立体几何试题及答案

A.(3)与(A.(3)与(4)B.(1)D.(1)与(2)4.已知m、n为异面直线P,anP=1，则1A.与m、n都相交少一条相交C.与m、n都不相交中的一条相交D.立体几何试题一、选择题：1．下列命题中正确命题的个数是()⑴三点确定一个平面⑵若点P不在平面a内，A、B、C三点都在平面a内，则P、A、B、C四点不在同一平面内⑶两两相交的三条直线在同一平面内⑷两组对边分别相等的四边形是平行四边形A.0B.1C.2D.3答案：A.已知异面直线。和b所成的角为50°,P为空间一定点，则过点P且与a、b所成的角都是30°的直线条数有且仅有()TOC\o"1-5"\h\zA.1条B.2条C.3条D.4条答案：B.已知直线11平面a，直线mu平面P，下列四个命题中正确的是()(1)若a//P，则11m(2)若a1P，则1//m(3)若1//m，则a1P(4)若11m，则a〃P与(3)C.(2)与(4)答案：Bmu平面a,nu平面TOC\o"1-5"\h\z()B.与m、n中至D.至多与m、n答案：B5.设集合A=｛直线｝，B=｛平面｝，C=AUB,若aeA,beB,ceC,则下列命题中的真命题是()c//b]A.,>na1cB.a1bJa1b]｝na//cb1cJa//b]C.>na//cc//bJa//b]bna1cc1bJ答案：A6.已知a、b为异面直线，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，且AC=AD,BC=BD,则直线a、b所成的角为()A.90°B.60°C.45°30°答案：A.下列四个命题中正确命题的个数是()有四个相邻侧面互相垂直的棱柱是直棱柱各侧面都是正方形的四棱柱是正方体底面是正三角形,各侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥A.1个B.2个C.3个D.0个答案：D.设M=｛正四棱柱｝，N=｛长方体｝，P=｛直四棱柱｝，Q=｛正方体｝，则这些集合之间关系是()A.Q定MMN^PB.Q享M宰N室PC.QMNMMMPd.Q^N^M^P答案：B.正四棱锥P-ABCD中，高PO的长是底面长的1,4且它的体积等于3cm3,则棱AB与侧面PCD之间的距离是()A.2cmB.2cmC.1cm2D.--cm2答案：A10.纬度为a的纬圈上有A、B两点，弧在纬圈上，弧AB的长为兀Rcosa(R为球半径)，则A、B

两点间的球面距离为TOC\o"1-5"\h\z（）A.兀RB.m—a）RC.（2兀一a）Rd.（兀一2a）R答案：D11．长方体三边的和为14，对角线长为8，那么（）A.它的全面积是66B.它的全面积是132C.它的全面积不能确定D.这样的长方体不存在答案：D12.正四棱锥P-ABCD的所有棱长都相等，E为PC的中点，那么异面直线BE与PA所成角的余弦值等于（）沿对角线BD折成120。的二面角A—BD—C后，AC与BD的距离为3答案：-a4.P为120。的二面角a—a—P内一点，P到a、P的距离为10，则P到棱a的距离是答案：2033.如图：正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60。的二面角，则异面直线AD与BF答案：20332答案：答案：10答案：10A.D.答案：D.用一个过正四棱柱底面一边的平面去截正四棱柱，截面是（）A.正方形B.矩形C.菱形D.一般平行四边形答案：B二、填空题：.正方体ABCD一ABCD中，E、F、G分别为1111AB、BC、CC1的重点，则EF与BG所成角的余弦值为.已知三棱锥P—ABC中，三侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，三侧面与底面所成二面角的大小分别为a,p,y,则c2a+（c2p4sc2y=ss答案：1.若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是（只需写出一个可能的值）。15.二面角a-a—P内一点P到两个半平面所在平答案：116-111或14运面的距离分别为22和4,到棱a的距离为42，则这个二面角的大小为.三棱锥P—ABC的四个顶点在同一球面上，PA、PB、PC两两互相垂直，且这个三棱锥的三个侧答案：75。或165。四边形是边长为a的菱形，/BAD=60。，面的面积分别为2,23,6，则这个球的表面积是答案：18兀答案：答案：8三、解答题：.已知直线a，a，直线a±直线b,三、解答题：.已知直线a，a，直线a±直线b,baa，求证：b//a答案：略.如图：在四面体ABCD中，AB1平面BCD,BC=CD,/BCD=90。,ZADB=30。，E、f分别是AC、AD的中点。(1)求证：平面BEF1平面ABC；(2)求平面BEF和平面BCD所成的锐二面角。DiCiA1\BiAEB28BC求答案：(1)略；(2)arctan.如图所示：已知尸A1OO所在的平面，AB是。O的直径，C是。O上任意一点，过A作AE1PC于E,求证：AE1平面PBC。答案：略PC.已知正方体ABCD—\B1c1D1的棱长为a,求异面直线B1c和BD1间的距离。6答案：-a6.如图：正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a,E、F、G分别是AB、CC1、B1c的中点，求异面直线EG与A1F的距离。

