广东省佛山市艺术中学2021年高三数学理下学期期末试题含解析

广东省佛山市艺术中学2021年高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知圆O为Rt△ABC的内切圆，AC=3，BC=4，∠C=90°，过圆心O的直线l交圆O于P，Q两点，则的取值范围是（）A．（﹣7，1） B．．[0，1] C．[﹣7，0] D．[﹣7，1]参考答案：D【考点】平面向量数量积的运算．【分析】以O为坐标原点，与直线BC平行的直线为x轴，与直线AC平行的直线为y轴，建立直角坐标系，设△ABC的内切圆的半径为r，运用面积相等可得r=1，设出圆的方程，求得交点P，Q，讨论直线的斜率k不存在和大于0，小于0的情况，运用向量的坐标运算，结合数量积的坐标表示和不等式的性质，计算即可得到范围．【解答】解：以O为坐标原点，与直线BC平行的直线为x轴，与直线AC平行的直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示；设△ABC的内切圆的半径为r，运用面积相等可得，×3×4=×r×（3+4+5），解得r=1，则B（﹣3，﹣1），C（1，﹣1），即有圆O：x2+y2=1，当直线PQ的斜率不存在时，即有P（0，1），Q（0，﹣1），=（3，3），=（﹣1，0），即有=﹣3．当直线PQ的斜率存在时，设直线l：y=kx，（k＜0），代入圆的方程可得P（﹣，﹣），Q（，），即有=（3﹣，1﹣），=（﹣1，+1），则有=（3﹣）（﹣1）+（1﹣）（+1）=﹣3+，由1+k2≥1可得0＜≤4，则有﹣3＜﹣3+≤1；同理当k＞0时，求得P（，），Q（﹣，﹣），有═﹣3﹣，可得﹣7≤﹣3+＜﹣3；综上可得，?的取值范围是[﹣7，1]．故选：D．2.设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（）(A)0

(B)1

(C)

(D)3参考答案：B，又均为正实数，，当且仅当时等号成立，因此当取得最大值时，，此时，因此，，当且仅当时等号成立，因此的最大值为，故选B.3.已知集合,则等于A．{-1,0,1} B．{1} C．{-1,1} D．{0,1}参考答案：B略4.某兄弟俩都推销某一小家电，现抽取他们其中8天的销售量（单位：台），得到的茎叶图如下图所示，已知弟弟的销售量的平均数为34，哥哥的销售量的中位数比弟弟的销售量的众数大2，则x+y的值为（

）A．5 B．13

C．15

D．20参考答案：B根据茎叶图中的数据知，弟弟的众数是34,则哥哥的中位数是，，解得，又，解得，，故选B.

5.等式成立是成等差数列的(

)条件A.充分而不必要

B.必要而不充分

C.充分必要

D.既不充分又不必要参考答案：知识点：等差数列充分、必要条件A2D2B解析：显然当α＋γ=，2β=时，等式成立，但α，β，γ不成等差数列，所以充分性不满足，若α，β，γ成等差数列，则α＋γ=2β，显然等式成立，所以必要性满足，则选B.【思路点拨】判断充分必要条件时，应先分清命题的条件与结论，由条件能推出结论，则充分性满足，由结论能推出条件，则必要性满足.6.已知点，为圆上的任意两点，且，若中点组成的区域为，在圆内任取一点，则该点落在区域上的概率为A．

B．

C．

D．参考答案：B中点组成的区域为如图所示，那么在内部任取一点落在内的概率为，故选．7.已知函数，集合，现从M中任取两个不同的元素，则的概率为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：A

【知识点】三角函数的化简求值；等可能事件的概率．C7K1解析：已知函数，集合，现从M中任取两个不同的元素，则m=3，9时，满足f（m）?f（n）=0的个数为m=3时8个m=9时8个，n=3时8个，n=9时8个，重复2个，共有30个．从A中任取两个不同的元素m，n，则f（m）?f（n）的值有72个，所以函数，集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，从A中任取两个不同的元素m，n，则的概率为：=，故选A．【思路点拨】对于m值，求出函数的值，然后用排列组合求出满足的个数，以及所有的个数，即可得到的概率．8.命题：“”，则（

）A．是假命题；：

B．是假命题；：C．是真命题；：D．是真命题；：参考答案：B9.函数的图像可能是（

）A. B.C. D.参考答案：A【分析】分析四个图像的不同，从而判断函数的性质，利用排除法求解。【详解】当时，，故排除D；由于函数的定义域为，且在上连续，故排除B；由，由于，，所以，故排除C;故答案为A。【点睛】本题考查了函数的性质的判断与数形结合的思想方法的应用，属于中档题。10.若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则此复平面内表示复数的点是

（A）E

（B）F

（C）G

（D）H

参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于___▲_____参考答案：912.已知，则tanα=__________．参考答案：，解方程得.

