高中数学北师大版第三章不等式单元测试 学业分层测评19

学业分层测评(十九)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值是()\f(7,2) B．4\f(9,2) D．5【解析】∵a＋b＝2，∴y＝eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)＝eq\f(a＋b,2a)＋eq\f(2a＋2b,b)＝eq\f(1,2)＋eq\f(b,2a)＋eq\f(2a,b)＋2≥eq\f(5,2)＋2eq\r(\f(b,2a)·\f(2a,b))＝eq\f(9,2)，当且仅当eq\f(b,2a)＝eq\f(2a,b)且a＋b＝2时，取“＝”．【答案】C2．如果log3m＋log3n＝4，则m＋nA．4eq\r(3) B．4C．9 D．18【解析】∵m＞0，n＞0，由log3m＋log3n＝log3mn∴mn＝81，∴m＋n≥2eq\r(mn)＝18，当且仅当m＝n＝9时等号成立．【答案】D3．若函数f(x)＝x＋eq\f(1,x－2)(x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝()A．1＋eq\r(2) B．1＋eq\r(3)C．3 D．4【解析】f(x)＝x＋eq\f(1,x－2)＝x－2＋eq\f(1,x－2)＋2.∵x＞2，∴x－2＞0，∴f(x)＝x－2＋eq\f(1,x－2)＋2≥2eq\r(x－2·\f(1,x－2))＋2＝4，当且仅当x－2＝eq\f(1,x－2)，即x＝3时等号成立．又f(x)在x＝a处取最小值，∴a＝3.【答案】C4．(2023·湖南高考)若实数a，b满足eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\r(ab)，则ab的最小值为()\r(2) B．2C．2eq\r(2) D．4【解析】由eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\r(ab)知a>0，b>0，所以eq\r(ab)＝eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)≥2eq\r(\f(2,ab))，即ab≥2eq\r(2)，当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＝\f(2,b)，,\f(1,a)＋\f(2,b)＝\r(ab)，))即a＝eq\r(4,2)，b＝2eq\r(4,2)时取“＝”，所以ab的最小值为2eq\r(2).【答案】C5．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是()A．[6，＋∞) B．[9，＋∞)C．(0,9] D．(0,6]【解析】∵a，b是正数，∴ab＝a＋b＋3≥2eq\r(ab)＋3(当a＝b时取“＝”)，即ab－2eq\r(ab)－3≥0，∴eq\r(ab)≥3或eq\r(ab)≤－1(舍去)，∴ab≥9.【答案】B二、填空题6．函数y＝a1－x(a＞0，a≠1)的图像恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn＞0)上，则eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的最小值为________．【解析】由题意知A(1,1)，∴m＋n＝1，∴eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(1,n)))(m＋n)＝2＋eq\f(n,m)＋eq\f(m,n)≥4，当且仅当m＝n时“＝”成立．【答案】47．(2023·泉州高二检测)已知两个正数x、y满足x＋y＝4，则使不等式eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)≥m恒成立的实数m的取值范围是________．【解析】∵x＋y＝4，∴eq\f(x,4)＋eq\f(y,4)＝1，∴eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,y)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)＋\f(y,4)))＝eq\f(1,4)＋eq\f(y,4x)＋eq\f(x,y)＋1＝eq\f(5,4)＋eq\f(y,4x)＋eq\f(x,y)≥eq\f(5,4)＋2eq\r(\f(y,4x)·\f(x,y))＝eq\f(5,4)＋2×eq\f(1,2)＝eq\f(9,4)，当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y,4x)＝\f(x,y)，,x＋y＝4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4,3)，,y＝\f(8,3)))时，取“＝”，要使eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)≥m恒成立，只需m≤eq\f(9,4)即可，故m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(9,4))).【答案】eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(9,4)))8．某校要建造一个容积为8m3，深为2m【解析】设底面的长为xm，宽为ym，水池总造价为z元，根据题意，有2xy＝8，∴xy＝4，且z＝240×eq\f(8,2)＋160(2×2x＋2×2y)＝120×8＋640(x＋y)≥120×8＋1280eq\r(xy)＝120×8＋1280×2＝3520.【答案】3520三、解答题9．(1)当x＜eq\f(3,2)时，求函数y＝x＋eq\f(8,2x－3)的最大值；(2)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，求3x＋4y的最小值．