广东省佛山市大沥中学2023年高二数学理上学期期末试题含解析

广东省佛山市大沥中学2023年高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知椭圆的两个焦点分别为，点在椭圆上且，则Δ的面积是（

）A．

B.

C.

D.1参考答案：D略2.不等式的解集为（）

A.(-∞,-1)(1,+∞)B.(-∞,-2)(2,+∞)C.(-1,1)D.(-2,2)参考答案：解析：注意到xR,x2=|x|2∴x2-|x|-2<0|x|2-|x|-2<0(|x|-2)(|x|+1)<0|x|-2<0|x|<2故应选D3.不等式|x2﹣2|＜2的解集是（）A．（﹣1，1） B．（﹣2，2） C．（﹣1，0）∪（0，1） D．（﹣2，0）∪（0，2）参考答案：D【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】直接利用绝对值不等式的解法，去掉绝对值后，解二次不等式即可．【解答】解：不等式|x2﹣2|＜2的解集等价于，不等式﹣2＜x2﹣2＜2的解集，即0＜x2＜4，解得x∈（﹣2，0）∪（0，2）．故选D．4.4名同学甲、乙、丙、丁按任意次序站成一排，甲或乙站在边上的概率为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出甲、乙、丙、丁四人并排站成一排的事件种数，然后求出甲和乙站在中间的情况，从而求出甲或乙站在边上的情况，最后利用古典概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：甲、乙、丙、丁四人并排站成一排一共有A44=24种甲和乙站在中间的情况有A22?A22=4种∴甲或乙站在边上的情况有20种甲或乙站在边上的概率为=，故选：B．【点评】本题求的是概率实际上本题考查的是排列问题，把排列问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题．5.已知，则是的（）条件A、充分不必要B、必要不充分C、既不充分也不必要D、充要参考答案：D6.曲线在点A（0,1）处的切线斜率为（

）

A.1

B.2

C.

D.参考答案：A略7.抛物线焦点坐标是（

）

A．(，0) B．(，0) C．(0,) D．(0,)参考答案：C8.一个正方体的所有顶点都在同一球面上,若球的体积是,则正方体的表面积是(

)

A．8

B．6

C．4

D．3参考答案：A略9.已知：平面α⊥平面β，α∩β=l，在l上取线段AB=4，AC、BD分别在平面α和平面β内，且AC⊥AB，DB⊥AB，AC=3，BD=12，则CD的长度（）A．13 B． C．12 D．15参考答案：A【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】如图所示，连接BC．由DB⊥AB，平面α⊥平面β，α∩β=l=AB，可得BD⊥平面α，BD⊥BC，又AC⊥AB，利用勾股定理即可得出．【解答】解：如图所示，连接BC．∵DB⊥AB，平面α⊥平面β，α∩β=l=AB，∴BD⊥平面α，BC?平面α，∴BD⊥BC，又AC⊥AB，∴CD2=BD2+BC2=BD2+AC2+BC2=122+32+42=132，∴CD=13，故选：A．10.已知下表所示数据的回归直线方程为，则实数a的值为（）x23456y3711a21A．16 B．18 C．20 D．22参考答案：B【考点】BK：线性回归方程．【分析】由表中数据计算样本中心点的横坐标，根据回归直线经过样本中心点求出的值，从而求出a的值．【解答】解：由表中数据知，样本中心点的横坐标为：=×（2+3+4+5+6）=4，由回归直线经过样本中心点，得=4×4﹣4=12，即=×（3+7+11+a+21）=12，解得a=18．故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.

参考答案：1512.已知双曲线的渐近线方程为，抛物线C：的焦点F与双曲线E的右焦点重合，过F的直线交抛物线C于M，N两点，O为坐标原点，若向量与的夹角为120°，则的面积为_____.参考答案：【分析】根据双曲线的几何性质，求得抛物线的方程为，设直线的斜率为，则直线的方程为，代入抛物线的方程，由根与系数的关系，求得，设，根据向量的数量积的运算，求得，即可求解的面积．【详解】由题意，双曲线，可得双曲线的焦点在轴上，且，又由渐近线方程为，所以，解得，即，所以双曲线的右焦点，又因为抛物线：的焦点与双曲线的右焦点重合，即，解得，所以抛物线的方程为，设直线的斜率为，则直线的方程为，代入抛物线的方程消去，可得，设，由根与系数的关系，求得，设，则，又因为，则，解得，所以的面积为．【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中熟练应用双曲线的几何性质求得抛物线的方程，再根据直线抛物线的位置关系，利用根与系数的关系，利用向量的数量积求得的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．13.函数的单调递增区间是

参考答案：略14.如果函数没有零点（即与x轴没有交点），则实数a的取值范围是____________________。参考答案：略15.若命题：“?x∈R，ax2﹣ax﹣1≤0”是真命题，则实数a的取值范围是

．参考答案：[﹣4，0]【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据全称命题的性质及一元二次不等式的性质，分类进行求解即可．【解答】解：当a=0时，﹣1≤0成立；当a≠0时，则?﹣4≤a＜0综上：实数a的取值范围是[﹣4，0]故答案为：[﹣4，0]．【点评】本题主要考查命题的真假应用，结合一元二次不等式的解法是解决本题的关键，同时考查了分类讨论思想，属于基础题．16.二维空间中圆的一维测度（周长），二维测度（面积），观察发现；三维空间中球的二维测度（表面积），三维测度（体积），观察发现.已知四维空间中“超球”的三维测度，猜想其四维测度________.参考答案：17.双曲线y2﹣2x2=8的渐近线方程为

