勒让德多项式及性质电子教案

第三篇：特殊(tèshū)函数第二章勒让德多项式第一页，共53页。主要(zhǔyào)内容：勒让德多项式（轴对称问题）及性质连带勒让德函数（转动对称问题）球函数（一般问题）第二页，共53页。在分离(fēnlí)变量法一章中，我们已经知道拉普拉斯方程在球坐标系下分离变量后得到(dédào)欧拉型常微分方程和球谐函数方程(fāngchéng)第三页，共53页。第四页，共53页。同样(tóngyàng)若记则上述方程也可写为下列(xiàliè)形式的阶勒让德方程(fāngchéng)第五页，共53页。xyzr第六页，共53页。§2·1勒让德多项式勒让德方程的求解勒让德多项式勒让德多项式的性质、母函数(hánshù)和递推公式勒让德多项式的应用第七页，共53页。第八页，共53页。第九页，共53页。一、勒让德方程(fāngchéng)的解：我们(wǒmen)知道：在自然边界条件下，勒让德方程的解为

式中

上式具有(jùyǒu)多项式的形式，故称为阶勒让德多项式．勒让德多项式也称为第一类勒让德函数．第十页，共53页。二、勒让德多项式（注意(zhùyì)到1、前几个(jǐɡè)勒让德多项式:第十一页，共53页。勒让德多项式的图形可通过计算机仿真(fǎnɡzhēn)(如MATLAB仿真(fǎnɡzhēn))得到第十二页，共53页。2、勒让德多项式的微分(wēifēn)表示上式通常(tōngcháng)又称为勒让德多项式的罗德里格斯（Rodrigues）表示式．3、勒让德多项式的积分(jīfēn)表示根据柯西积分公式的高阶导数，并取正方向积分有容易证明微分表示也可表示为环路积分形式

第十三页，共53页。为平面(píngmiàn)上围绕并取正方向．这叫作勒让德多项式的施列夫利积分(jīfēn)表示式．点的任一闭合(bìhé)回路，还可以进一步表为下述拉普拉斯积分．第十四页，共53页。§2·2勒让德多项式的性质(xìngzhì)第十五页，共53页。奇偶性：根据勒让德多项式的定义(dìngyì)式，作代换容易(róngyì)得到即当为偶数(ǒushù)时，勒让德多项式为偶函数，为奇数时为奇函数

式中记号

而因此，第十六页，共53页。一、勒让德多项式的正交关系两式称为(chēnɡwéi)正交性．第十七页，共53页。

代入的微分(wēifēn)式得：模为：二、勒让德多项式的模：

第十八页，共53页。三、广义(guǎngyì)傅立叶级数由前面的分析可以(kěyǐ)看出，勒让德多项式为本征函数族，（可以(kěyǐ)作为广义傅立叶级数的基。若函数定义在区间上，或定义在区间上，则或）是正交的、完备的。第十九页，共53页。其中(qízhōng)系数：或第二十页，共53页。例题一：以勒让德多项式为基本(jīběn)函数族，将函数在区间(qūjiān)（-1，+1）上进行广义傅立叶展开。

第二十一页，共53页。另一解法(jiěfǎ)：推广(tuīguǎng)：

第二十二页，共53页。例题2、以勒让德多项式为基本(jīběn)函数族，将函数在区间（-1，+1）上进行(jìnxíng)广义傅立叶展开。

4

第二十三页，共53页。四、解方程：要选取(xuǎnqǔ)对称轴为球坐标的极轴，例题(lìtí)3、在球的内部(nèibù),求解u=0,使得满足边界条件解：m=0通解为：