【解】(1)y＝eq\f(1,2)(2x－3)＋eq\f(8,2x－3)＋eq\f(3,2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3－2x,2)＋\f(8,3－2x)))＋eq\f(3,2)，∵当x＜eq\f(3,2)时，3－2x＞0，∴eq\f(3－2x,2)＋eq\f(8,3－2x)≥2eq\r(\f(3－2x,2)·\f(8,3－2x))＝4，当且仅当eq\f(3－2x,2)＝eq\f(8,3－2x)，即x＝－eq\f(1,2)时取等号，于是y≤－4＋eq\f(3,2)＝－eq\f(5,2)，故函数有最大值－eq\f(5,2).(2)∵x＞0，y＞0，∴由x＋3y＝5xy得eq\f(1,5y)＋eq\f(3,5x)＝1，∴3x＋4y＝(3x＋4y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5y)＋\f(3,5x)))＝eq\f(9,5)＋eq\f(4,5)＋eq\f(3x,5y)＋eq\f(12y,5x)≥eq\f(13,5)＋2eq\r(\f(3x,5y)·\f(12y,5x))＝5，当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3x,5y)＝\f(12y,5x)，,x＋3y＝5xy，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝\f(1,2)))时等号成立，∴3x＋4y的最小值是5.10．某开发商用9000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2000平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元．(1)若该写字楼共x层，总开发费用为y万元，求函数y＝f(x)的表达式(总开发费用＝总建筑费用＋购地费用)；(2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建多少层？【导学号：67940066】【解】(1)由已知，写字楼最下面一层的总建筑费用为：4000×2000＝8000000(元)＝800(万元)，从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多：100×2000＝200000(元)＝20(万元)，写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，20为公差的等差数列，所以函数表达式为：y＝f(x)＝800x＋eq\f(xx－1,2)×20＋9000＝10x2＋790x＋9000(x∈N*)．(2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为：g(x)＝eq\f(fx,2000x)×10000＝eq\f(510x2＋790x＋9000,x)＝50eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(900,x)＋79))≥50×(2eq\r(900)＋79)＝6950(元)，当且仅当x＝eq\f(900,x)，即x＝30时等号成立，故该写字楼应建30层．[能力提升]1．已知a＞0，b＞0，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋2eq\r(ab)的最小值是()A．2 B．2eq\r(2)C．4 D．5【解析】∵eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋2eq\r(ab)≥2eq\r(\f(1,ab))＋2eq\r(ab)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(1,ab))＋\r(ab)))≥2×2＝4，当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＝\f(1,b)，,\r(\f(1,ab))＝\r(ab)，))即a＝b＝1时等号成立．【答案】C2．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当eq\f(z,xy)取得最小值时，x＋2y－z的最大值为()A．0 B．eq\f(9,8)C．2 D．eq\f(9,4)【解析】eq\f(z,xy)＝eq\f(x2－3xy＋4y2,xy)＝eq\f(x,y)＋eq\f(4y,x)－3≥2eq\r(\f(x,y)·\f(4y,x))－3＝1，当且仅当x＝2y时等号成立，因此z＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，所以x＋2y－z＝4y－2y2＝－2(y－1)2＋2≤2.【答案】C3．(2023·山东高考)定义运算“⊗”：x⊗y＝eq\f(x2－y2,xy)(x，y∈R，xy≠0)．当x>0，y>0时，x⊗y＋(2y)⊗x的最小值为________．【解析】因为xy＝eq\f(x2－y2,xy)，所以(2y)x＝eq\f(4y2－x2,2xy).又x>0，y>0，故xy＋(2y)x＝eq\f(x2－y2,xy)＋eq\f(4y2－x2,2xy)＝eq\f(x2＋2y2,2xy)≥eq\f(2\r(2)xy,2xy)＝eq\r(2)，当且仅当x＝eq\r(2)y时，等号成立．【答案】eq\r(2)4．已知A、B两地相距200km，一只船从A地逆水到B地，水速为8km/h，船在静水中的速度为vkm/h(8＜v≤v0)．若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当v＝12km/h时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的静水速度v应为多少？(v0＞16)【解】设每小时燃料费为y1，比例系数为k(k＞0)，则y1＝kv2.当v＝12时，y1＝720，∴720＝k·122，得k＝5.设全程燃料费为y，依题意得：y＝y1·eq\f(200,v－8)＝eq\f(1000v2,v－8)＝1000·eq\f(v2－64＋64,v－8)＝1000eq\b\lc\(\rc\)(\