【教案】任意角教学设计（第1课时）（王立道）-高中数学新教材必修第一册小单元教学+专家指导（视频+教案）

课题：5.1.1任意角（第1课时）(一)教学内容：；象限角；终边相同的角．(二)教学目标1.知识目标：理解任意角的概念(包括正角、负角、零角)与区间角的概念.2.能力目标：会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合;掌握区间角的集合的书写.3.素养目标：提高学生的推理能力;培养学生应用意识.(三)教学重点和难点重点：任意角的概念，象限角的表示；难点：终边相同角的集合的表示;区间角的集合的书写.教学过程设计问题1：初中所学的角是如何定义？角的范围？师生活动：1.学生回顾知识，给出答案；2.教师指明，规范问题答案。有公共端点的两射线组成的几何图形叫角.角的范围：0°～360°。追问：实际生活中是否有些角度超出初中所学的范围？师生活动：学生思考，教师多媒体出示出示体操比赛以及齿轮传动的图片。(体操:“前空翻转体度”，“后空翻转体度”。齿轮：被动轮与主动轮的旋转方向相反(顺、逆时针).)追问：这些角的不同，体现在哪几个方面？一是旋转量；二是旋转方向.师生活动：学生讨论总结，教师点拨，虽然我们过去学习了“0°～360°”内的角，但在上述问题中，很显然，我们发现了仅有范围内的角是不够的，我们必须将角的概念进行推广，这就是我们本节课要学习的内容——任意角.（板书课题）设计意图：通过复习初中角的概念，创设课堂情境与生活实例，使学生产生认知上的冲突，说明角的概念的推广的必要性，引入本节新课,建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。追问：请学生思考，如何定义角才能解决这些问题呢？师生活动：学生总结，教师板书任意角角的概念。角描述定义角可以看成是平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形表示其中O为顶点，OA为始边，OB为终边记法角或，或简记为问题2：根据旋转方向的不同，角可以分为哪几类？分别是什么？师生活动：（动画演示）拖动点B可以进行逆时针旋转和顺时针旋转发现变化规律。我们规定：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没有作任何旋转,我们称它形成了一个零角,零角的始边和终边重合,如果是零角,那么。这样，我们就把角的概念推广到了任意角.问题3：如何画一个任意角，作图时注意的要点有哪些？师生活动：教师演示作图，让学生概括作图要点。已知，那么图中红线标注的角是沿逆时针方向旋转了的角，所以它等于画图表示一个大小一定的角，先画一条射线作为角的始边，再由角的正负决定旋转方向，再由角的绝对值大小确定角的旋转量，画出角的终边，并用带箭头的螺旋线加以标注.练习1：画出下列各角：。【提示】设计意图：通过画正角、负角，让学生进一步理解任意角的概念，提高学生分析问题、概括能力。问题4：根据你对任意角概念的理解，如果两条射线旋转的方向相同，旋转量相同，则两个角有什么样的大小关系？设角由射线OA绕端点O旋转而成，角由射线绕端点旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称．追问：那么两角相加又是怎样规定的？设，是任意两个角．我们规定，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是.问题5：你知道什么是互为相反角吗？两角怎样相减？师生活动：教师点拨。类似于实数的相反数是，我们引入任意角的相反角的概念.我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角的相反角记为.于是，像实数减法的“减去一个数对于加上这个数的相反数”一样，我们有.这样，角的减法可以转化为角的加法.设计意图：通过概念学习，让学生进一步理解任意角的概念，提高学生分析问题、概括能力。练习2：作图表示与设计意图：让学生尝试定义角的相等和加减法，体会定义的合理性。问题6：为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内研究角，那么其顶点和始边的位置是如何规定的？对一个任意角，角的终边可能落在哪些位置?又可以把角分为哪几类？我们通常在坐标系内讨论角．为了方便，我们把角的顶点固定在原点，角的始边与x轴的非负半轴重合．那么，角α的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角．例如，上图中的30°角、-120°角分别是第一象限角和第三象限角.如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限.师生活动：1.学生认真分析可能性，回答问题，并尝试在草稿纸上画出各个象限角；2.教师引导学生思考并回答问题，给出答案，再用多媒体展示事先画好的角，供同学们对照修改，并指出角的大小与终边落在第几象限没有直接联系。追问：在直角坐标系内讨论角有什么好处呢？在直角坐标系中讨论角可以很好地表现角的“周而复始”的变化规律。练习3：那么下列各角：－50°，405°，210°，－200°，－450°，分别是第几象限的角？师生活动：学生在草稿纸上自行画出角，观察体会角的终边的位置，下回答后面的相关问题。