广东省云浮市罗旁中学2022-2023学年高三数学理测试题含解析

广东省云浮市罗旁中学2022-2023学年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在正方体中，分别是的中点，则（

）A．

B．

C.平面

D．平面参考答案：D2.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的锲体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少？”已知1丈为10尺，该锲体的三视图如图所示，则该锲体的体积为（）A．10000立方尺 B．11000立方尺 C．12000立方尺 D．13000立方尺参考答案：A【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，利用所给数据，即可求出体积【解答】解：由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，作出几何体的直观图如图所示：沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱，则三棱柱的体积V1=3×2×2=6，四棱锥的体积V2=×1×3×2=2，由三视图可知两个四棱锥大小相等，∴V=V1+2V2=10立方丈=10000立方尺．故选：A．3.函数的最小正周期为,为了得到函数的图象,只需将函数的图象A.向左平移个单位长度

B.向右平移个单位长度

C.向左平移个单位长度

D.向右平移个单位长度

参考答案：C4.设等差数列{an}满足，，Sn是数列{an}的前n项和，则使得的最大的自然数n是（

）A．7 B．8 C．9 D．10参考答案：C，解得，所以，所以，所以，则最大的自然数是9.故选C。

5.已知两点、，且是与的等差中项，则动点的轨迹方程是(

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C6.已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P-ABCD外接球的表面积是（

）A.20π B. C.25π D.22π参考答案：B由三视图得，几何体是一个四棱锥A-BCDE,底面ABCD是矩形，侧面ABE⊥底面BCDE.如图所示，矩形ABCD中心为M,球心为O,F为BE中点，OG⊥AF.设OM=x,由题得在直角△OME中，，又MF=OG=1,AF=,，解（1）（2）得故选B.点睛：本题的难点在于作图找到关于R的方程，本题条件复杂，要通过两个三角形得到关于R的两个方程、（2），再解方程得到R的值.7.如图，为了测量某湿地A，B两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点C，D，E．从D点测得，从C点测得，，从E点测得.若测得，（单位:百米），则A，B两点的距离为(

)A. B. C.3 D.参考答案：C【分析】根据题意，在△ADC中，分析角边关系可得AC＝DC＝2，在△BCE中，由正弦定理可得BC的值，据此在△ABC中，利用余弦定理分析可得答案．【详解】根据题意，在△ADC中，∠ACD＝45°，∠ADC＝67.5°，DC＝2，则∠DAC＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，则AC＝DC＝2，在△BCE中，∠BCE＝75°，∠BEC＝60°，CE，则∠EBC＝180°﹣75°﹣60°＝45°，则有，变形可得BC，在△ABC中，AC＝2，BC，∠ACB＝180°﹣∠ACD﹣∠BCE＝60°，则AB2＝AC2+BC2﹣2AC?BC?cos∠ACB＝9，则AB＝3；故选：C．【点睛】本题考查三角形中的几何计算，涉及正弦、余弦定理的应用，属于基础题．在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.8.设定义在R上的函数是最小正周期为的偶函数，的导函数，当.则方程上的根的个数为A.2 B.5 C.8 D.4参考答案：D略9.已知集合，则=（

）

A．

B．

C． D．参考答案：答案：B10.设f(x)是一个三次函数，f′(x)为其导函数，如图所示的是y＝x·f′(x)的图像的一部分，则f(x)的极大值与极小值分别是()A．f(1)与f(－1)

B．f(－1)与f(1)

C．f(2)与f(－2)

D．f(－2)与f(2)

参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（5分）（2010秋?东台市期末）若方程表示椭圆，则k的取值范围是．参考答案：（1，5）∪（5，9）考点：椭圆的定义．专题：计算题．分析：根据方程表示椭圆得到两个代数式的分母都大于0，且要两个分母不相等，解不等式组，得到k的取值范围．解答：解：∵方程表示椭圆，∴9﹣k＞0，k﹣1＞0，9﹣k≠k﹣1∴k∈（1，5）∪（5，9）故答案为：（1，5）∪（5，9）．点评：本题考查椭圆的定义，解题的关键是不要忽略调两个分母不相等的情况，即椭圆不是圆，把构成圆的情况去掉．12.如图，正三棱柱的底面边长为，体积为，则直线与底面所成的角的大小为

（结果用反三角函数值表示）.参考答案：13.若方程+=1表示双曲线，则实数k的取值范围是．参考答案：（﹣2，2）∪（3，+∞）考点： 双曲线的标准方程．专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．分析： 由已知得（|k|﹣2）（3﹣k）＜0，由此能求出实数k的取值范围．解答： 解：∵程+=1表示双曲线，∴（|k|﹣2）（3﹣k）＜0，解得k＞3或﹣2＜k＜2，∴实数k的取值范围是（﹣2，2）∪（3，+∞）．故答案为：（﹣2，2）∪（3，+∞）．点评： 本题考查满足条件的实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．14.在等比数列中，已知，则_______.参考答案：15.是定义在R上的以3为周期的偶函数，且，则方程在区间（0，6）内解的个数的最小值是

