广东省中山市南头高级中学2023年高三数学文期末试卷含解析

广东省中山市南头高级中学2023年高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知i是虚数单位，复数的虚部为（）A、－2B、2C、－2iD、2i参考答案：B

，所以虚部为2。2.已知实数x，y满足，若z=3x﹣y的最大值为3，则实数k的值为（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3参考答案：B【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到a的值．【解答】解：不等式组，对应的平面区域如图：由z=3x﹣y得y=3x﹣z，平移直线y=3x﹣z，则由图象可知当直线y=3x﹣z经过点A时直线y=3x﹣z的截距最小，此时z最大，为3x﹣y=3．，解得，即A（1，0），此时点A在x=k，解得k=1，故选：B．3.抛物线y2=8x的焦点坐标是(

)A．（4，0） B．（2，0） C．（0，2） D．（0，4）参考答案：B【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线y2=8x可得：p=4．即可得出焦点坐标．【解答】解：由抛物线y2=8x可得：p=4．∴=2，∴抛物线y2=8x的焦点坐标是（2，0）．故选：B．【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.已知奇函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调递增函数，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x的取值范围是（）A．（﹣∞，） B．[，） C．（，） D．[，）参考答案：A考点： 奇偶性与单调性的综合．专题： 计算题；函数的性质及应用．分析： 由奇函数的性质可知，f（x）在区间（﹣∞，+∞）上是单调递增函数，从而可求得f（2x﹣1）＜f（）的x的取值范围．解答： 解：令x1＜x2＜0，则﹣x1＞﹣x2＞0，∵奇函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调递增函数，∴f（﹣x1）＞f（﹣x2）＞f（0）=0，∵f（x）为奇函数，∴﹣f（x1）＞﹣f（x2）＞0，∴f（x1）＜f（x2）＜0，∴f（x）在区间（﹣∞，+∞）上是单调递增函数；∵f（2x﹣1）＜f（），∴2x﹣1＜，∴x＜．∴满足f（2x﹣1）＜f（）的x的取值范围是（﹣∞，）．故选A．点评： 本题考查函数奇偶性与单调性的综合，分析得到f（x）在区间（﹣∞，+∞）上是单调递增函数是关键，属于中档题5.已知函数，为了得到函数的图象，只需要将的图象(

)A.向右平移个单位长度

B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度

D.向左平移个单位长度参考答案：【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．C4D

解析：由于函数=sin2x，函数g（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）=sin2（x+），故将y=f（x）的图象向左平移个单位长度，即可得到g（x）的图象，故选D．【思路点拨】利用二倍角公式、两角和差的正弦公式化简函数f（x）和g（x）的解析式，再根据函数y=Asin（ωx+?）的图象变换规律，得出结论．6.在一个数列中，如果对任意,都有为常数，那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积.已知数列是等积数列，且，公积为，则A．

B．

C．

D．参考答案：B7.cos70°sin50°﹣cos200°sin40°的值为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】GQ：两角和与差的正弦函数．【分析】由诱导公式，两角和的正弦函数公式化简所求，利用特殊角的三角函数值即可计算得解．【解答】解：cos70°sin50°﹣cos200°sin40°=cos70°sin50°+cos20°sin40°=cos70°sin50°+sin70°cos50°=sin（50°+70°）=sin120°=．故选：D．8.已知平面向量满足，的夹角为60°，则“m=1”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：C略9.tan705°＝A.

B.

C.

D.参考答案：B10.已知函数，则的图象大致为（

）参考答案：B考点：1、函数图象；2、对数函数的性质.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若直线过曲线的对称中心，则的最小值为