追问：锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角。追问：第二象限的角一定比第一象限的角大吗？象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小.设计意图：通过思考，进一步理解象限角的概念，提高学生解决问题的能力。问题7：在直角坐标系中作出下列各角：-32°，328°，-392°它们是第几象限的角？这些角有什么内在联系？师生活动：学生在草稿纸上自行画出角，观察体会三个角的终边的位置，并在教师指导下回答后面的相关问题，感受终边相同的角；我们发现，，这三个角都是第四象限角，它们的终边相同。也就是说，对于直角坐标系内任意一条射线OB，以它为终边的角不唯一．追问：还有没有与角终边相同的角？它们与角有什么关系？有，且与角终边相同的角有无数个，它们相差3600的整数倍。追问：所有与-32°角终边相同的角，连同-32°角在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？追问：将推广到一般角，连同角在内所构成的集合S可以怎样表示？师生活动：教师总结和板书，终边相同的角的概念。一般地，我们有：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。设计意图：通过对特殊角之间关系的研究得到一般性的结论。提高学生的观察、概括能力。例1在～范围内，找出与角终边相同的角，并判定它是第几象限角．，所以在～范围内，与角终边相同的角是，它是第二象限角．师生活动：学生思考，教师黑板上板书例题设计意图：通过例题的讲解让学生进一步理解终边相同的角，提高学生解决与分析问题的能力。例2写出终边在y轴上的角的集合．解：终边落在y轴非负半轴上的角构成集合，终边落在y轴非正半轴上的角构成集合观察发现，中的角均相差的整数倍，用集合表示是．另外，我们还可以用这种方式求出：思考：终边在x轴正半轴、负半轴，y轴正半轴、负半轴上的角分别如何表示？在轴的非负半轴上在轴的非正半轴上在轴的非负半轴上在轴的非负半轴上在轴上在轴上在坐标轴上师生活动：1.学生独立，思考回答；2.教师下讲台指导个别同学回答问题；并多媒体展示。例3写出终边在直线上的角的集合．中满足不等式的元素有哪些？解：在～范围内，终边在直线上的角有两个：，．因此，终边在直线上的角的集合中适合不等式的元素有，，，，，课堂小结你能根据今天所讲的内容做个小结吗？1.角的定义：一条射线绕它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。2.角的分类：正角、零角、负角；3.象限角：①终边落在第几象限就是第几象限角。②终边落在坐标轴上的角，不属于任何象限．4.终边相同的角的表示法：设计意图：通过总结，让学生自行归纳总结本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。(六)目标检测设计1.课堂检测1.在0º～360º范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角.(1)-54º18′；(2)-395º8′；(3)-1190º30′.2.写出与下列各角终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式-720°≤α＜360°的元素β写出来.(1)1303º18′；(2)-225º.2.课后作业：1．(多选)下列四个角中，属于第二象限角的是()A.160°B.480°C.－960°D.1530°2．下列各个角中与2019°终边相同的是()A．－149° B．679°C．319° D．219°【答案】D【解析】因为2019°＝360°×5＋219°，所以与2019°终边相同的角是219°.3．与－30°终边相同的角可以表示为：____________．4．已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是________．【答案】{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}【解析】观察图形可知，角α的集合是{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}．5．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角：(1)－120°；(2)640°.【解析】(1)与－120°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝－120°＋k·360°，k∈Z}．当k＝1时，β＝－120°＋1×360°＝240°，∴在0°到360°范围内，与－120°终边相同的角是240°，它是第三象限的角．(2)与640°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝640°＋k·360°，k∈Z}．当k＝－1时，β＝640°－360°＝280°，∴在0°到360°范围内，与640°终边相同的角为280°，它是第四象限的角．6.（拓展题）若是第二象限角，则是第几象限角