高中数学苏教版第一章立体几何初步单元测试 获奖作品

章末过关检测卷(一)第1章立体几何初步(测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2023·四川卷)一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体可以是(D)A．棱柱B．棱台C．圆柱D．圆台2．给出下列命题：①底面多边形内接于一个圆的棱锥的侧棱长相等；②棱台的各侧棱不一定相交于一点；③如果不在同一平面内的两个相似的直角三角形的对应边互相平行，则连接它们的对应顶点所围成的多面体是三棱台；④圆台上底圆周上任一点与下底圆周上任一点的连线都是圆台的母线．其中正确的个数为(D)A．3个B．2个C．1个D．0个3．如右图，平面α∩平面β＝l，A、B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l＝D，过A、B、C三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过(D)A．点AB．点BC．点C，但不过点DD．点C和点D解析：根据公理判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在β与γ的交线上．4．(2023·辽宁卷)已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是(B)A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若mA项中，若m为A′B′，n为B′C′，满足m∥x，n∥x，但m与n是相交直线，故A错；B项中，m⊥x，n⊂x，∴m⊥n.这是线面垂直的性质，故B正确；C项中，若m为AA′，n为AB，满足m⊥x，m⊥n，但n⊂x，故C错；D项中，若m为A′B′，n为B′C′，满足m∥x，m⊥n，但n∥x，故D错．5．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于(A．45°B．60°C．90°D．120°解析：取A1B1的中点Q，连接GQ、HQ.即∠HGQ即为异面直线EF与GH所成的角，易求得∠HGQ＝60°.6．在所有棱长都相等的四面体PABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是(C)A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC7．两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm，4cm，3cm，把它们重叠在一起组成一个对角线最长的新长方体，则该最长对角线的长度是(B\r(77)cmB．5eq\r(5)cmC．7eq\r(2)cmD．10eq\r(2)cm8．在△ABC中，AB＝2，BC＝，∠ABC＝120°，若绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是(D)\f(9,2)π\f(7,2)π\f(5,2)π\f(3,2)π解析：V＝V大圆锥－V小圆锥＝eq\f(1,3)πr2(1＋－1)＝eq\f(3,2)π.9．(2023·辽宁卷)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为(B)A．8－2πB．8－πC．8－eq\f(π,2)D．8－eq\f(π,4)解析：根据俯视图可得这是一个切割后的几何体，再结合另外两个视图，得到几何体．这是一个正方体切掉两个eq\f(1,4)圆柱后得到的几何体，如图，几何体的高为2，V＝23－eq\f(1,4)×π×12×2×2＝8－π.10．(2023·辽宁卷)已知三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(C\f(3\r(17),2)B．2eq\r(10)\f(13,2)D．3eq\r(10)解析：由球心O作面ABC的垂线，则垂足为BC中点M.∵AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，∴AM＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(5,2).连接OA，则OA＝eq\r(AM2＋OM2)＝eq\r(\f(25,4)＋36)＝eq\f(13,2)，即已求O的半径为eq\f(13,2)，故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上)11．(2023·新课标全国卷Ⅱ)已知正四棱锥OABCD的体积为eq\f(3\r(2),2)，底面边长为eq\r(3)，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为________．解析：设正四棱锥的高为h，则eq\f(1,3)×(eq\r(3))2h＝eq\f(3\r(2),2)，解得高h＝eq\f(3\r(2),2).底面正方形的对角线长为eq\r(2)×eq\r(3)＝eq\r(6)，所以OA＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))\s\up12(2))＝eq\r(6)，所以球的表面积为4π(eq\r(6))2＝24π.答案：24π12．(2023·北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．解析：先由三视图还原几何体，再分析几何体中的位置和数量关系，解三角形求最长棱的棱长，根据三视图还原几何体，得如图所示的三棱锥PABC，由三视图的形状特征及数据，可推知PA⊥平面ABC，且PA＝2.底面为等腰三角形，AB＝BC，设D为AC中点，AC＝2，，则AD＝DC＝1，且BD＝1，易得AB＝BC＝eq\r(2)，所以最长的棱为PC，PC＝eq\r(PA2＋AC2)＝2eq\r(2).答案：2eq\r(2)13．(2023·湖北卷)我国古代数学名著《数学九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆来接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆地直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九尺，则平地降水量是________寸．(注：①平地降水量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)解析：作出圆台的轴截面如下图所示，由题意知，BF＝14(单位寸，下同)，OC＝6，OF＝18，OG＝9，即G是中点，所以GE为梯形的中位线．所以GE＝eq\f(14＋6,2)＝10，即积水的上底面半径为10.所以盆中积水的体积为eq\f(1,3)(100π＋36π＋eq\r(100π×36π))×9＝588π.