参考答案：略12..动点在区域上运动，则的范围

。参考答案：略13.（2014?嘉定区三模）若实数x，y满足如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣1，则实数m=．参考答案：考点： 简单线性规划．专题： 计算题．分析： 画出不等式组表示的平面区域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数m的方程组，消参后即可得到m的取值解答： 解：画出x，y满足的可行域如下图：可得直线y=2x﹣1与直线x+y=m的交点使目标函数z=x﹣y取得最小值，由可得，代入x﹣y=﹣1得∴m=5故答案为：5点评： 如果约束条件中含有参数，先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组），代入另一条直线方程，消去x，y后，即可求出参数的值．14.已知函数的两个零点分别为m、n（m＜n），则=．参考答案：【考点】定积分；函数零点的判定定理．【分析】先求出m，n，再利用几何意义求出定积分．【解答】解：∵函数的两个零点分别为m、n（m＜n），∴m=﹣1，n=1，∴===．故答案为．15.已知点是的重心，若则的最小值_____参考答案：16.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则这它们面积的比为1：4，类似的，在空间中，若两个正四面体（各棱长均相等的四面体）的棱长的比为1：2，则他们的体积的比为________________参考答案：1:817.如图所示，某城镇由6条东西方向的街道和6条南北方向的街道组成，其中有一个池塘，街道在此变成一个菱形的环池大道．现要从城镇的A处走到B处，使所走的路程最短，最多可以有

种不同的走法．参考答案：答案：35三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分7分）如图，平面，矩形的边长，，为的中点．若，求异面直线与所成的角的大小．

参考答案：（1）连，由，得，同理，，由勾股定理逆定理得，．由平面，得.由，，得平面．．取的中点，的中点，连、、、．，，的大小等于异面直线与所成的角或其补角的大小．由，，，得，，，．异面直线与所成的角的大小为．19.在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1B1B是边长为2的正方形，点C在平面AA1B1B上的射影H恰好为A1B的中点，且CH=，设D为中点，（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值．参考答案：解：（Ⅰ）因为且正方形中，所以，取中点，则且，又为的中点，所以，得平行四边形HEDC，因此，又，得，，所以平面

………………6分（Ⅱ）取中点，连，作于因为，，所以平面平面，由（Ⅰ）得平面，所以平面，又，所以，又，得

平面，所以与平面所成角为

……………10分在中，，在中，由于，…………14分另解：（向量法）（Ⅰ）如图，以H为原点，建立空间直角坐标系，则C（0，0，），C1（），A1（），B1（0，，0），所以，，因此平面；………………6分（Ⅱ）设平面的法向量，由于则，得，所以

……10分又，所以……14分略20.已知数列满足对任意的N*，都有，且.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．

参考答案：（1）由于————①则有————②，②－①得由于，所以————③同样有()————④③－④，得，所以由于a2－a1＝1，即当时都有所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，故．（2）由（2）知，则所以∵∴数列单调递增，所以要使不等式对任意正整数恒成立，只要∵，∴，即所以，实数的取值范围是．略21.已知不等式的解集为{x|x<1或x>b}.(1)求a,b;(2)解不等式bc<0.参考答案：解:(1)因为不等式的解集为{x|x<1或x>b},所以x=1与x=b是方程3x+2=0的两个实数根,且b>1.由根与系数的关系,得

解得

所以

(2)原不等式bc<0,可化为2c<0,即(x-2)(x-c)<0.①当c>2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|2<x<c};②当c<2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|c<x<2};③当c=2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为.综上所述:当c>2时,不等式bc<0的解集为{x|2<x<c};当c<2时,不等式bc<0的解集为{x|c<x<2};当c=2时,不等式bc<0的解集为.22.椭圆+=1（a＞b＞0）在第一象限的部分与过点A（2，0）、B（0，1）的直线相切于点T，且椭圆的离心率e=．（Ⅰ）求椭圆的方程；（2）设F1，F2为椭圆的左，右焦点，M为线段AF2的中点，求证：∠ATM=∠AF1T．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）利用椭圆的标准及其性质、直线与椭圆相切?△=0，即可得出；（2）由（I）可得：T，利用斜率计算公式可得：==tan∠AF1T．由M为线段AF2的中点，可得M，又kTM=，利用到角公式可得tan∠ATM==，即可证明．解答： 解：（I）∵椭圆的离心率e=，∴，∴=，∴a2=b2+c2=4b2，椭圆+=1（a＞b＞0）化为x2+4y2=4b2．直线AB的方程为：，化为x+2y=2，联立，化为x2﹣2x+2﹣2b2=0，∵直线与椭圆相切，∴△=4﹣4（2﹣2b2）=0，解得