四川专用(理)(步步高)2023年高三数学大一轮复习讲义(题库)47解三角形应用举例

(四川专用〔理〕)(步步高)2023年高三数学大一轮复习讲义(Word版题库)4一、选择题在某次测量中，在A处测得同一平面方向的B50°，A2，C70A3B、C间的距离为()A. 16B.17C. 18D.19解析：因∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝3.∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝4＋9－2×2×3×cos120°＝19.∴BC＝19.答案：D如下图，为了测量某障碍物两侧A，B间的距离，给定以下四组数据，不能确定A，B间距离的是( )．α，a，bC．a，b，γ

α，β，aD．α，β，b解析选项B中由正弦定理可求b，再由余弦定理可确定AB.C中可由余弦定理确定AB.DBA.答案Akm，结果他离动身点恰好是3km，那么x的值为( )．33A. B．233

C. 32

D．33解析如下图，设此人从A动身，则AB＝x，BC＝3，AC＝3，∠ABC＝30°，由余弦定理得( 3)2＝x2＋32－2x·3·cos30°，整理得x23－3 3x＋6＝0，解得x＝3或2 3.答案C如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就能够运算出A、B两点的距离为()A．50 2m B．50 3mC．25 2m D.25 2m2 A2 AC解析由题意，得＝35由正弦定理，得 ＝sin，AC·sin∠ACB 2

sin∠ACB∴AB＝答案A

sinB

＝ 1 ＝50 2(m)．2AB与海洋观看站C的距离都等于akmA在C20B在观看站C40°，则灯塔A与灯B的距离为()A．akmB.2akmC．2akmD.3akm解析依题意得∠ACB＝120°，由余弦定理，得AC2＋BC2－AB2cos120°＝

2AC·BC .∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120° 12＝a2＋a2－2a2×－＝3a2，2 ∴AB＝3aD.答案D6．据华社报道，强台风“珍宝”在广东饶平登陆．台风中心最大风12级以上，大风降雨给灾区带来严峻的灾难，很多大树被大风折45°角，树干也倾斜为与7520距离是( )．20 6 10 6A. 3 米 B．10 6米 C. 3 米 D．20 米解析如下图，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，则AO∠ABO＝45°，∠AOB＝75°，∴∠OAB＝60°.由正弦定理知， ＝20sin60 ，

sin45°° 20 6∴AO＝3 (米)．答案A7．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，假设飞机的高度为海拔18km，速度为1000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，通过1min后又看到山顶的俯角为7°则山顶的海拔高度准确到0.1km)( A．11.4 B．6.6 C．6.5 D．5.61 5000060 解析AB＝1000×1000×＝ (m)60 AB 50000∴BC＝ ·sin30°＝ (m)．sin45°50000 3 2∴航线离山顶h＝3 2×sin75°≈11.4(km)．答案B二、填空题15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M60°方向，行驶4h后，船到B处，看到那个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为 解析：如下图，依题意有AB＝∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，60由正弦定理得 ＝sin45°解得BM＝30 2．答案：30 2

km.

15×4＝60，在△AMB中，BMsin30°，如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是 米．解析在△105°，∠DBC＝30°，BC

＝CD ，BC

CDsin45°＝10 2.Rt＝in4°sin3° sin3°△ABC中，tan60°＝BC，AB＝BCtan60°＝10 6(米)．答案10 620231112日广州亚运会上进展升旗仪式．如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面，在该列的第一个座位A和最终一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60°和30°，且座位A、B的距离为10 6米，则旗杆的高度为 米．解析由题可知∠BAN＝105°，∠BNA＝30°，AN 10 6由正弦定理得 ＝ ，解得AN＝20 3(米)，sin45°sin30°在Rt△AMN中，MN＝20 3sin60°＝30(米)．故旗杆的高度为30米．答案30如图，在日本地震灾区的搜救现场，一条搜救狗从A处沿正北方向行进xm到达B处觉察一个生命迹象，然后向右转105°，进展10m到达C处觉察另一生命迹象，这时它向右转135°后连续前行回到动身点，那么x＝ .解析由题知，∠CBA＝75°，∠BCA＝45°，∴∠BAC＝180°－75°－45°＝60°，∴ x