．参考答案：

【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，将双曲线的方程变形为标准方程，分析可得其焦点位置以及a、b的值，利用双曲线的渐近线方程计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：y2﹣2x2=8，变形可得﹣=1，则其焦点在y轴上，且a==2，b==2，则其渐近线方程为，故其答案为：．【点评】本题考查双曲线的几何性质，需要先将双曲线的方程变形为标准方程．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知命题：方程的图象是焦点在轴上的双曲线；命题：不等式在上恒成立；又为真，为真，求实数的取值范围.参考答案：解：是焦点在轴上的双曲线，ks5u7分9分10分略19.已知，复数.（1）若z为纯虚数，求a的值；（2）在复平面内，若对应的点位于第二象限，求a的取值范围.参考答案：（1）（2）【分析】（1）先利用复数的除法得到，根据为纯虚数可得.（2）先求出，根据其对应的点在第二象限可得横坐标、纵坐标满足的不等式，从而得到的取值范围.【详解】解：（1）因为为纯虚数，所以，且，则（2）由（1）知，，则点位于第二象限，所以，得.所以的取值范围是.【点睛】本题考查复数的除法、复数的概念及复数的几何意义，属于基础题.20.已知f（x）=ax2（a∈R），g（x）=2lnx．（1）讨论函数F（x）=f（x）﹣g（x）的单调性；（2）若方程f（x）=g（x）在区间[，e]上有两个不等解，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系．【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数F′（x），在函数的定义域内解不等式F′（x）＞0和F′（x）＜0，求出单调区间．（2）方程f（x）=g（x）在区间[，e]上有两个不等解等价于a=在[，e]上有两个不等解，令h（x）=，利用导数研究其单调性，从而得出它的最小值，即可得到a的取值范围．【解答】解：（1）F（x）=ax2﹣2lnx

（x＞0）所以F′（x）=（x＞0）所以当a＞0时，函数在（0，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数，a≤0时，函数在（0，+∞）上是减函数．（2）方程f（x）=g（x）在区间[，e]上有两个不等解，等价于a=在[，e]上有两个不等解令h（x）=则h′（x）=故函数h（x）在（，）上是增函数，在（，e）上是减函数．所以h（x）max=h（）=又因为h（e）=＜h（2）==h（）

故

h（x）min=h（e）=，所以≤a＜．即a的取值范围：≤a＜．21.从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图．试利用频率分布直方图求：（1）这50名学生成绩的众数与中位数．

（2）这50名学生的平均成绩．（答案精确到0.1）参考答案：（1）由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数．在直方图中高度最高的小长方形框的中间值的横坐标即为所求，所以由频率分布直方图得众数应为75．由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等．因此在频率分布直方图中将频率分布直方图中所有小矩形的面积一分为二的直线所对应的成绩即为所求．∵0.004×10+0.006×10+0.02×10=0.04+0.06+0.2=0.3，∴前三个小矩形面积的和为0.3．而第四个小矩形面积为0.03×10=0.3，0.3+0.3＞0.5，∴中位数应位于第四个小矩形内．设其底边为x，高为0.03，∴令0.03x=0.2得x≈6.7，故中位数约为70+6.7=76.7．（2）样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的平均值，取每个小矩形底边的中点值乘以每个小矩形的面积即可．∴平均成绩为45×（0.004×10）+55×（0.006×10）+65×（0.02×10）+75×（0.03×10）+85×（0.021×10）+95×（0.016×10）≈73.7考点：众数、中位数、平均数；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（1）由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数．在直方图中高度最高的小长方形框的中间值的横坐标即为所求；由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等．因此在频率分布直方图中将频率分布直方图中所有小矩形的面积一分为二的直线所对应的成绩即为所求．（2）样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的平均值，取每个小矩形底边的中点值乘以每个小矩形的面积即可．解答：解：（1）由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数．在直方图中高度最高的小长方形框的中间值的横坐标即为所求，所以由频率分布直方图得众数应为75．由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等．因此在频率分布直方图中将频率分布直方图中所有小矩形的面积一分为二的直线所对应的成绩即为所求．∵0.004×10+0.006×10+0.02×10=0.04+0.06+0.2=0.3，∴前三个小矩形面积的和为0.3．而第四个小矩形面积为0.03×10=0.3，0.3+0.3＞0.5，∴中位数应位于第四个小矩形内．设其底边为x，高为0.03，∴令0.03x=0.2得x≈6.7，故中位数约为70+6.7=76.7．（2）样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的平均值，取每个小矩形底边的中点值乘以每个小矩形的面积即可．∴平均成绩为45×（0.004×10）+55×（0.006×10）+65×（0.02×10）+75×（0.03×10）+85×（0.021×10）+95×（0.016×10）≈73.7．点评：本题考查众数、中位数、平均成绩的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用22.（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱的底面正三角形的边长是2，D是的中点，直线与侧面所成的角是．（Ⅰ）求二面角的大小；（Ⅱ）求点到平面的距离．参考答案：解：解法一（1）设侧棱长为，取BC中点