.矩形ABCD中，AB=6,BC=23,沿对角线BD将KABD向上折起，使点A移至点P,且P在平面BCD上射影位O,且O在DC上，(1)求证：PD1PC；(2)求二面角P—DB—C的平面角的余弦值；(3)求直线CD与平面PBD所成角正弦值。答案：(1)略，(2)3,(3)-2-已知：空AB=BC=CD=DA=AC=BD=a,M、N分别为和AD的中点，设AM和CN所成的角为acosa的值。答案：.已知：正三棱锥S—ABC的底面边长为a，各侧面的顶角为30。，D为侧棱SC的重点，截面KDEF过D且平行于AB,当KDEF周长最小时，求截得的三棱锥S—DEF的侧面积。2+3答案：一^。28.在四面体A—BCD中,AB=CD=5,AC=BD=25,答案：

AD=BC=13,求该四面体的体积。则点则点H在B.直线AB上D.AABC内部答案：BSEBFSG_1EA―F―SC―2，立体几何基础B组题一、选择题：.在直二面角a—AB—P的棱AB上取一点P,过P分别在a、P两个平面内作与棱成45°的斜线PC、PD，那么/CPD的大小为（）A.45°B.60°C.120°D.60°或120°答案：D2.如果直线l、m与平面a、P、丫满足：l=Pn7,l//a,mua和m±y，那么必有（）A.aly且l±mB.aly且m//PC.m//P且11mD.a//P且aly答案：A.在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有TOC\o"1-5"\h\z（）A.1个B.2个C.3个D.4个答案：DEF.如图：在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长3为3的正方形，EF//AB,EF=-,EF与面AC的距DC离为2，则该多面体的体积为（）915A.-B.5C.6D.—22AB答案：D.如果一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角的大小关系是（）A.相等B.互补C.相等或互补D.大小关系不确定答案：D.已知球的体积为36兀，则该球的表面积为（）A.9兀B.12兀C.24兀D.36兀答案：D7.已知MN//a,MAua,且MMla,11NA1MN，若MN=2,MA=3,NA=4,1TOC\o"1-5"\h\z则MN等于（）A.15B.5C.13D.213答案：A.异面直线a、b成60°角，直线c1a，则直线b与c所成角的范围是（）A.[30°,90°]B.[60°,90°]C.[60°,120°]D.[30°,120°]答案：A.一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面（）A.至多只有一个是直角三角形B.至多只有两个是直角三角形C.可能都是直角三角形D.必然都是非直角三角形答案：C.如图：在斜三棱柱ABC—ARE的底面AABCTOC\o"1-5"\h\z中，B1C1/A二90°,且BC1AC，过C/作CH1底面ABC，A1垂足为H,（）A,直线AC上BCC,直线BC上A.如图：三棱锥S—ABC中则截面EFG把三棱锥分成的两部分的体积之比为（）A.1:9D.2:25B.1:7C.1:8PP12．正四面体内任意一点到各面的距离和为一个常量，这个常量是（）A.正四面体的一个棱长B.正四面体的一条斜高的长C.正四面体的高D.以上结论都不对答案：C13.球面上有三点A、B、C,每两点之间的球面距离都等于大圆周长的1，过三点的小圆周长为4兀，6则球面面积为（）A.16兀B.24兀C.32兀D.48兀答案：D二、填空题：①答案：①④⑤17.如图：平面a//平面0//平面y，且0在a、y之间。若a和0的距离是5,0和y的距离是3,之间。若a和0的距离是5,0和y的距离是3,外的两条不同直线，给出四个论断：直线l和a、0、分别交于A、B、C,AC=12,①直线l和a、0、分别交于A、B、C,AC=12,贝贝UAB=—,BC=m±a以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题是答案：②③④n①或①③④n②15.关于直角AOB在平面a内的射影有如下判断：①可能是。°的角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是18。°的角，其中正确判断的序号是（注：把你认为是正确判断的序号都填上）答案：①②③④⑤16.如图所示：五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l±面MNP的图形的序号是159答案：2或2的两条线段，A、C在a内，B、D在P内，点E、F分别在AB、cD上，且AE:EB=CF:FD=m:n，求证：EF//a24.在底面是直角梯形的四棱锥S—ABcD中，ZABC=90。，SA1面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=1,（如图），2（1）求四棱锥S-ABCD的体积；（2）求面SCD与面SAB所成二面角的正切值。12答案：（1）V(2)12答案：（1）V(2)22-S—ABCD23.已知平面a//平面p,ab、CD是夹在a、p间答案：（1）略，（2）arctan2218．已知三条直线两两异面，能与这三条直线都相交的直线有条。答案：无数19．一个三棱锥的三个侧面中有两个是等腰直角三角形，另一个是边长为1的正三角形，这样的三棱锥体积为（写出一个可能值）22答案：一或一或2412.正三棱锥两相邻侧面所成角为a,侧面与底面所成角为P，则2cosa+cos2P=答案：-1.正四面体的四个顶点都在表面积为36兀的一个球面上，则这个正四面体的高等于答案：4.如图所示：A1B1clD1是长方体的一个斜截面，其中AB=4,BC=3,CC1=12,AA1=5,则这个几何体的体积为三、解答题：.从二面角a-MN-P内一点A分别作AB1平面a于B,AC1平面P于仁已知AB=3cm,AC=1cm,/ABC=60。，求：（1）二面角a-MN-p的度数；（2）求点A到棱MN的距离。答案：（1）120。，（2）2321».如图：在棱长为a的正方体OABC-OABC中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE=BF,（1）求证：AF1CE；（2）当三棱锥B'-BEF的体积取得最大值时，求二面角B'-EF-B的大小。

