）设“甲胜且点数的和为6”为事件A，甲的点数为x，乙的点数为y，则（x，y）表示一个基本事件，两人取牌结果包括（1，1），（1，2），（1，5），（2，1），（2，2），（5，4），（5，5）共25个基本事件；A包含的基本事件有（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）共5个，所以P（A）=．所以，编号之和为6且甲胜的概率为．（2）根据题意，设“甲胜”为事件B，“乙胜”为事件C；甲胜即两个点数的和为偶数，所包含基本事件数为以下13个：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（5，1），（5，3），（5，5）；所以甲胜的概率为P（B）=；乙胜的概率为P（C）=1﹣，∵P（B）≠P（C），∴这种游戏规则不公平．21.在某校歌咏比赛中，甲班、乙班、丙班、丁班均可从、、、四首不同曲目中任选一首.（1）求甲、乙两班选择不同曲目的概率；（2）设这四个班级总共选取了首曲目，求的分布列及数学期望.参考答案：（1）在某校歌咏比赛中，甲班、乙班、丙班、丁班均可从、、、四首不同曲目中任选一首，共有种选法，甲、乙两班选择不同的曲目共有种选法，∴甲、乙两班选择不同曲目的概率为.（2）依题意可知，的可能取值为1，2，3，4，则，，，∴的分布列为：22.设函数φ（x）=ex﹣1﹣ax，（I）当a=1时，求函数φ（x）的最小值；（Ⅱ）若函数φ（x）在（0，+∞）上有零点，求实数a的范围；（III）证明不等式ex≥1+x+．参考答案：【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（I）求出导函数，利用导函数的符号，判断函数的单调区间求解最小值．（II）φ'（x）=ex﹣a，若a≤0，求解函数的极值，若a＞0，求出函数的最小值，当0＜a≤1时，求解极值，当a＞1时，求出极值点，设g（a）=a﹣1﹣alna，求出导数，然后求解最小值，推出a的取值范围．（III）设函数通过（1）当x≤0时，判断函数的单调性，（2）当x＞0时，设，构造设h（x）=ex﹣x，判断函数的单调性求解函数的最值，推出结果．【解答】（本题满分14分）解：（I）?（x）=ex﹣1﹣x，?'（x）=ex﹣1x＜0时，?'（x）＜0．?（x）递减；x＞0时，?'（x）＞0，?（x）递增?（x）min=?（0）=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（II）φ'（x）=ex﹣a若a≤0，φ'（x）=ex﹣a＞0，φ（x）在R上递增，且φ（0）=0，所以φ（x）在（0，+∞）上没有零点﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣若a＞0，φ'（x）＜0，x＜lna，φ'（x）＞0，x＞lnaφ（x）在（﹣∞，lna）↓，（lna，+∞）↑，所以φ（x）min=φ（lna）=a﹣1﹣alna﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当0＜a≤1时，极值点x0=lna≤0，又φ（0）=0，?（x）在（0，+∞）无零点当a＞1时，极值点x0=lna＞0，设g（a）=a﹣1﹣alnag'（a）=﹣lna＜0，g（a）在（1，+∞）上递减，∴φ（x）min=g（a）＜g（1）=0﹣﹣﹣﹣φ（2a）=e2a﹣1﹣2a2∴φ'（2a）=2e2a﹣4a=2（e2a﹣2a）＞0，φ（2a）在（1，+∞）上递增所以φ（2a）＞φ（2）=e2﹣5＞0，所以φ（x）在（0，+