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广东省云浮市惠能中学高二数学理月考试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.右图1是一个水平摆放的小正方体木块,图2、图3是由这样的小正方体木块叠放而成,按照这样的规律继续逐个叠放下去,那么在第七个叠放的图形中小正方体木块数应是()A.25
B.66
C.91
D.120参考答案:C2.若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点,且∠POQ=120°(其中O为原点),则k的值为(
)A. B. C. D.参考答案:A【考点】直线与圆的位置关系.【分析】直线过定点,直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点,且∠POQ=120°(其中O为原点),可以发现∠QOx的大小,求得结果.【解答】解:如图,直线过定点(0,1),∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°,?∠1=120°,∠2=60°,∴k=±.故选A.【点评】本题考查过定点的直线系问题,以及直线和圆的位置关系,是基础题.3.推理“①矩形是平行四边形;②三角形不是平行四边形;③三角形不是矩形”中的小前提是(
)A.①
B.②
C.③
D.①和②参考答案:B
4.若函数f(x)=2x2-lnx在其定义域的一个子区间(k-1,k+1)上不是单调函数,则实数k的取值范围是(
)A.
(,+¥)
B.(-¥,)
C.
(,)
D.
[1,)参考答案:D5.在100个产品中,一等品20个,二等品30个,三等品50个,用分层抽样的方法抽取一个容量20的样本,则二等品中A被抽取到的概率为()A.
B.
C.
D.不确定
参考答案:C略6.已知集合,则集合A∩B的真子集的个数是(
)A.3 B.4 C.7 D.8参考答案:A【分析】根据题意由A的意义,再结合交集的定义可得集合A∩B,分析可得答案.【详解】由题意知,A为奇数集,又由集合,则A∩B={1,3},共2个元素,其子集有22=4个,所以真子集有3个;故选A.【点睛】本题考查集合的子集与真子集,关键是正确理解集合A,求出集合A∩B.7.如果实数x,y满足等式(x﹣2)2+y2=3,那么的最大值是(
)A. B. C. D.参考答案:D【考点】简单线性规划.【专题】转化思想.【分析】表示圆上动点与原点O连线的斜率,画出满足等式(x﹣2)2+y2=3的图形,由数形结合,我们易求出的最大值.【解答】解:满足等式(x﹣2)2+y2=3的图形如图所示:表示圆上动点与原点O连线的斜率,由图可得动点与B重合时,此时OB与圆相切,取最大值,连接BC,在Rt△OBC中,BC=,OC=2易得∠BOC=60°此时=故选D【点评】本题考查的知识点是简单线性规划,分析出表示圆上动点与原点O连线的斜率,是解答本题的关键.8.如图是选修1-2第二章“推理与证明”的知识结构图(部分),如果要加入知识点“分析法”,则应该放在图A.“①”处
B.“②”处
C.“③”处
D.“④”处
参考答案:C分析法是直接证明的一种方法故“分析法”,则应该放在“直接证明”的下位.故选C.
9.若直线和⊙O∶没有交点,则过的直线与椭圆的交点个数()A.至多一个
B.2个
C.1个
D.0个参考答案:B10.已知椭圆的左、右焦点为,离心率为,过的直线交椭圆于两点.若△的周长为,则椭圆的方程为() A.
B.
C.
