高中数学北师大版第四章函数应用函数与方程第4章

第四章§1A级基础巩固1．函数f(x)＝－x2＋4x－4在区间[1,3]上eq\x(导学号00814956)(B)A．没有零点 B．有一个零点C．有两个零点 D．有无数个零点[解析]∵f(x)＝－(x－2)2＝0，∴x＝2∈[1,3]，故选B．2．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是不间断的，并且f(a)·f(b)<0，则这个函数在该区间上eq\x(导学号00814957)(D)A．只有一个零点 B．有二个零点C．不一定有零点 D．至少有一个零点[解析]若y＝f(x)在[a，b]上单调，f(a)·f(b)<0说明只有一个零点且为变号零点．若不单调，零点个数有可能多于一个．故选D．3．函数f(x)＝x3－x2－x＋1在[0,2]上eq\x(导学号00814958)(C)A．有3个零点 B．有2个零点C．有1个零点 D．没有零点[解析]∵f(0)＝1>0，f(1)＝0，f(2)＝3>0，∴有一个零点．4．下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是eq\x(导学号00814959)(C)[解析]A中函数没有零点，因此不能用二分法求零点；B中函数的图像不连续；D中函数在x轴下方没有图像，故选C．5．已知连续函数y＝f(x)，有f(a)·f(b)<0(a<b)，则y＝f(x)eq\x(导学号00814960)(B)A．在区间[a，b]中可能没有零点B．在区间[a，b]中至少有一个零点C．在区间[a，b]中零点的个数为奇数D．在区间[a，b]中零点的个数为偶数[解析]因为f(a)·f(b)<0，所以由函数零点的性质判断，得f(x)在区间[a，b]中至少存在一个零点．6．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0，在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f>0，f<0，则方程的根落在区间eq\x(导学号00814961)(A)A．, B．(1,C．,2) D．不能确定[解析]∵f>0，f<0，∴根落在区间,间，故选A．7.若函数y＝mx2＋x－2没有零点，则实数m的取值范围是(－∞，－eq\f(1,8)).eq\x(导学号00814962)[解析]当m＝0时，函数有零点，所以应有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≠0,Δ＝1＋8m<0，))解得m<－eq\f(1,8).8．已知函数f(2x)＝3x2＋1，则f(x＋5)有_0__个零点.eq\x(导学号00814963)[解析]∵f(2x)＝3x2＋1，∴f(x)＝eq\f(3x2,4)＋1，∴y＝f(x＋5)＝eq\f(3x＋52,4)＋1，令y＝0，方程无解．即f(x＋5)无零点．9．求证：方程5x2－7x－1＝0的根一个在区间(－1,0)上，另一个在区间(1,2)上.eq\x(导学号00814964)[解析]设f(x)＝5x2－7x－1，则f(－1)·f(0)＝11×(－1)＝－11<0，f(1)·f(2)＝(－3)×5＝－15<0.而二次函数f(x)＝5x2－7x－1是连续的，∴f(x)在(－1,0)和(1,2)上各有一个零点，即方程5x2－7x－1＝0的根一个在(－1,0)上，另一个在(1,2)上．10．求函数y＝x3－4x的零点，并画出它的图像.eq\x(导学号00814965)[解析]∵x3－4x＝x(x2－4)＝x(x－2)(x＋2)，∴函数y＝x3－4x的零点为0，－2,2，这三个零点把x轴分成4个区间：(－∞，－2]，(－2,0]，(0,2]，(2，＋∞)，在这4个区间内，取x的一些值(包括零点)．列出这个函数的对应值表：x…－－2－1－012…y…－030－－30…在直角坐标系中描点作图，图像如图所示：B级素养提升1．根据表格中的数据，可以断定方程ex－(x＋2)＝0(e≈的一个根所在的区间是eq\x(导学号00814966)(C)x－10123ex1x＋212345A．(－1,0) B．(0,1)C．(1,2) D．(2,3)[解析]判断ex－(x＋2)＝0的一个根所在的区间转化为f(x)＝ex－(x＋2)零点的位置，∵f(1)＝e1－(1＋2)<0，f(2)＝－4>0.∴零点在(1,2)内．2．对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)>0，f(b)>0，则函数f(x)在区间(a，b)内eq\x(导学号00814967)(C)A．