A11CAEB.已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1,AB=1,AA1=2,点E为CC1中点，点F为BD1中点（如图），（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；（2）求点D1到面BDE的距离。A11CAEBD1A1BA1

TOC\o"1-5"\h\z226arcsm——，(2)3329.如图：三棱柱OAB—OAB，平面OBBQ］，11111平面OAB,/OOB=60。，ZAOB=90。，且123答案：（1）略，（2）23答案：（1）略，（2）—28.如图：在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，/ACB=90。，侧肺麦AA1=2,D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是AABD的重心6。（1）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求点A1到平面AED的距离。130.PD，矩形ABCD所在平面，连PB,PC,BD,求证：/PBD+ZBPC<90。，如图。AB

OB=OO1=2，OA=3,求:（1）二面角01-AB—O的大小；（2）异面直线A1B与A01所成角的大小。（上述结果用反三角函数值表示）1答案：（1）arctan7,（2）arccos-

.长方形纸片ABCD,AB=4,BC=7,在BC边上任取一点E,把纸片沿AE折成直二面角，问E点取何处时，使折起后两个端点B、D之间的距离最短？答案：当BE=4时，BD的最小值为37.如图：2CD内接于直角梯形A1A2A尸，已知沿NBCD三边把AABD、AABC、AACD翻123折上去，恰好使A1、A2、A3重合成A,(1)求证：AB±CD；(2)若AD=10,1AA=8，求二面角A—CD—B的大小。12答案：(1)略，17(2)arctan答案：(1)略，(2)arcsin—6.在三棱锥P—ABC中，PA、BC的长度分别为a、b,PA与BC两条异面直线间的距离为h，且PA与BC所成的角为0,求三棱锥P—ABC的体积。答案：1abhsin06.如图所示：四棱锥P—ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是面积为23的菱形，/ADC为菱形的锐角，M为PB的重点，求证：PA±CD；求二面角P—AB—D的度数；求证：平面CDM±平面PAB；求三棱锥C—PDM的体积。.如图：四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PD1平面ABCD,AD=PD,E、F分别为CD、PB的中点。(1)求证：EF±平面PAB；(2)设AB=2BC,求AC与平面AEF所成的角的大小。BDBDA答案：(1)略，(2)45。，(3)略，(4)1.如图所示：直三棱柱ABC—A1B1C1中,AC=BC=AA1=2,ZACB=90。，E为BB1中点，/ADE=90。，1(1)求证：CD±平面A1ABB1；(2)求二面角C—A1E—D的大小；(3)求三棱锥A1—CDE的体积。

答案：(1)略，(2)45°,(3)1AcuB.如图所示：已知在斜三棱柱ABC—AR1cl中，AC=BC,D为AB的中点，平面A1B1C1±平面ABB1Al，异面直线BC1与AB1互相垂直。(1)求证：AB11平面A1CD；⑵若CC1与平面ABB1A1的距离为1，。。二37，.「5，求三棱锥A「A。的体积。5答案：(1)略，(2)3

