泰勒公式(泰勒中值定理)讲课稿

二、几个初等(chūděng)函数的麦克劳林公式一、泰勒(tàilè)公式的建立三、泰勒(tàilè)公式的应用应用目的－用多项式近似表示函数.理论分析近似计算泰勒公式第一页，共25页。特点(tèdiǎn):一、泰勒(tàilè)公式的建立以直代曲在微分(wēifēn)应用中已知近似公式:需要解决的问题如何提高精度?如何估计误差?x

的一次多项式第二页，共25页。1.求n次近似(jìnsì)多项式要求(yāoqiú):故令则第三页，共25页。2.余项估计(gūjì)令(称为(chēnɡwéi)余项),则有第四页，共25页。第五页，共25页。公式①称为的n+1

阶泰勒公式

.公式②称为(chēnɡwéi)n+1阶泰勒公式的拉格朗日余项.泰勒(tàilè)(Taylor)中值定理:阶的导数(dǎoshù),时,有①其中②则当泰勒第六页，共25页。公式(gōngshì)③称为n+1阶泰勒公式(gōngshì)的佩亚诺(Peano)余项.在不需要余项的精确(jīngquè)表达式时,泰勒公式可写为注意(zhùyì)到③④第七页，共25页。特例(tèlì):(1)当n=0时,泰勒(tàilè)公式变为(2)当n=1时,泰勒(tàilè)公式变为给出拉格朗日中值定理可见误差第八页，共25页。称为(chēnɡwéi)麦克劳林(Maclaurin)公式.则有在泰勒(tàilè)公式中若取则有误差(wùchā)估计式若在公式成立的区间上麦克劳林由此得近似公式第九页，共25页。二、几个初等函数(hánshù)的麦克劳林公式其中(qízhōng)麦克劳林公式(gōngshì)第十页，共25页。其中(qízhōng)麦克劳林公式(gōngshì)第十一页，共25页。麦克劳林公式(gōngshì)类似(lèisì)可得其中(qízhōng)第十二页，共25页。其中(qízhōng)麦克劳林公式(gōngshì)第十三页，共25页。已知其中(qízhōng)因此(yīncǐ)可得麦克劳林公式(gōngshì)第十四页，共25页。三、泰勒公式(gōngshì)的应用1.在近似计算中的应用(yìngyòng)误差(wùchā)M

为在包含0,x

的某区间上的上界.第十五页，共25页。例1.计算无理数e的近似值,使误差(wùchā)不超过解:已知令x=1,得由于(yóuyú)欲使由计算(jìsuàn)可知当n=9时上式成立,因此的麦克劳林公式为第十六页，共25页。2.利用泰勒(tàilè)公式求极限例2.

求解:由于(yóuyú)用洛必达法则(fǎzé)不方便!用泰勒公式将分子展到项,第十七页，共25页。3.利用泰勒公式(gōngshì)证明不等式例3.证明(zhèngmíng)证:+第十八页，共25页。内容(nèiróng)小结1.泰勒(tàilè)公式其中(qízhōng)余项当时为麦克劳林公式.第十九页，共25页。2.常用(chánɡyònɡ)函数的麦克劳林公式3.泰勒公式(gōngshì)的应用(1)近似计算(3)其他(qítā)应用求极限,证明不等式等.(2)利用多项式逼近函数例如第二十页，共25页。泰勒(tàilè)多项式逼近6422464224O第二十一页，共25页。泰勒(tàilè)多项式逼近642246O4224第二十二页，共25页。思考(sīkǎo)与练习计算(jìsuàn)解:原式第四节第二十三页，共25页。泰勒(tàilè)(1685–1731)英国(yīnɡɡuó)数学家,他早期是牛顿(niúdùn)学派最优秀的代表人物之一,重要著作有:《正的和反的增量方法》(1715)《线性透视论》(1719)他在1712年就得到了现代形式的泰勒公式.他是有限差分理论的奠基人.第二十四页，共25页。麦克劳林(1698–1746)英国(yīnɡɡuó)数学家,