高中数学高考一轮复习一轮复习 第四节 直线与圆圆与圆的位置关系

课时作业(四十八)直线与圆、圆与圆的位置关系1．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()A．[－3，－1] B．[－1，3]C．[－3，1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)C[由题意可得，圆的圆心为(a，0)，半径为eq\r(2)，∴eq\f(|a－0＋1|,\r(12＋（－1）2))≤eq\r(2)，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.]2．过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为()A．2x＋y－5＝0 B．2x＋y－7＝0C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0B[∵过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，∴点(3，1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上，∵圆心与切点连线的斜率k＝eq\f(1－0,3－1)＝eq\f(1,2)，∴切线的斜率为－2，则圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.]3．若直线：y＝kx＋1被圆C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短，则k＝()A．1 B．－1C．2 D．－2A[由x2＋y2－2x－3＝0，得(x－1)2＋y2＝4.易知直线y＝kx＋1恒过定点A(0，1)，要使截得的弦最短，需圆心(1，0)和A点的连线与直线y＝kx＋1垂直，所以k·eq\f(0－1,1－0)＝－1，即k＝1.故选A．]4．(多选)(2023·聊城期中)点P在圆C1：x2＋y2＝1上，点Q在圆C2：x2＋y2－6x＋8y＋24＝0上，则()A．|PQ|的最小值为0B．|PQ|的最大值为7C．两个圆心所在的直线斜率为－eq\f(4,3)D．两个圆相交弦所在直线的方程为6x－8y－25＝0BC[根据题意，圆C1：x2＋y2＝1，其圆心C1(0，0)，半径R＝1，圆C2：x2＋y2－6x＋8y＋24＝0，即(x－3)2＋(y＋4)2＝1，其圆心C2(3，－4)，半径r＝1，圆心距|C1C2|＝eq\r(16＋9)＝5，则|PO|的最小值为|C1C2|－R－r＝3，最大值为|C1C2|＋R＋r＝7，故A错误，B正确；对于C，圆心C1(0，0)，圆心C2(3，－4)，则两个圆心所在的直线斜率k＝eq\f(－4－0,3－0)＝－eq\f(4,3)，C正确；对于D，两圆圆心距|C1C2|＝5，有|C1C2|>R＋r＝2，两圆外切，不存在公共弦，D错误．故选BC.]5．(2023·广东省七校联考)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(8，0)，以OA为直径的圆与直线y＝2x在第一象限的交点为B，则直线AB的方程为()A．x＋2y－8＝0 B．x－2y－8＝0C．2x＋y－16＝0 D．2x－y－16＝0A[法一：如图，由题意知OB⊥AB，因为直线OB的方程为y＝2x，所以直线AB的斜率为－eq\f(1,2)，因为A(8，0)，所以直线AB的方程为y－0＝－eq\f(1,2)(x－8)，即x＋2y－8＝0，故选A．法二：依题意，以OA为直径的圆的方程为(x－4)2＋y2＝16，解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－4）2＋y2＝16，,y＝2x))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(8,5)，,y＝\f(16,5)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0))(舍去)，即Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，\f(16,5)))，因为A(8，0)，所以kAB＝eq\f(\f(16,5),\f(8,5)－8)＝－eq\f(1,2)，所以直线AB的方程为y－0＝－eq\f(1,2)(x－8)，即x＋2y－8＝0，故选A．]6．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，若圆C1与圆C2相外切，则实数m的值为________．解析：对于圆C1与圆C2的方程，配方得圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4，则圆C1的圆心C1(m，－2)，半径r1＝3，圆C2的圆心C2(－1，m)，半径r2＝2.因为圆C1与圆C2相外切，所以|C1C2|＝r1＋r2，即eq\r(（m＋1）2＋（m＋2）2)＝5，m2＋3m－10＝0，解得m＝－5或m＝2.答案：－5或27．(2023·西湖区校级期中)已知圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：x2＋y2－8x＋6y＋m＝0外切，则m＝________；此时直线l：x＋y＝0被圆C2所截的弦长为________．解析：根据题意，圆C1：x2＋y2＝4，其圆心C1(0，0)，半径r＝2，圆C2：x2＋y2－8x＋6y＋m＝0，即(x－4)2＋(y＋3)2＝25－m，必有m<25，其圆心C2(4，－3)，半径R＝eq\r(25－m)，若两圆外切，则有|C1C2|＝R＋r，即5＝2＋eq\r(25－m)，解可得m＝16，此时圆C2的方程为：(x－4)2＋(y＋3)2＝9，圆心C2(4，－3)，半径R＝3，圆心C2到直线l：x＋y＝0的距离d＝eq\f(|4－3|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，则直线l被圆C2所截的弦长l＝2×eq\r(R2－d2)＝2×eq\r(9－\f(1,2))＝eq\r(34).