13.若过点A（4，0）的直线l与曲线有公共点，则直线l的斜率的取值范围为

。参考答案：14.已知函数f(x)＝若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是________．参考答案：(－2,1)15.若函数有三个不同的零点，则函数的零点个数是________个．参考答案：416.等差数列的前项和为，若则

．参考答案：8略17.设当时，函数取得最大值，则

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率与日产量（万件）之间满足关系：（其中为小于6的正常数）（注：次品率=次品数/生产量，如表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量.（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额(万元）表示为日产量（万件）的函数；（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？参考答案：解：（Ⅰ）当时，，------------------------2分当时，，综上，日盈利额（万元）与日产量（万件）的函数关系为：-------------------------------------6分（Ⅱ）由（1）知，当时，每天的盈利额为0

当时，当且仅当时取等号------------------8分所以当时，，此时

当时，由知函数在上递增，，此时--------------------10分综上，若，则当日产量为3万件时，可获得最大利润

略19.（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，

AC=BC=2，，CC1=4，M是棱CC1上一点．（Ⅰ）求证：BC⊥AM；（Ⅱ）若M，N分别为CC1，AB的中点，求证：CN//平面AB1M．参考答案：证明：（Ⅰ）因为三棱柱ABC-A1B1C1中CC1⊥平面ABC，所以CC1⊥BC．

…………1分因为AC=BC=2，，所以由勾股定理的逆定理知BC⊥AC．

……………2分又因为AC∩CC1=C，所以BC⊥平面ACC1A1．

……4分因为AM平面ACC1A1，所以BC⊥AM．

……6分（Ⅱ）过N作NP∥BB1交AB1于P，连结MP，则NP∥CC1．………………8分因为M,N分别为CC1,AB中点，所以，．

…………9分因为BB1=CC1，所以NP=CM．

……10分所以四边形MCNP是平行四边形．…………11分所以CN//MP．

……12分因为CN平面AB1M，MP平面AB1M，

……13分所以CN//平面AB1M．

……14分20.（13分）（2013?宿迁一模）已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，数列的前n项和为Tn，且，n∈N*．（1）证明数列{an}是等比数列，并写出通项公式；（2）若对n∈N*恒成立，求λ的最小值；（3）若成等差数列，求正整数x，y的值．参考答案：(1)，n∈N*;(2)λ≥3;(3)x=1，y=2．（1）因为，其中Sn是数列{an}的前n项和，Tn是数列的前n项和，且an＞0，当n=1时，由，解得a1=1，…（2分）当n=2时，由，解得；…（4分）由，知，两式相减得，即，…（5分）亦即2Sn+1﹣Sn=2，从而2Sn﹣Sn﹣1=2，（n≥2），再次相减得，又，所以所以数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，…（7分）其通项公式为，n∈N*．…（8分）（2）由（1）可得，，…（10分）若对n∈N*恒成立，只需=3×=3﹣对n∈N*恒成立，∵3﹣＜3对n∈N*恒成立，∴λ≥3．（3）若成等差数列，其中x，y为正整数，则成等差数列，整理，得2x=1+2y﹣2，当y＞2时，等式右边为大于2的奇数，等式左边为偶数或1，等式不能成立，∴满足条件的正整数x，y的值为x=1，y=2．21.已知椭圆的离心率，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为3．（1）求椭圆的方程；（2）动直线与椭圆交于A,B两点，在平面上是否存在定点P，使得当直线PA与直线PB的斜率均存在时，斜率之和是与m无关的常数？若存在，求出所有满足条件的定点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：(1)设椭圆的半焦距为c，则，且．由解得．……2分依题意，，于是椭圆的方程为．……………4分(2)设，设，与椭圆方程联立得则有………6分直线PA,PB的斜率之和………9分当