广东省佛山市富安初级中学2023年高三数学理测试题含解析

广东省佛山市富安初级中学2023年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=An2+Bn，且a1=1，a2=3，则a2017=（）A．4031 B．4032 C．4033 D．4034参考答案：C【考点】等差数列的前n项和．【分析】数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=An2+Bn，数列{an}是等差数列．再利用通项公式即可得出．【解答】解：∵数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=An2+Bn，∴数列{an}是等差数列．∵a1=1，a2=3，则公差d=3﹣1=2．a2017=1+2×=4033．故选：C．2.设是公差为正数的等差数列，若=80，则=

（A）120

（B）105

（C）90

（D）75参考答案：B3.命题：对任意，的否定是(

)A．：对任意，

B．：不存在,

C．：存在,

D．：存在,

参考答案：C4.已知双曲线的离心率为2，若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，若是上两点且，则直线与轴的交点的纵坐标为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：D5.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当时，，若，则实数a的取值范围是（

）A.(－∞,－2)∪(3,+∞) B.(－3,2)C.(－2,3) D.(－∞,－3)∪(2,+∞)参考答案：C【分析】画出函数图像得到函数单调递增，利用函数的单调性得到，计算得到答案.【详解】是奇函数，当时，设则，，故即，函数的图像如图所示：结合图像可知是上的增函数由，得解得，故选：.【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性，判断函数的单调性是解题的关键.6.在等差数列{an}中，a9=，则数列{an}的前11项和S11等于（）A．24 B．48 C．66 D．132参考答案：D考点： 数列的求和．

专题： 计算题；等差数列与等比数列．分析： 根据数列{an}为等差数列，a9=，可求得a6，利用等差数列的性质即可求得数列{an}的前11项和S11．解答： 解：∵列{an}为等差数列，设其公差为d，∵a9=，∴a1+8d=（a1+11d）+6，∴a1+5d=12，即a6=12．∴数列{an}的前11项和S11=a1+a2+…+a11=（a1+a11）+（a2+a10）+…+（a5+a7）+a6=11a6=132．故选D．点评： 本题考查数列的求和，着重考查等差数列的通项公式，求得a6的值是关键，考查综合应用等差数列的性质解决问题的能力，属于中档题．7.命题“若函数在上是减函数，则”的否命题是（

）A．若函数在上不是减函数，则B．若函数在上是减函数，则C．若，则函数在上是减函数D．若，则函数在上不是减函数参考答案：A略8.甲：函数，f（x）是R上的单调递增函数；乙：?x1＜x2，f（x1）＜f（x2），则甲是乙的(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数单调性的定义和性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：根据函数单调性的定义可知，若f（x）是R上的单调递增函数，则?x1＜x2，f（x1）＜f（x2），成立，∴命题乙成立．若：?x1＜x2，f（x1）＜f（x2），则不满足函数单调性定义的任意性，∴命题甲不成立．∴甲是乙成立的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数单调性的定义和性质是解决本题的关键．9.定义在R上的函数的图象关于点（成中心对称，对任意的实数都有且则的值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略10.设a≠0，函数f（x）=，若f[f（﹣）]=4，则f（a）等于（）A．8 B．4 C．2 D．1参考答案：A【分析】由已知得f（﹣）=4=2，从而f[f（﹣）]=f（2）=|4+2a|=4，由此能求出a，从而能求出结果．【解答】解：∵a≠0，函数f（x）=，f[f（﹣）]=4，∴f（﹣）=4=2，f[f（﹣）]=f（2）=|4+2a|=4，解得a=﹣4或a=0（舍），∴a=﹣4．f（a）=f（﹣4）=4log24=8．故选：A．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，点P是MD的中点．若||=2，||=1，且∠BAD=60°，则?=．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【分析】通过图形，分别表示，然后进行向量数量积的运算即可．【解答】解：由题意不难求得，则===故答案为：．12.幂函数的图象过点，则

．参考答案：213.若对一切，复数的模不超过2，则实数a的取范围是

.参考答案：

解析：依题意，得

（）（对任意实数成立）

.故的取值范围为14.如图所示，AB和AC分别是圆O的切线，且OC=3，AB=4，

延长AO与圆O交于D点，则△ABD的面积是_______.参考答案：15.《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”大意为：有个圆柱形木头，埋在墙壁中（如图所示），不知道其大小，用锯沿着面AB锯掉裸露在外面的木头，锯口CD深1寸，锯道AB长度为1尺，问这块圆柱形木料的直径是__________．（注：1尺＝10寸）参考答案：26寸设圆柱形木料的半径是，则，得，所以圆柱形木料的直径是26寸．16.已知向量||=1，||=2，若|﹣|=，则向量，的夹角为．参考答案：【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由题意先求出=1，再根据向量的夹角公式计算即可．【解答】解：向量||=1，||=2，|﹣|=，∴|﹣|2=||2+||2﹣2=1+4﹣2=3，∴=1，∴cos＜，＞===，∵向量，的夹角的范围为（0，π），∴向量，的夹角为，故答案为：．17.若复数（，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a=