＝10 .10 6

sin45°sin60°∴x＝3 m.10 6答案 3 m如图，一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东αmB处测得该岛的方位角为北偏东β该岛四周n海里范畴内(包括边界)有暗礁，现该船连续东行，当α与β满足条件 时，该船没有触礁危急．BM解析由题可知，在△ABM中，依照正弦定理得 ＝msin α－β

BM＝

mcosαα－β

sin 90°－α，要使该船没有触礁危急需满足mcosαisβBMsin(90°－β)＝ ＞nαβsin α－βmcosαcosβ＞nsin(α－β)时，该船没有触礁危急．答案mcosαcosβ＞nsin(α－β)三、解答题隔河看两目标AB，但不能到达，在岸边先选取相距3千米的ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离．解析如下图，在△ACD中，∵∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，∴∠CAD＝30°，AC＝CD＝3(千米)，在△BDC中，∠CBD＝180°－45°－75°＝60°.3sin75° 6＋2

sin60°

＝ 2 (千米)．在△ABC中，由余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠BCA， 6＋2 6＋2AB2＝( 3)2＋ 2∴AB＝5(千米)．

2－2 3· cos75°＝5.22因此两目标A、B间的距离为5千米．14．如图，渔船甲位于岛屿A60°方向的B处，且与岛屿A1210海里/时的速度从岛屿A动身沿正北方向航行，假设渔船甲同时从B处动身沿北偏东α2小时追上，现在到达C处．(1)求渔船甲的速度；(2)求sinα解析(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12(海里)，AC＝10×2＝20(海里)，∠BCA＝α，在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784.解得BC＝28(海里)．BC2＝14海里/时．∠BCA＝α，AB

3 BC .ABsin120°

α2si1°即sinα＝

＝28 ＝14.A45°的方向作匀速直线航行，速度为15 mileB

tan 1θ＝θ＝岛动身朝北偏东θ 2 mnmile/h.假设两船能相遇，求m.m＝10 5时，求两船动身后多长时刻距离最近，最近距离为多少nmile?解析(1)设t小时后，两船在M处相遇，由tan

1 5 2 5θ＝2sinθ＝5，cosθ＝5，.因此sin∠AMB＝sin(45°－θ)＝10.AM AB 10由正弦定理， ＝ ，∴AM＝40 sinθsin∠AMB同理得BM＝40 5.∴t 40 2 8 40 5＝ ＝，m＝ ＝15 5.3 15 23 设在t时刻甲、乙两船分别在P(x1，y1)，Q(x2，y2)处，则|AP|＝15 2t，|BQ|＝10 5t.由任意角三角函数的定义，可得x1＝15 2tcos45°15，y＝15 2tsin4°＝15，x2＝10 5tsinθ＝10，y＝10 Q的坐标是(10t,20t－40)，∴|PQ|＝ －5t 2＋5t－40 2＝50t2－400t＋1600＝50 t－4 2＋800≥20 2，当且仅当t＝4时，|PQ|取得最小值20 两船动身4小时时，距离最近，最近距离为20 2nmile.OO3020A处，30海里/以v海里/时的航行速度匀速行驶，通过t小时与轮船相遇．假设期望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？30海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时刻与轮船相遇，并说明理由．思路分析第(1)问建立航行距离与时刻的函数关系式；第(2)问建立速度与时刻的函数关系式．解析(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则S＝900t2＋400－2·30t·20·cos 90°－30°＝900t2－600t＋400＝

t－1

＋300.900 321 3故当t＝时，Smin＝10 海里)，10 33现在v＝1 ＝30 3(海里/时)．即小艇以3海里/时的速度航行相遇时小艇的航行距离最小．设小艇与轮船在