D.参考答案:A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知复数z满足,则等于______.参考答案:【分析】先求出复数z,再求|z|.【详解】由题得.故答案为:【点睛】(1)本题主要考查复数的计算和复数的模的计算,意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.(2)复数的模.12.下列命题中真命题为
.(1)命题“?x>0,x2﹣x≤0”的否定是“?x≤0,x2﹣x>0”(2)在三角形ABC中,A>B,则sinA>sinB.(3)已知数列{an},则“an,an+1,an+2成等比数列”是“=an?an+2”的充要条件(4)已知函数f(x)=lgx+,则函数f(x)的最小值为2.参考答案:(2)【考点】命题的真假判断与应用.【专题】简易逻辑.【分析】(1),写出命题“?x>0,x2﹣x≤0”的否定,可判断(1);(2),在三角形ABC中,利用大角对大边及正弦定理可判断(2);(3),利用充分必要条件的概念可分析判断(3);(4),f(x)=lgx+,分x>1与0<x<1两种情况讨论,利用对数函数的单调性质可判断(4).【解答】解:对于(1),命题“?x>0,x2﹣x≤0”的否定是“?x>0,x2﹣x>0”,故(1)错误;对于(2),在三角形ABC中,A>B?a>b?sinA>sinB,故(2)正确;对于(3),数列{an}中,若an,an+1,an+2成等比数列,则=an?an+2,即充分性成立;反之,若=an?an+2,则数列{an}不一定是等比数列,如an=0,满足=an?an+2,但该数列不是等比数列,即必要性不成立,故(3)错误;对于(4),函数f(x)=lgx+,则当x>1时,函数f(x)的最小值为2,当0<x<1时,f(x)=lgx+<0,故(4)错误.综上所述,只有(2)正确,故答案为:(2).【点评】本题考查命题的真假判断与应用,综合考查命题的否定、正弦定理的应用及等比数列的性质、充分必要条件的概念及应用,考查对数函数的性质,属于中档题.13.一名同学想要报考某大学,他必须从该校的7个不同专业中选出5个,并按第一志愿、第二志愿、…第五志愿的顺序填写志愿表.若A专业不能作为第一、第二志愿,则他共有种不同的填法(用数字作答).参考答案:1800【考点】排列、组合的实际应用.【分析】根据题意,分2步进行分析:①、在除A之外的6个专业中,任选2个,作为第一、二志愿,②、第一二志愿填好后,在剩下的5个专业中任选3个,作为第三四五志愿,分别求出每一步的情况数目,由分步计数原理计算可得答案.【解答】解:根据题意,分2步进行分析:①、由于A专业不能作为第一、第二志愿,需要在除A之外的6个专业中,任选2个,作为第一、二志愿,有A62=30种填法,②、第一二志愿填好后,在剩下的5个专业中任选3个,作为第三四五志愿,有A53=60种填法,则该学生有30×60=1800种不同的填法;故答案为:1800.14.把正偶数数列{2n}的各项从小到大依次排成如图的三角形数阵,记M(r,t)表示该数阵中第r行的第t个数,则数阵中的数2012对应于.参考答案:第45行的第16个数【考点】F1:归纳推理.【分析】由图可得数阵中的前n行共有1+2+3+…+n=项,进而可得偶数2012对应的位置.【解答】解:由数阵的排列规律知,数阵中的前n行共有1+2+3+…+n=项,当n=44时,共有990项,又数阵中的偶数2012是数列{an}的第1006项,且+16=1006,因此2012是数阵中第45行的第16个数,故答案为第45行的第16个数.15.执行如图所示的程序框图,若输入x=4,则输出y的值为.参考答案:﹣【考点】EF:程序框图.【分析】根据程序框图依次计算框图运行的x、y值,直到满足条件|y﹣x|<1终止运行,输出y值.【解答】解:由程序框图得第一次运行y==1,第二次运行x=1,y=×1﹣1=﹣,第三次运行x=﹣,y=×(﹣)﹣1=﹣,此时|y﹣x|=,满足条件|y﹣x|<1终止运行,输出﹣.故答案是﹣.16.已知P(-2,-2),Q(0,-1),取一点R(2,m),使|PR|+|RQ|最小,则m=________.参考答案:-17.在平面直角坐标系xOy中,圆O:x2+y2=r2(r>0)与圆M:(x﹣3)2+(y+4)2=4相交,则r的取值范围是.参考答案:3<r<7【考点】直线与圆的位置关系.【分析】由题意,圆心距为5,圆O:x2+y2=r2(r>0)与圆M:(x﹣3)2+(y+4)2=4相交,可得|r﹣2|<5<r+2,即可求出r的取值范围.【解答】解:由题意,圆心距为5,∴|r﹣2|<5<r+2,∴3<r<7.故答案为3<r<7.