高中数学人教A版第一章三角函数 课时作业(二)

课时作业(二)弧度制A组基础巩固\a\vs4\al(2023·广东揭阳一中高一期中)240°化成弧度制是()\f(π,3)\f(2π,3)\f(4π,3)\f(5π,3)解析：利用公式1°＝eq\f(π,180)弧度，可得240°＝eq\f(4π,3)，故选C.答案：C\a\vs4\al(2023·江西南昌二中高一期中)将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是()\f(π,3)B．－eq\f(π,3)\f(π,6)D．－eq\f(π,6)解析：将分针拨快10分钟，则分针转过的角度为60°，对应的弧度数eq\f(π,3)，故选B.答案：B\a\vs4\al(2023·山东济宁梁山一中高二期中)在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角的弧度数为()A．1B．2C．3D．4解析：根据扇形面积公式S＝eq\f(1,2)αr2，可得α＝2，故选B.答案：B\a\vs4\al(2023·辽宁锦州市高一期末)半径为1m的圆中，60°的圆心角所对的弧的长度为()\f(π,3)\f(π,6)C．60D．1解析：因为60°＝eq\f(π,3)，又根据弧长计算公式l＝θr＝eq\f(π,3)×1＝eq\f(π,3)，故选A.答案：A\a\vs4\al(2023·河北衡水中学高一调研)已知扇形面积为eq\f(3π,8)，半径是1，则扇形的圆心角是()\f(3π,4)\f(3π,8)\f(3π,16)\f(3π,2)解析：设扇形的圆心角为α，则由题意得eq\f(1,2)α×12＝eq\f(3π,8)，故α＝eq\f(3π,4)，故选A.答案：A\a\vs4\al(2023·重庆市一中高一检测)半径为2，圆心角为eq\f(π,3)的扇形的面积为()\f(4π,3)B．π\f(2π,3)\f(π,3)解析：根据扇形弧长公式l＝α·r＝eq\f(2π,3)，根据扇形面积公式S＝eq\f(1,2)l·r＝eq\f(1,2)·eq\f(2π,3)·2＝eq\f(2π,3)，故选C.答案：C\a\vs4\al(2023·陕西延安中学高一期中)扇形的周长是16，圆心角是2弧度，则扇形的面积是()A．16πB．32πC．16D．32解析：设扇形弧长为l，半径为r，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(l＋2r＝16,\f(l,r)＝2))，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(l＝8,r＝4))，扇形面积等于s＝eq\f(1,2)l·r＝16，故选C.答案：C\a\vs4\al(2023·山东淄博六中高一期中)已知扇形的周长为6cm，面积为2cm2，则扇形的圆心角的弧度数为()A．1B．4C．1或4D．2或4解析：设扇形的弧长为l，半径为r，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r＋l＝6,\f(1,2)lr＝2))解得r＝1，l＝4或者r＝2，l＝2，所以扇形的圆心角的弧度数是：α＝eq\f(4,1)或α＝eq\f(2,2)＝1，故选C.答案：C\a\vs4\al(2023·四川遂宁市高一期末)已知扇形的半径为12，弧长为18，则扇形圆心角为__________．解析：由题意，知扇形的半径r＝12，弧长l＝18，l＝α·r，α＝eq\f(l,r)＝eq\f(18,12)＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)10．求解下列各题：(1)已知扇形的周长为20cm，面积为9cm2，求扇形圆心角的弧度数；(2)若某扇形的圆心角为75°，半径为15cm，求扇形的面积．解析：(1)设扇形的半径为rcm，弧长为lcm，圆心角为θ，∵l＋2r＝20，∴l＝20－2r.∵eq\f(1,2)lr＝9，即eq\f(1,2)(20－2r)r＝9，∴r2－10r＋9＝0，解得r＝1或r＝9.而r＝1时，l＝18，则θ＝eq\f(l,r)＝eq\f(18,1)＝18>2π(舍)．∴r＝9，则l＝2，θ＝eq\f(l,r)＝eq\f(2,9)rad，即扇形圆心角的弧度数θ＝eq\f(2,9)rad.(2)圆心角为75×eq\f(π,180)＝eq\f(5π,12)，扇形半径为15cm.∴扇形面积S＝eq\f(1,2)|α|r2＝eq\f(1,2)×eq\f(5π,12)×152＝eq\f(375π,8)(cm2)．B组能力提升\a\vs4\al(2023·浙江易学大联考期中统考)已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R，若扇形的周长是一定值C(C＞0)，该扇形的最大面积为()\f(C,4)\f(C2,4)\f(C2,16)\f(C2,2)解析：设扇形的半径为R，则扇形的弧长为C－2R，则S＝eq\f(1,2)(C－2R)R＝－R2＋eq\f(C,2)R＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R－\f(C,4)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C,4)))2，当R＝eq\f(C,4)，即α＝eq\f(C－2R,R)＝2时，扇形的面积最大，最大面积为eq\f(C2,16)，故选C.答案：C12．把－eq\f(11π,4)表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ的值是()A．－eq\f(3π,4)B．－eq\f(π,4)\f(π,4)\f(3π,4)解析：∵－eq\f(11π,4)＝－2π－eq\f(3π,4)，∴－eq\f(11π,4)与－eq\f(3π,4)是终边相同的角，且此时eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)))＝eq\f(3π,4)是最小的．答案：A13．用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断2012°是不是这个集合的元素．解析：∵150°＝eq\f(5π,6).∴终边在阴影区域内角的集合为S＝{β|eq\f(5π,6)＋2kπ≤β≤eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z}．∵2012°＝212°＋5×360°＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(53π,45)＋10π))rad，又eq\f(5π,6)＜eq\f(53π,45)＜eq\f(3π,2).∴2012°＝eq\f(503π,45)∈S.14．2弧度的圆心角所对的弦长为2，试求这个圆心角所夹扇形的面积S.解析：如图，过圆心O作OM⊥AB于M，则OM平分弦AB.∴∠AOM＝1弧度，AM＝1.∴扇形半径R＝eq\f(1,sin1).于是l＝2·eq\f(1,sin1)＝eq\f(2,sin1)，S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)·eq\f(2,sin1)·eq\f(1,sin1)＝eq\f(1,sin21).\a\vs4\al(附加题·选做)如图，动点P，Q从点A(4,0)出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转eq\f(π,3)弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转eq\f(π,6)弧度，求P，Q第一次相遇时所用的时间及P，Q点各自走过的弧长．解析：设P，Q第一次相遇时所用