盆口的面积为142π＝196π，所以eq\f(588π,196π)＝3，即平地降雨量是3寸．答案：314．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；④AB与CD所成的角为60°.其中真命题的序号是________．解析：如下图所示，命题①：取BD中点E，连接AE，CE有BD⊥AE，BD⊥CE，所以BD⊥面ACE，所以BD⊥AC.命题②：设正方形的边长为a，所以AE＝EC＝eq\f(\r(2),2)a，因为△AEC为直角三角形，所以AC＝a，所以△ACD为等边三角形．命题③：面ABD⊥面BCD，所以AE⊥面BCD，所以∠ABE即为AB与面BCD所成的角，∠ABE＝45°，故该命题错误．命题④：取AD中点F，AC中点G，连接EF，FG，CE，∠EFG即为AB与CD所成角，易得△EFG为等边三角形，故∠EFG为60°.答案：①②④三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)15．(本小题满分12分)(2023·新课标全国卷Ⅱ)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设AP＝1，AD＝eq\r(3)，三棱锥PABD的体积V＝eq\f(\r(3),4)，求A到平面PBC的距离．分析：(1)找出平面AEC内的直线并证明线线平行；(2)利用体积求出线段的长，再作直线与平面垂直，并加以证明、求解．(1)证明：如图，设BD与AC的交点为O，连接EO.因为四边形ABCD为矩形，所以O为BD的中点．又E为PD的中点，所以EO∥PB.因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC.(2)解：由V＝eq\f(1,6)PA·AB·AD＝eq\f(\r(3),6)AB，又V＝eq\f(\r(3),4)，可得AB＝eq\f(3,2).作AH⊥PB交PB于点H.由题设知BC⊥平面PAB，所以BC⊥AH.故AH⊥平面PBC.在Rt△PAB中，由勾股定理可得PB＝eq\f(\r(13),2)，所以AH＝eq\f(PA·AB,PB)＝eq\f(3\r(13),13).所以A到平面PBC的距离为eq\f(3\r(13),13).16．(本小题满分12分)(2023·安徽卷)如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BCD＝60°.已知PB＝PD＝2，PA＝eq\r(6).(1)证明：PC⊥BD；(2)若E为PA的中点，求三棱锥PBCE的体积．解析：(1)证明：如图，连接BD，AC交于点O.∵PB＝PD，∴PO⊥BD.又∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC.而AC∩PO＝O，∴BD⊥面PAC.∴BD⊥PC.(2)由(1)知BD⊥面PAC.由已知得BD＝2，AC＝2eq\r(3)，PO＝eq\r(3).∴S△PEC＝eq\f(1,2)S△PAC＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×2eq\r(3)×eq\r(3)＝eq\f(3,2).∴VPBCE＝VBPEC＝eq\f(1,3)·S△PEC·BO＝eq\f(1,3)×eq\f(3,2)×1＝eq\f(1,2).17．(本小题满分14分)如图，在△ABC中，已知∠ABC＝45°，O在AB上，且OB＝OC＝eq\f(2,3)AB，又PO⊥平面ABC，DA∥PO，DA＝AO＝eq\f(1,2)PO＝eq\f(1,3)AB.(1)求证：PB∥平面COD；(2)求证：PD⊥平面COD.证明：(1)∵PO⊥平面ABC，AD∥PO，∴DA⊥AB，PO⊥AB.又DA＝AO＝eq\f(1,2)PO，∴∠AOD＝45°.又OB＝OC＝eq\f(2,3)AB，AO＝eq\f(1,3)AB，∴OB＝OP.∴∠OBP＝45°.∴OD∥PB.又PB⊄平面OCD，OD⊂平面COD.∴PB∥平面COD.(2)依题意可设OA＝a，则PO＝OB＝OC＝2a，DA＝a，由DA∥PO，且PO⊥平面ABC，知DA⊥平面ABC.从而PD＝DO＝eq\r(2)a，在△PDO中，∵PD＝DO＝eq\r(2)a，PO＝2a，∴△PDO为直角三角形．故PD⊥DO.又∵OC＝OB＝2a，∠ABC＝45°，∴CO⊥AB.又PO⊥平面ABC，∴PO⊥OC.又∵AB∩PO＝O，∴CO⊥平面PAB.故CO⊥PD.∵CO与DO相交于点O，∴PD⊥平面COD.18．(本小题满分14分)将圆心角为120°，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积．解析：设扇形的半径和圆锥的母线都为l，圆锥的底面半径为r，则eq\f(120,360)πl2＝3π，l＝3；eq\f(2π,3)×3＝2πr，r＝1；S表面积＝S侧面＋S底面＝πrl＋πr2＝4π，V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×π×12×2eq\r(2)＝eq\f(2\r(2),3)π.19．(本小题满分14分)一个几何体按比例绘制出的三视图如图所示(单位：m)．(1)试画出其直观图；(2)求它的体积．解析：(1)几何体的直观图如下图所示．(2)由直观图知，该几何体可看成底面立起来的四棱柱，其体积为V＝eq\f(1,2)×(1＋2)×1×1＝eq\f(3,2)(m3)．20．(本小题满分14分)(2023·广东卷)如图(1)，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，作如图(2)折叠，折痕EF中点E、F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF.(1)证明：CF⊥平面MDF；(2)求三棱锥MCDE的体积．分析：(1)由线面垂直的判定定理直接求证；(2)先计算PD，CF的长，进而求得FG，从而三角形EDC的面积可求出，代入体积公式即得答案．(1)证明：如图，因为PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PD⊥AD.又因为ABCD是矩形，CD⊥AD，PD与CD交于点D，所以AD⊥平面PCD.又CF⊂平面PCD，所以AD⊥CF，即MD⊥CF.又MF⊥CF，MD∩MF＝M，所以CF⊥平面DMF.(2)解析：因为PD⊥DC，BC＝2，CD＝1，∠PCD＝60°，所以PD＝eq\r(3)，由(1)知FD⊥CF，在直角三角形DCF中，CF＝eq\f(1,2)CD＝eq\f(1,2).过点F作FG⊥CD，得FG＝FGsin60°＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),4)，所以DE＝FG＝eq\f(\r(3),4)，故ME＝PE＝eq\r(3)－eq\f(\r(3),4)＝eq\f(3\r(3),4)，所以MD＝eq