三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF=,EF交于BD于点H,将△DEF沿EF折到△D′EF的位置,OD′=.(Ⅰ)证明:D′H⊥平面ABCD;(Ⅱ)求二面角B﹣D′A﹣C的正弦值.参考答案:【考点】MT:二面角的平面角及求法.【分析】(Ⅰ)由底面ABCD为菱形,可得AD=CD,结合AE=CF可得EF∥AC,再由ABCD是菱形,得AC⊥BD,进一步得到EF⊥BD,由EF⊥DH,可得EF⊥D′H,然后求解直角三角形得D′H⊥OH,再由线面垂直的判定得D′H⊥平面ABCD;(Ⅱ)以H为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系,由已知求得所用点的坐标,得到的坐标,分别求出平面ABD′与平面AD′C的一个法向量,设二面角二面角B﹣D′A﹣C的平面角为θ,求出|cosθ|.则二面角B﹣D′A﹣C的正弦值可求.【解答】(Ⅰ)证明:∵ABCD是菱形,∴AD=DC,又AE=CF=,∴,则EF∥AC,又由ABCD是菱形,得AC⊥BD,则EF⊥BD,∴EF⊥DH,则EF⊥D′H,∵AC=6,∴AO=3,又AB=5,AO⊥OB,∴OB=4,∴OH==1,则DH=D′H=3,∴|OD′|2=|OH|2+|D′H|2,则D′H⊥OH,又OH∩EF=H,∴D′H⊥平面ABCD;(Ⅱ)解:以H为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系,∵AB=5,AC=6,∴B(5,0,0),C(1,3,0),D′(0,0,3),A(1,﹣3,0),,,设平面ABD′的一个法向量为,由,得,取x=3,得y=﹣4,z=5.∴.同理可求得平面AD′C的一个法向量,设二面角二面角B﹣D′A﹣C的平面角为θ,则|cosθ|=.∴二面角B﹣D′A﹣C的正弦值为sinθ=.19.(本小题满分12分)已知椭圆的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切,直线与椭圆C相交于A、B两点.(1)求椭圆C的方程;(2)求的取值范围;参考答案:(Ⅰ)由题意知,∴,即
又,∴故椭圆的方程为……………4分(Ⅱ)解:由得:…………6分
设A(x1,y1),B(x2,y2),则………………8分∴……10分
∵∴,
∴
∴的取值范围是.…………12分20.(本小题满分14分)如图,某地质队自水平地面A,B,C三处垂直向地下钻探,自A点向下钻到处发现矿藏,再继续下钻到处后下面已无矿,从而得到在A处正下方的矿层厚度为.同样可得在B,C处正下方的矿层厚度分别为,,且.过,的中点,且与直线平行的平面截多面体所得的截面为该多面体的一个中截面,其面积记为.(Ⅰ)证明:中截面是梯形;(Ⅱ)在△ABC中,记,BC边上的高为,面积为.在估测三角形区域内正下方的矿藏储量(即多面体的体积)时,可用近似公式来估算.已知,试判断与V的大小关系,并加以证明.参考答案:(Ⅰ)依题意平面,平面,平面,所以A1A2∥B1B2∥C1C2.又,,,且.因此四边形、均是梯形.由∥平面,平面,且平面平面,可得AA2∥ME,即A1A2∥DE.同理可证A1A2∥FG,所以DE∥FG.
又、分别为、的中点,则、、、分别为、、、的中点,即、分别为梯形、的中位线.因此,,而,故,所以中截面是梯形.
(Ⅱ).证明如下:由平面,平面,可得.而EM∥A1A2,所以,同理可得.由是△的中位线,可得即为梯形的高,
因此,即.又,所以.于是.由,得,,故.
21.已知函数f(x)=log2(x+t),且f(0),f(1),f(3)成等差数列,点P是函数y=f(x)图象上任意一点,点P关于原点的对称点Q的轨迹是函数y=g(x)的图象.(1)解关于x的不等式2f(x)+g(x)≥0;(2)当x∈[0,1)时,总有2f(x)+g(x)≥m恒成立,求m的取值范围.参考答案:【考点】8I:数列与函数的综合.【分析】根据f(0),f(1),f(3)成等差数列,可得2log2(1+t)=log2t+log2(3+t),从而有f(x)=log2(x+1),根据P、Q关于原点对称,可得g(x)=﹣log2(1﹣x)(1)2f(x)+g(x)≥0等价于,由此可得不等式的解集;(2)y=2f(x)+g(x)=2log2(1+x)﹣log2(1﹣x),当x∈[0,1)时2f(x)+g(x)≥m恒成立,即在当x∈[0,1)时恒成立,即,求出右边函数的最小值,即可求得m的取值范围.【解答】解:由f(0),f(1),f(3)成等差数列,得2log2(1+t)=log2t+log2(3+t),即(t+1)2=t(t+3)(t>0),∴t=1∴f(x)=log2(x+1)由题意知:P、Q关于原点对称,
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