D.3x5答案：C.已知集合M=｛直线的倾斜角｝,集合N=｛两条异面直线所成的角｝，集合P=｛直线与平面所成的角｝,则下列结论中正确的个数是TOC\o"1-5"\h\z()兀(1)(mnn)np=(o,-](2)(MnN)uP=(0,兀]兀(3)(MnN)uP=(0,-](4)兀(mnn)np=(0,-)A.4个B.3个C.2个D.1个答案：D.已知圆锥的底面半径为R,高为3R,在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是()98A.2兀R2B,一兀R2C,一兀R243D.2兀R2答案：BCC5.一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为()A.3兀B.4兀C.33兀D.6兀答案：A6.如图：四棱锥P—ABCD的底面为正方形，PPD1平面ABCD,PD=AD=1,设点C到平面PABA<1<A<1<d<dB.d<d<112D.d<d<121立体几何基础C组题一、选择题：1．过空间任一点作与两条异面直线成60°的直线，最多可作的条数是()A.4B.3C.2D.1答案：A2.用一块长方形钢板制作一个容积为4m3的无盖长方体水箱，可用的长方形钢板有下列四种不同的规格(长x宽的尺寸如各选项所示，单位均为m)。若既要够用，又要所剩最小，则应选择钢板的规格是TOC\o"1-5"\h\z()A.2x5B.2x5.5C.2x6.1

的距离为d，点B到平面PAC的距离d，则有12()12DCC.d<1<d12AB答案：D7.平行六面体ABCD—A1B1C1D1的六个面都是菱形,则D,在面ACB,上的射影是AACB的()111A.重心B.外心C.内心口.垂心

答案：D8.设正三棱锥p—ABC的高为PO,M为PO的中点，过AM作与棱BC平行的平面，将三棱锥截为上、A.两部分）4则这两部分体积之比为能与这个正方体的12答案：D8.设正三棱锥p—ABC的高为PO,M为PO的中点，过AM作与棱BC平行的平面，将三棱锥截为上、A.两部分）4则这两部分体积之比为能与这个正方体的12条棱所成的角都相等的不同平面的个数为个答案：814.在平面几何里，有勾股定理：“设AABC的两边D.2541721B.—254C.21AB、AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2。”9．答案：C一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都32相切，已知这个球的体积是y兀，那么该三棱柱的拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得出的正确结论是：“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则”答案：S2AABC+S2AACD+S2AADB=S2ABCD963163243483答案：D15.下图是一个正方体的展开图,在原正方体中,有下列命题（1）AB与EF所在直线平行；（2）AB与CD所在直线异面；（3）MN与BF所在直线成60。角；（4）MN与CD所在直线互相垂直，其中正确命题的序号为（将所有正确的都填入空格内）ZASB=/BSC=/CSA=40。，过a作截面AEF,则截面的最小周长为（）A.22B.4C.6D.10答案：C.设O是正三棱锥p—ABC底面AABC的中心，过O的动平面与P—ABC的三条侧棱或其延长线111的交点分别记为Q,R,S,则和式+-—+PQPRPS满足（）A.有最大值而无最小值B.有最小值而无最大值C.既有最大值又有最小值，且最大值与最小值不等D.是一个与平面QRS为之无关的常量答案：D.三棱锥的三个侧面两两互相垂直,且三条侧棱长之和为3,则三棱锥体积的最大值为（）11A.1B.—C.—63D.6答案：B二、填空题：.过正方体的每三个顶点都可确定一个平面,其中答案：（2）、（4）16.如图：在透明塑料制成的长方体ABCD—A1B1C1D1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下列四个命题：20.如图：已知平行六面体ABCD-ABCD的底面ABCD是菱形，且/C1CB=/C1CD=/BCD,(1)①水的部分始终呈棱柱形；②水面四边形的面积不变；③棱始终与水面平行；④当容器11倾斜如图所示时，BF•BE是定值，其中所有正确命题的序号是证明：CC11BD；(2)当CDCC1的值为多少时，能使A1C1平面C1BD?请给出证明。D答案：(1D答案：(1)略，答案：①③④17．已知将给定的两个全等的正三棱锥的底粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱的长为2，则最远的两顶点间的距离为答案：3三、解答题：.在长方体ABCD—AR1c1D1中,AB=a,BC=b,4、=。，求异面直线BD1和B1c所成角的余弦值。(1(1)VP一ABCD(2)略C2—b2答案：a2+b2+c2•b2+c2.如图所示：四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PA±面ABCD,(1)平面PAD±平面ABCD所成的二面角为60。，求这个四棱锥的体积；(2)证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90。。答案：.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知AA1=2,AB=3，AD=a,求：(1)异面直线B1c与BD1所成的角；(2)当a为何值时，使B1CXBD1?答案：(1)a2—4arccos,(2)a=2a2+13•a2+4.如图：正三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱长为2,底面边长为1,M是BC的中点，在直线CC1上找一点N，使MN1AB1.答案：CN=1425.如图所示：平面EAD1平面ABCD,AADE是等边三角形，ABCD是矩形，F是AB的中点，G是AD的中点，EC与平面ABCD成30。的角。距离为2,求证：EG1平面ABCD；当AD=2时，求二面角E—FC—G的度数;当AD的长是多少时，D点到平面EFC的请说明理由。案：(1)略，(2)45。(3)AD=23.如图：正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直，点M在AC上移动,点N在BF上移动,若CM=BN=a,(0<a<2)。(1)求MN的长；(2)当a为