．参考答案：6为纯虚数，故

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=alnx+，a∈R．（1）若f（x）的最小值为0，求实数a的值；（2）证明：当a=2时，f（x）≤f′（x）在x∈[1，2]上恒成立，其中f′（x）表示f（x）的导函数．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出原函数的导函数，对a分类分析，可知当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上是减函数，f（x）的最小值不为0；当a＞0时，求出导函数的零点，可得原函数的单调性，求其最小值，由最小值为0进一步利用导数求得a值；（2）当a=2时，f（x）=2lnx+，f′（x）=．构造函数h（x）=，问题转化为h（x）=≤0在x∈[1，2]上恒成立．利用导数可得存在x0∈（1，2），使h（x）在[1，x0）上为减函数，在（x0，2]上为增函数，再由h（1）=0，h（2）=2ln2﹣＜0，可知h（x）=≤0在x∈[1，2]上恒成立．即当a=2时，f（x）≤f′（x）在x∈[1，2]上恒成立．【解答】（1）解：∵f（x）=alnx+=alnx+，∴f′（x）=（x＞0）．当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上是减函数，f（x）的最小值不为0；当a＞0时，f′（x）==．当x∈（0，）时，f′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0．∴f（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数，∴=，令g（a）=，则g′（a）=（a＞0）．当a∈（0，2）时，g′（a）＞0；当a∈（2，+∞）时，g′（a）＜0，∴g（a）在（0，2）上为增函数，在（2，+∞）上为减函数，则g（a）max=g（2）=0．∴f（x）的最小值为0，实数a的值为2；（2）证明：当a=2时，f（x）=2lnx+，f′（x）=．令h（x）=，若f（x）≤f′（x）在x∈[1，2]上恒成立，则h（x）=≤0在x∈[1，2]上恒成立．h′（x）=，令t（x）=x3+x2﹣x﹣3，t′（x）=3x2+2x﹣1＞0在[1，2]上恒成立，∴t（x）在[1，2]上为增函数，又t（1）?t（2）＜0，∴存在x0∈（1，2），使t（x0）=0，即存在x0∈（1，2），使h′（x0）=0，则当x∈[1，x0）时，h′（x0）＜0；当x∈（x0，2]时，h′（x0）＞0．即h（x）在[1，x0）上为减函数，在（x0，2]上为增函数，由h（1）=0，h（2）=2ln2﹣＜0，∴h（x）=≤0在x∈[1，2]上恒成立．即当a=2时，f（x）≤f′（x）在x∈[1，2]上恒成立．19.“城中观海”是近年来国内很多大中型城市内涝所致的现象，究其原因，除天气因素、城市规划等原因外，城市垃圾杂物也是造成内涝的一个重要原因。暴雨会冲刷城市的垃圾杂物一起进入下水道，据统计，在不考虑其它因素的条件下，某段下水道的排水量V(单位：立方米／小时)是杂物垃圾密度x（单位：千克／立方米）的函数。当下水道的垃圾杂物密度达到2千克／立方米时，会造成堵塞，此时排水量为0；当垃圾杂物密度不超过0.2千克／立方米时，排水量是90立方米／小时；研究表明，时，排水量V是垃圾杂物密度x的一次函数。（Ⅰ）当时，求函数V(x)的表达式；（Ⅱ）当垃圾杂物密度x为多大时，垃圾杂物量（单位时间内通过某段下水道的垃圾杂物量，单位：千克／小时）可以达到最大，求出这个最大值。参考答案：略20.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线（为参数，t＞0）.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线.（1）若l与曲线C没有公共点，求t的取值范围；（2）若曲线C上存在点到l距离的最大值为，求t的值.参考答案：解：（1）因为直线的极坐标方程为，即，所以直线的直角坐标方程为；因为（参数，）所以曲线的普通方程为，由消去得，，所以，解得，故的取值范围为. （2）由（1）知直线的直角坐标方程为，故曲线上的点到的距离，故的最大值为由题设得，解得.又因为，所以.

21.已知数列{an}是首项，公比的等比数列．设（n∈N*）．（Ⅰ）求证：数列{bn}为等差数列；（Ⅱ）设cn=an+b2n，求数列{cn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）由已知求出等比数列的通项公式，代入可得数列{bn}的通项公式，由等差数列的定义证明数列{bn}为等差数列；（Ⅱ）把数列{an}、{bn}的通项公式代入cn=an+b2n，分组后再由等差数列与等比数列的前n项和求数列{cn}的前n项和Tn．【解答】（Ⅰ）证明：∵数列{an}是首项，公比的等比数列，∴，则=．∴bn+1﹣bn=﹣（2n﹣1）=2．则数列{bn}是以2为公差的等差数列；（Ⅱ）解：cn=an+b2n=．∴数列{cn}的前n项和Tn=c1+c2+…+cn=[]+4（1+2+…+n）﹣n===．22.如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，，，E为棱AP的中点，且AD⊥CE.（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（Ⅱ）当直线PB与底面ABCD成30°角时，求二面角B-CE-P的余弦值.参考答案：解：(Ⅰ)取