广东省佛山市金本中学高三数学文期末试题含解析

广东省佛山市金本中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）单调递减，若实数a满足f（log3a）+f（）≥2f（1），则a的取值范围是（）A．（0，3] B．（0，] C．[，3] D．[1，3]参考答案：C【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】由于函数f（x）是定义在R上的偶函数，则f（﹣x）=f（x），即有f（x）=f（|x|），f（log3a）+f（﹣log3a）≥2f（1），即为f（|log3a|）≥f（1），再由f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，得到|log3a|≤1，即有﹣1≤log3a≤1，解出即可．【解答】解：由于函数f（x）是定义在R上的偶函数，则f（﹣x）=f（x），即有f（x）=f（|x|），由实数a满足f（log3a）+f（）≥2f（1），则有f（log3a）+f（﹣log3a）≥2f（1），即2f（log3a）≥2f（1）即f（log3a）≥f（1），即有f（|log3a|）≥f（1），由于f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，则|log3a|≤1，即有﹣1≤log3a≤1，解得≤a≤3．故选C．2.如图2，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数图象下方的区域（阴影部分），从D内随机取一个点M，则点M取自E的概率为

A．

B．

C．

D．参考答案：A3.已知为虚数单位，，若为纯虚数，则复数的模等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C试题分析：，因为为纯虚数，故，故|z|=|(2a+1)+i|=.4.执行两次如图2所示的程序框图，若第一次输入的a的值为－1.2，第二次输入的a的值为1.2，则第一次，第二次输出的a的值分别为()

A．0.2,0.2 B．0.2,0.8C．0.8,0.2 D．0.8,0.8参考答案：C略5.(文)已知函数，若存在，且，使成立，则以下对实数、的描述正确的是

[答]（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A由函数的图象可知当时，函数单调递增，当时，函数递减。若,则函数在上单调递增，所以条件不成立。所以必有，所以选A.6.三角形ABC中，若2，且b=2，角A=300，则ΔABC的面积为：A．1

B．

C．2

D．

参考答案：D略7.已知二次函数的导数为，，对于任意实数都有，则的最小值为(

)A．2

B．

C．3

D．参考答案：A8.实数，，，则三数由小到大排列是

参考答案：9.已知集合是实数集）,,则（

）A．B．C．D．参考答案：D10.如图为互相垂直的两个单位向量，则（

）A．20

B．

C．

D．参考答案：C【知识点】向量的坐标运算F2解析：分别以的方向为x,y轴方向建立直角坐标系，则，，所以选C.【思路点拨】遇到向量的运算时，若直接计算不方便，可建立直角坐标系转化为坐标运算进行解答.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，当+的最小值为m时，则y=sin（mx+）的图象向右平移后的表达式为

．参考答案：y=sin2x【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；简单线性规划．【分析】首先根据线性规划问题和基本不等式求出函数的最值，再利用正弦型函数的图象变换问题，求出结果．【解答】解：设x、y的线性约束条件解得A（1，1）目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2即：a+b=2所以：则：则y=sin（2x+）的图象向右平移后的表达式为：y=sin2x故答案为：y=sin2x【点评】本题考查的知识要点：线性规划问题，基本不等式的应用，正弦型函数的图象变换问题，属于基础题型．12.已知函数f（x）=，则函数y=f[f（x）]+1的零点个数是个．参考答案：4【考点】函数的零点．【分析】当x≤0时，f（x）=x+1．当﹣1＜x≤0时，f（x）=x+1＞0，y=f[f（x）]+1=log2（x+1）+1=0，x=﹣；当x≤﹣1时，f（x）=x+1≤0，y=f[f（x）]+1=f（x）+1+1=x+3=0，x=﹣3；当x＞0时，f（x）=log2x，y=f[f（x）]+1=log2[f（x）]+1．当0＜x＜1时，f（x）=log2x＜0，y=f[f（x）]+1=log2[f（x）]+1=log2（log2x+1）+1=0，x=；当x＞1时，f（x）=log2x＞0，y=f[f（x）]+1=log2（log2x）+1=0，x=．由此能求出y=f[f（x）]+1的零点．【解答】解：当x≤0时，f（x）=x+1，当﹣1＜x≤0时，f（x）=x+1＞0y=f[f（x）]+1=log2（x+1）+1=0，x+1=，x=﹣．当x≤﹣1时，f（x）=x+1≤0，y=f[f（x）]+1=f（x）+1+1=x+3=0，∴x=﹣3．当x＞0时，f（x）=log2x，y=f[f（x）]+1=log2[f（x）]+1，当0＜x＜1时，f（x）=log2x＜0，y=f[f（x）]+1=log2[f（x）]+1=log2（log2x+1）+1=0，∴，x=；当x＞1时，f（x）=log2x＞0，∴y=f[f（x）]+1=log2（log2x）+1=0，∴，x=．综上所述，y=f[f（x）]+1的零点是x=﹣3，或x=﹣，或x=，或x=．故答案为：4．【点评】本题考查函数的零点个数的求法，是基础题，易错点是分类不全，容量出现丢解．解题时要注意分段函数的性质和应用，注意分类讨论法的合理运用．13.连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是a，b，则函数在处取得最值的概率是