一定有零点 B．一定没有零点C．可能有两个零点 D．至多有一个零点[解析]如图，若函数f(x)的图像及给定的区间(a，b)如图(1)或图(2)所示，可知A错，若如图(3)所示，可知B错、D错，C对．3．已知函数f(x)的图像是连续不断的，且有如下的对应值表：eq\x(导学号00814968)x－2－101234567f(x)－136－2161913－1－8－2429则下列判断正确的是_(1)(2)(3)__．(1)函数f(x)在区间(－1,0)内至少有一个零点；(2)函数f(x)在区间(2,3)内至少有一个零点；(3)函数f(x)在区间(5,6)内至少有一个零点；(4)函数f(x)在区间(－1,7)内有三个零点．[解析]观察对应值表，不难得到f(－1)·f(0)<0，f(2)·f(3)<0，f(5)·f(6)<0，故函数f(x)在区间(－1,0)，(2,3)，(5,6)内至少各有一个零点．而(－1,7)内至少有三个零点．故应填(1)(2)(3)．4．(2023·北京高考)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－a，x＜1，,4x－ax－2a，x≥1.))eq\x(导学号00814969)①若a＝1，则f(x)的最小值为_－1__；②若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是eq\f(1,2)≤a<1或a≥2.[解析]①a＝1时f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1，x<1，,4x－1x－2，x≥1.))函数f(x)在(－∞，1)上为增函数，函数值大于1，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))为减函数，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))为增函数，当x＝eq\f(3,2)时，f(x)取得最小值为－1；②若函数f(x)＝2x－a在x<1时与x轴有一个交点，则a>0，并且当x＝1时，f(1)＝2－a>0，则0<a<2，函数f(x)＝4(x－a)(x－2a)与x轴有一个交点，所以2a≥1且a<1⇒eq\f(1,2)≤a<1；若函数f(x)＝2x－a与x轴无交点，则函数f(x)＝4(x－a)(x－2a)与x轴两个交点，当a≤0时f(x)与x轴无交点，f(x)＝4(x－a)(x－2a)在x≥1与x轴无交点，不合题意；当f(1)＝2－a≥0时，a≥2，f(x)与x轴有两个交点，x＝a和x＝2a，由于a≥2，两交点横坐标均满足x≥1；综上所述a的取值范围eq\f(1,2)≤a<1或a≥2.5．图像连续不间断的函数f(x)的部分对应值如表所示：eq\x(导学号00814970)x123456789f(x)148－2273－2－18试判断函数f(x)在哪几个区间内一定有零点？[解析]∵f(2)＝8>0，f(3)＝－2<0，函数f(x)图像又是连续不间断的，∴一定存在x0∈(2,3)，使f(x0)＝0，即f(x)在(2,3)内有零点．同理，f(x)在区间(3,4)，(6,7)，(8,9)上也有零点，而且是变号零点．6．中央电视台曾有一档娱乐节目“幸运52”，主持人李咏会给选手在限定时间内猜某一物品售价的机会，如果猜中，就把物品奖励给选手，同时获得一枚商标．某次猜一种品牌的手机，手机价格在500～1000元之间．选手开始报价：1000元，主持人回答：高了；紧接着报价900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，你猜中了，表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上，游戏报价的过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？eq\x(导学号00814971)[解析]取价格区间[500,1000]的中点750，如果主持人说低了，就再取[750,1000]的中点875；否则取另一个区间[500,750]的中点；若遇到小数，则取整数．照这样的方案，游戏过程猜价如下：750,875,812,843,859,851，经过6次可以猜中价格．C级能力拔高求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,]内的一个零点(精确到.eq\x(导学号00814972)[解析]由于f(1)＝1－1－1＝－1<0，f＝－－1＝>0，∴f(x)在区间[1,]内存在零点，取区间[1,]作