参考答案：4

16.有这样一首诗：“有个学生资性好，一部《孟子》三日了，每日添增一倍多，问君每日读多少?”(注：《孟子》全书共34685字，“一倍多”指一倍)，由此诗知该君第一日读的字数为

．

参考答案：495517.已知点O在二面角的棱上，点P在内，且。若对于内异于O的任意一点Q，都有，则二面角的大小是__________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.函数f（x）=是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（）=．（1）确定函数f（x）的解析式；（2）用定义证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数；（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．参考答案：【分析】（1）根据函数的奇偶性得到关于a，b的方程组，求出a，b的值，从而求出函数的解析式即可；（2）根据函数单调性的定义证明即可；（3）根据函数的单调性，得到关于t的不等式，解出即可．【解答】解：（1）由题意得，由此可解得，∴．（2）证明：设﹣1＜x1＜x2＜1，则有，∵﹣1＜x1＜x2＜1，∴x1﹣x2＜0，，，1﹣x1x2＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x）在（﹣1，1）上是增函数．（3）f（t﹣1）+f（t）＜0，∴f（t﹣1）＜﹣f（t），即f（t﹣1）＜f（﹣t），∵f（x）在（﹣1，1）上是增函数，∴﹣1＜t﹣1＜﹣t＜1，解之得．【点评】本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查单调性的定义以及其应用，是一道中档题．19.某大型公益活动从一所名牌大学的四个学院中选出了名学生作为志愿者，参加相关的活动事宜．学生来源人数如下表：学院外语学院生命科学学院化工学院艺术学院人数（Ⅰ）若从这名学生中随机选出两名，求两名学生来自同一学院的概率；（Ⅱ）现要从这名学生中随机选出两名学生向观众宣讲此次公益活动的主题．设其中来自外语学院的人数为，令，求随机变量的分布列及数学期望.参考答案：解:(Ⅰ)设“两名学生来自同一学院”为事件，则即两名学生来自同一学院的概率为．……………………4分(Ⅱ)的可能取值是，对应的可能的取值为，，,

,

,………10分所以的分布列为

…………………11分所以.……………12分

略20.（本小题满分12分）某家具厂有方木料90m3，五合板600m2，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料0.1m3，五合板2m2，生产每个书橱需要方木料0.2m3，五合板1m2，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元.如果只安排生产书桌，可获利润多少？如果只安排生产书橱，可获利润多少？怎样安排生产可使得利润最大？参考答案：数据分析列表

书桌书橱资源限制木料（m3）0．10．290五合板（m2）21600利润（元/张）80120

计划生产（张）xy

设生产书桌x张，书橱y张，利润z元，则约束条件为………………4分目标函数z=80x+120y作出上可行域：作出一组平行直线2x+3y=t,此直线经过点A（100，400）时，即合理安排生产，生产书桌100张，书橱400张，有最大利润为zmax=80×100+400×120=56000(元)---……8分若只生产书桌，得0<x≤300，即最多生产300张书桌，利润为z=80×300=24000（元）

10分若只生产书橱，得0<y≤450，即最多生产450张书橱，利润为z=120×450=54000（元）

答：略------………………12分21.(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆C的参数方程．以O为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、P，与直线的交点为Q，求线段PQ的长．参考答案：（1）；（2）【知识点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．N3解析：（1）圆C的普通方程为，又所以圆C的极坐标方程为

………5分（2）设，则由

解得

………7分设，则由解得………9分所以

………10分【思路点拨】（I）利用cos2φ+sin2φ=1，即可把圆C的参数方程化为直角坐标方程．（II）设为点P的极坐标，由，联立即可解得．设的极坐标，同理可解得．利用|即可得出．22.（本小题满分14分）如图，椭圆的离心率为，其左顶点在圆上.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）直线与椭圆的另一个交点为，与圆的另一个

交点为.（i）当时，求直线的斜率；（ii）是否存在直线，使得?

若存在，求出直线的斜率；若不存在，说明理由.参考答案：见解析【考点】圆锥曲线综合椭圆【试题解析】（Ⅰ）因为椭圆的左顶点在圆上，所以.

又离心率为，所以，所以,

所以,

所以的方程为.

（Ⅱ）（i）法一：设点，显然直线存在斜率，设直线的方程为， 与椭圆方程联立得,化简得到，

因为为上面方程的一个根，所以，所以由，

代入得到，解得,

所以直线的斜率为.

（ii）因为圆心到直线的距离为，

所以.

因为，