高中数学北师大版第一章立体几何初步 优秀奖

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．半径为r的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为()\f(\r(5),24)πr3 \f(\r(5),8)πr3\f(\r(3),24)πr3 \f(\r(3),8)πr3解析：设底面半径为r′，则2πr′＝πr，∴r′＝eq\f(r,2).∴圆锥的高h＝eq\r(r2－r′2)＝eq\f(\r(3),2)r.∴V锥＝eq\f(1,3)πr′2×h＝eq\f(1,3)π×eq\f(r2,4)×eq\f(\r(3),2)r＝eq\f(\r(3),24)πr3.答案：C2．在棱长为1的正方体中，分别用过共顶点的三条棱的中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是()\f(2,3) \f(3,4)\f(4,5) \f(5,6)解析：V正方体－8V三棱锥＝1－8×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(5,6)，故选D.答案：D3．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，主视图如图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是()A．4eq\r(5)，8 B．4eq\r(5)，eq\f(8,3)C．4(eq\r(5)＋1)，eq\f(8,3) D．8,8解析：由题意可知该四棱锥为正四棱锥，底面边长为2，高为2，侧面上的斜高为eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，所以S侧＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×\r(5)))＝4eq\r(5)，V＝eq\f(1,3)×22×2＝eq\f(8,3).答案：B4．如图，三棱台ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，则三棱锥A1－ABC，B－A1B1C，C－A1B1C1的体积之比为()A．1∶1∶1 B．1∶1∶2C．1∶2∶4 D．1∶4∶4解析：设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1B1C1＝4S.∴VA1－ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·h＝eq\f(1,3)Sh.VC－A1B1C1＝eq\f(1,3)S△A1B1C1·h＝eq\f(4,3)Sh.又V台＝eq\f(1,3)h(S＋4S＋2S)＝eq\f(7,3)Sh，∴VB－A1B1C＝V台－VA1－ABC－VC－A1B1C1＝eq\f(7,3)Sh－eq\f(Sh,3)－eq\f(4Sh,3)＝eq\f(2,3)Sh.∴体积之比为1∶2∶4.答案：C二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15πcm2，则此圆锥的体积为________cm3.解析：设圆锥的底面半径为r，高为h，则有πrl＝15π，知r＝3，∴h＝eq\r(52－32)＝4.∴其体积V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)×π×32×4＝12π.答案：12π6．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱AA1的中点．若截面△BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为________．解析：设AC＝a，CC1＝b，则BD2＝DCeq\o\al(2,1)＝a2＋eq\f(1,4)b2，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋\f(1,4)b2))×2＝a2＋b2，得b2＝2a2，又eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋\f(1,4)b2))＝6，∴a2＝8，b2＝16，∴V＝eq\f(\r(3),4)×8×4＝8eq\r(3).答案：8eq\r(3)三、解答题(每小题10分，共20分)7．如图，正三棱锥O－ABC底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积．解析：由已知条件可知，正三棱锥O－ABC的底面△ABC是边长为2的正三角形，经计算得底面△ABC的面积为eq\r(3).所以该三棱锥的体积为eq\f(1,3)×eq\r(3)×1＝eq\f(\r(3),3).设O′是正三角形ABC的中心．由正三棱锥的性质可知，OO′垂直于平面ABC.延长AO′交BC于D，得AD＝eq\r(3)，O′D＝eq\f(\r(3),3).又因为OO′＝1，所以正三棱锥的斜高OD＝eq\f(2\r(3),3).故侧面积为eq\f(1,2)×2×eq\f(2\r(3),3)×3＝2eq\r(3).所以该三棱锥的表面积为eq\r(3)＋2eq\r(3)＝3eq\r(3).因此，所求三棱锥的体积为eq\f(\r(3),3)，表面积为3eq\r(3).8．如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点．设三棱锥F－ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，求V1∶V2.解析：通过点D，E，F为中点得出三棱柱与三棱锥的底面面积以及高之间的关系，然后利用体积公式得到体积之间的比值．设三棱柱的底面ABC的面积为S，高为h，则其体积为V2＝Sh.因为D，E分别为AB，AC的中点，所以△ADE的面积等于eq\f(1,4)S.又因为F为AA1的中点，所以三棱锥F－ADE的高等于eq\f(1,2)h，于是三棱锥F－ADE的体积V1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,4)S×eq\f(1,2)h＝eq\f(1,24)Sh＝eq\f(1,24)V2，故V1∶V2＝1∶24.eq\x(尖子生题库)☆☆☆9．(10分)如图是一个底面直径为20cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6cm，高为20cm的圆锥形铅锤，且水面高于圆锥顶部，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降多少？解析：因为圆锥形铅锤的体积为eq\f(1,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\