有限值

通解为

第二十四页，共53页。

第二十五页，共53页。例题(lìtí)4：半径为的半球，其球面(qiúmiàn)上温度为，底面绝热，试求这个(zhège)半球里的稳定温度分布。选取球心为极点，Z轴为极轴，Z轴为对称轴，无关。ZXYO第二十六页，共53页。对定解问题解析延拓到整个(zhěnggè)球形区域x=0上满足第二类边界条件，是关于(guānyú)Z轴对称的。所以边界条件应进行偶延拓。或第二十七页，共53页。通解(tōngjiě)为：对于(duìyú)球的内部：

代入边界条件得：

展开(zhǎnkāi)为广义傅立叶级数。第二十八页，共53页。可以(kěyǐ)导出：

比较(bǐjiào)系数得：

第二十九页，共53页。例题5、在匀强电场中，放入一均匀介质(jièzhì)球（原来不带电），场强为，球的半径(bànjìng)为，介电常数(jièdiànchánɡshù)为，试求解介质球内外的场强。解：选取球心为极点，极点，平行于即：Z轴为对称轴，由于介质球的极化，球面上产生了束缚电荷。的直线为Z轴。无关。场强在球面上不连续。在球面上无意义。所以，球内外电势要通过衔接条件连接。第三十页，共53页。1、设球内电势(diànshì)为：，满足(mǎnzú)：2、设球外电势(diànshì)为：，满足：第三十一页，共53页。比较(bǐjiào)系数得：第三十二页，共53页。3、衔接条件：①电势(diànshì)在球面上连续。

②电位移矢量(shǐliàng)的法向分量在球面(qiúmiàn)上连续

4、解方程：代入衔接条件：第三十三页，共53页。比较(bǐjiào)系数得：第三十四页，共53页。解出：

其中(qízhōng)与零电势(diànshì)的选取有关。第三十五页，共53页。5、求场强：球内场强：可以看出，球内场强沿原方向(fāngxiàng)也是匀强电场。只是场强削弱了。一般(yībān)情况

球内极化(jíhuà)强度：为常数，所以，球的极化是均匀的。球外场强：

为匀强电场。

第三十六页，共53页。五、母函数(hánshù)1、定义：设在单位球北极(běijí)放置正电荷，求球内外(nèiwài)任意点解：

取球心为极点，Z轴为极轴。球内外任一点的电势关于Z轴对称。球内外电势满足：

（无源场）无关。的电势。xyz通解为：第三十七页，共53页。⑴球内电势(diànshì)：第三十八页，共53页。取球内任一点(yīdiǎn)：则M点的电势(diànshì)为：，它到电荷(diànhè)的距离为d，第三十九页，共53页。其中(qízhōng)：叫的母函数(hánshù)。第四十页，共53页。⑵球外电势(diànshì)：第四十一页，共53页。对于(duìyú)任一点：第四十二页，共53页。母函数(hánshù)：对于(duìyú)半径为R的球，母函数为：第四十三页，共53页。2、应用(yìngyòng)

⑴在点正电荷放置接地的导体球，球的半径为a，球心(qiúxīn)与电荷相距为，求解(qiújiě)静电场。的电场中，解：取球心O为极点，极轴通过点电荷，电势满足：

（无源场）无关。通解为：第四十四页，共53页。无导体球时：任一点(yīdiǎn)电势为：由于导体的存在，导体球上产生静电感应(jìngdiàngǎnyìng)电荷，它引起的电势变化为第四十五页，共53页。对于(duìyú)定解问题：第四十六页，共53页。代入边界(biānjiè)：引入母函数(hánshù)：时第四十七页，共53页。比较(bǐjiào)系数得：其中(qízhōng)：

第四十八页，共53页。按照母函数(hánshù)的定义：物理(wùlǐ)意义：相当于某个(mǒuɡè)点电荷

电场中的静电势。位置在极轴上，距球心的距离为

。因为所以

即，点电荷在球内。

第四十九页，共53页。结论(jiélùn)：导体球外的静电场，好像似存在一个点电荷，叫原来那个点电荷的电像。⑵利用(lìyòng)母函数求：球内：

两边(liǎngbiān)求导得：第五十页，共53页。同