.参考答案：14.设集合U＝，A=，B＝，则＝

。参考答案：15.在△ABC中，a=3，c=，cosC=，则sinA=，若b＜a，则b=．参考答案：，3

【考点】正弦定理．【分析】由同角三角函数基本关系式可求sinC，由正弦定理可得sinA，可求cosA=±，分类讨论，当cosA=时，可求cosB=﹣＜0，与b＜a，B为锐角，矛盾，舍去，从而利用两角和的余弦函数公式可求cosB，求得sinB，利用由正弦定理可得b的值．【解答】解：∵a=3，c=，cosC=，∴sinC==，∴由正弦定理可得：sinA===，可得：cosA==±，∴当cosA=时，cosB=﹣cos（A+C）=sinAsinC﹣cosAcosC=﹣×=﹣＜0，由于b＜a，B为锐角，矛盾，舍去，∴cosA=﹣，cosB=﹣cos（A+C）=sinAsinC﹣cosAcosC=﹣（﹣）×=，可得：sinB==，∴由正弦定理可得：b===3．故答案为：，3．16.设数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，Sn﹣=0（n∈N*），则{an}的通项公式为an=

．参考答案：考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，利用等比数列的通项公式即可得出．解答： 解：当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=an，化为an+1=3an．a1﹣a2=0，解得a2=2．∴当n≥2时，数列{an}为等比数列，∴．∴{an}的通项公式为an=．故答案为：an=．点评：本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式，属于基础题．17.定义：如果函数y=f(x)在定义域内给定区间上存在，满足，则称函数y=f(x)是上的“平均值函数”，是它的一个均值点。例如是上的平均值函数，0就是它的均值点。现有函数是上的平均值函数，则实数m的取值范围是

。参考答案：(0，2)略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）设，其中为正实数。（1）当时，求的极值点；（2）若为R上的单调函数，求的取值范围。参考答案：（Ⅰ）解得是的极大值点，是的极小值点．（Ⅱ）．

略19.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角C的大小；（2）求的最大值．参考答案：C略20.某届奥运会上，中国队以26金18银26铜的成绩称金牌榜第三、奖牌榜第二，某校体育爱好者在高三

年级一班至六班进行了“本届奥运会中国队表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），从被调查的学生中随机抽取了50人，具体的调查结果如表：班号一班二班三班四班五班六班频数5911979满意人数478566（1）在高三年级全体学生中随机抽取一名学生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概率；（2）若从一班至二班的调查对象中随机选取4人进行追踪调查，记选中的4人中对“本届奥运会中国队表现”不满意的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）因为在被抽取的50人中，持满意态度的学生共36人，即可得出持满意态度的频率．（2）ξ的所有可能取值为O，1，2，3．利用超几何分布列的概率计算公式与数学期望计算公式即可得出．【解答】解：（1）因为在被抽取的50人中，持满意态度的学生共36人，所以持满意态度的频率为，据此估计高三年级全体学生持满意态度的概率为．（2）ξ的所有可能取值为O，1，2，3.；；；．ξ的分布列为：ξ0123P．21.已知函数，其中.(1)若对一切x∈R，≥1恒成立，求a的取值集合；(2)在函数的图像上取定两点，，记直线AB的斜率

为k，问：是否存在x0∈（x1，x2），使成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.

参考答案：（1）若，则对一切，，这与题设矛盾，又，故.而令当时，单调递减；当时，单调递增，故当时，取最小值于是对一切恒成立，当且仅当.①令则当时，单调递增；当时，单调递减.故当时，取最大值.因此，当且仅当即时，①式成立.综上所述，的取值集合为.（2）由题意知，令则令，则.当时，单调递减；当时，单调递增.故当，即从而，又所以因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在使单调递增，故这样的是唯一的，且.故当且仅当时，.综上所述，存在使成立.且的取值范围为.略22.如图，已知三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．（I）求证：BC⊥平面APC；（Ⅱ）若BC=3，AB=10，求点B到平面DCM的距离．参考答案：【考点】直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（I）根据正三角形三线合一，可得MD⊥PB，利用三角形中位线定理及空间直线夹角的定义可得AP⊥PB，由线面垂直的判定定理可得AP⊥平面PBC，即AP⊥BC，再由AC⊥BC结合线面垂直的判定定理可得BC⊥平面APC；（Ⅱ）记点B到平面MDC的距离为h，则有VM﹣BCD=VB﹣MDC．分别求出MD长，及△BCD和△MDC面积，利用等积法可得答案．【解答】证明：（Ⅰ）如图，∵△PMB为正三角形，且D为PB的中点，∴MD⊥PB．又∵M为AB的中点，D为PB的中点，∴MD∥AP，∴AP⊥PB．又已知AP⊥PC，PB∩PC=P，P