答案：16；eq\r(34)8．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为________．解析：设圆心为C，则C(3，0)，P为直线y＝x＋1上一动点，过P向圆引切线，切点设为N，所以|PN|min＝(eq\r(|PC|2－1))min＝eq\r(|PC|eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(min))－1).又|PC|min＝eq\f(|3－0＋1|,\r(12＋（－1）2))＝2eq\r(2)，所以|PN|min＝eq\r(7).答案：eq\r(7)9．(开放型)(2023·湖北期中)在①圆经过C(3，4)，②圆心在直线x＋y－2＝0上，③圆截y轴所得弦长为8；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，进行求解．已知圆E经过点A(－1，2)，B(6，3)，且________；(1)求圆E的方程；(2)已知直线l经过点(－2，2)，直线l与圆E相交所得的弦长为8，求直线l的方程．解析：(1)选条件①：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，依题意有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5－D＋2E＋F＝0,45＋6D＋3E＋F＝0,25＋3D＋4E＋F＝0))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝－6,E＝2,F＝－15))，∴圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－15＝0；选条件②：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5－D＋2E＋F＝0,45＋6D＋3E＋F＝0,－\f(D,2)－\f(E,2)－2＝0))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝－6,E＝2,F＝－15))，∴圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－15＝0；选择条件③：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径为eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5－D＋2E＋F＝0,45＋6D＋3E＋F＝0,\f(D2,4)＋16＝\f(1,4)（D2＋E2－4F）))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝－6,E＝2,F＝－15))，∴圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－15＝0.(2)化圆C的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝25，则圆心C(3，－1)，半径r＝5.设圆心到直线的距离为d，则弦长L＝2eq\r(r2－d2)＝8，即eq\r(25－d2)＝4，得d＝3.当直线的斜率不存在时，d＝5≠3，∴直线的斜率存在，设其方程为y－2＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋2＝0，由d＝eq\f(|3k＋1＋2k＋2|,\r(k2＋1))＝3，解得k＝0，k＝－eq\f(15,8).∴所求直线的方程为y＝2或15x＋8y＋14＝0.10．设O为坐标原点，曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上有两点P，Q，满足关于直线x＋my＋4＝0对称，且eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝0.(1)求m的值；(2)求直线PQ的方程．解析：(1)x2＋y2＋2x－6y＋1＝0的标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，所以曲线是以(－1，3)为圆心，3为半径的圆．由已知得直线过圆心，所以－1＋3m＋4＝0，解得m＝－1.(2)设直线PQ：y＝－x＋b，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，,y＝－x＋b，))得2x2＋2(4－b)x＋b2－6b＋1＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则有x1＋x2＝b－4，x1x2＝eq\f(b2－6b＋1,2).又eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝0，所以x1x2＋y1y2＝0，即2x1x2－b(x1＋x2)＋b2＝0，将x1＋x2＝b－4，x1x2＝eq\f(b2－6b＋1,2)代入上式得b2－2b＋1＝0，所以b＝1，所以直线PQ的方程为y＝－x＋1.11．(多选)设有一组圆Ck：(x－k＋1)2＋(y－2k)2＝1，下列说法正确的是()A．这组圆的半径均为1B．直线2x－y＋2＝0平分所有的圆CkC．存在无穷多条直线l被所有的圆Ck截得的弦长相等D．存在一个圆Ck与x轴和y轴均相切ABC[对于选项A：由圆Ck的方程可知，这组圆的半径均为1，故A正确；对于选项B：圆Ck的圆心坐标为(k－1，2k)，因为2(k－1)－2k＋2＝0，所以直线2x－y＋2＝0过圆Ck的圆心，故B正确；对于选项C：由B知，直线2x－y＋2＝0平分所有的圆Ck，所以存在无数条与直线2x－y＋2＝0平行或重合的直线(与直线2x－y＋2＝0的距离小于1)被所有的圆Ck截得的弦长相等，故C正确；对于选项D：若圆Ck与x轴和y轴均相切，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|k－1|＝1，,|2k|＝1，))无解，故选ABC.]12．(多选)(2023·临沂期中)若圆C1：x2＋y2－3x－3y＋3＝0与圆C2：x2＋y2－2x－2y＝0的交点为A，B，则()A．公共弦AB所在直线方程为x＋y－3＝0B．线段AB中垂线方程为x－y＋1＝0C．公共弦AB的长为2eq\r(2)D．在过A，B两点的所有圆中，面积最小的圆是圆C1AD[根据题意，依次分析选项：对于A，圆C1：x2＋y2－3x－3y＋3＝0与圆C2：x2＋y2－2x－2y＝0，联立两个圆的方程可得x＋y－3＝0，即公共弦AB所在直线方程为x＋y－3＝0，A正确；对于B，圆C1：x2＋y2－3x－3y＋3＝0，其圆心C1为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3,2)))，圆C2：x2＋y2－2x－2y＝0，其圆心C2为(1，1)，直线C1C2的方程为y＝x，即线段AB中垂线方程x－y＝0，B错误；对于C，圆C1：x2＋y2－3x－3y＋3＝0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(3,2)，其圆心C1为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3,2)))，半径r＝eq\f(\r(6),2)，圆心C1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3,2)))在公共弦AB上，则公共弦AB的长为eq\r(6)，C错误；对于D，圆心C1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3,2)))在公共弦AB上，在过A，B两点的所有圆中，面积最小的圆是圆C1，D正确．故选AD.]13．已知P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM面积．解析：(1)由条件可得圆心C的圆心坐标为(0，4)，|PC|＝2，设P(a，2a)，则eq\r(a2＋（2a－4）2)＝2.解得a＝2或a＝eq\f(6,5)，所以点P的坐标为(2，4)或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，\f(12,5))).(2)证明：设P(b，2b)，过点A，P，C的圆即是以PC为直径的圆，其方程为x(x－b)＋(y－4)(y－2b)＝0，整理得x2＋y2－bx－4y－2by＋8b＝0.即(x2＋y2－4y)－b(x＋2y－8)＝0.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4y＝0，,x＋2y－8＝0))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(8,5)，,y＝\f(16,5)．))所以该圆必经过定点(0，4)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，\f(16,5))).14．已知圆C经过(2，4)，(1，3)两点，圆心C在直线x－y＋1＝0上，过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C相交于M，N两点．(1)求圆C的方程；(2)①请问eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由；②若eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝12(O为坐标原点)，求直线l的方程．解析：(1)设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，依题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（2－a）2＋（4－b）2＝r2，,（1－a）2＋（3－b）2＝r2，,a－b＋1＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝3，,r＝1，))∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝1.(2)①eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))为定值．过点A(0，1)作直线AT与圆C相切，切点为T，如图．易得|AT|2＝7，∴eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))＝|eq\o(AM,\s\up6(→))|·|eq\o(AN,\s\up6(→))|cos0°＝|AT|2＝7.∴eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))为定值，且定值为7.②依题意可知，直线l的方程为y＝kx＋1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，将y＝kx＋1代入(x－2)2＋(y－3)2＝1.并整理，得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0，∴x1＋x2＝eq\f(4（1＋k）,1＋k2)，x1x2＝eq\f(7,1＋k2)，∴eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝eq\f(4k（1＋k）,1＋k2)＋8＝12，即eq\f(4k（1＋k）,1＋k2)＝4，解得k＝1.又当k＝1时，Δ>0，∴k＝1，∴直线l的方程为y＝x－1.15．(创新型)(多选)(2023·山东青岛期末)如图，已知A(2，0)，B(1，1)，C(－1，1)，D(－2，0)，eq\x\to(CD)是以OD为直径的圆上的一段圆弧，eq\x\to(CB)是以BC为直径的圆上的一段圆弧，eq\x\to(BA)