高中数学人教A版第二章点直线平面之间的位置关系 课时提升作业(十五)

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(十五)直线与平面垂直的性质(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上),过该点作另一个底面的垂线,则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是()A.相交 B.平行 C.异面 D.相交或平行【解析】选B.由于这条垂线与圆柱的母线都垂直于底面,所以它们平行.2.(2023·枣庄高一检测)△ABC所在的平面为α,直线l⊥AB,l⊥AC,直线m⊥BC,m⊥AC,则直线l,m的位置关系是()A.相交 B.平行C.异面 D.不确定【解析】选B.因为直线l⊥AB,l⊥AC,AB∩AC=A,所以l⊥α,同理直线m⊥α.由线面垂直的性质定理可得l∥m.3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则直线CE垂直于() 【解析】选B.如图所示,连接AC,BD,因为BD⊥AC,A1C1∥AC,所以BD⊥A1C1,因为BD⊥A1A,所以BD⊥平面ACC1A1,因为CE⊂平面ACC1A1,所以BD⊥CE.垂直于以AB为直径的圆所在的平面,C为圆上异于A,B的任一点,则下列关系不正确的是()⊥BC ⊥AB⊥PB ⊥平面PAC【解析】选⊥平面ABC,得PA⊥BC,PA⊥AB,A,B正确;又BC⊥AC,所以BC⊥平面PAC,D正确.所以选C.5.(2023·濮阳高一检测)若l,m,n表示不重合的直线,α表示平面,则下列说法中正确的个数为()①l∥m,m∥n,l⊥α⇒n⊥α;②l∥m,m⊥α,n⊥α⇒l∥n;③m⊥α,n⊂α⇒m⊥n. 【解析】选C.①正确,因为l∥m,m∥n,所以l∥n.又l⊥α,所以n⊥α;②正确,因为l∥m,m⊥α,所以l⊥α.又n⊥α,所以l∥n;③正确,由线面垂直的定义可知其正确.故正确的有3个.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知PA垂直于平行四边形ABCD所在平面,若PC⊥BD,平行四边形ABCD一定是.【解析】由题意知,BD⊥平面PAC,所以BD⊥AC,又四边形ABCD是平行四边形,所以ABCD一定是菱形.答案:菱形7.已知AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,如图所示,且AF=DE,AD=6,则EF=.【解析】因为AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,所以AF∥DE,又AF=DE,所以四边形AFED是平行四边形,所以EF=AD=6.答案:6【举一反三】地面上有两根相距a米的旗杆,它们的高分别是b米和c米(b>c),则它们上端的距离为.【解析】由线面垂直的性质定理可知:两根旗杆所在直线互相平行.如图所示,它们上端的距离d=a2答案:a28.(2023·南阳高一检测)已知直线m⊂平面α,直线n⊂平面α,m∩n=M,直线a⊥m,a⊥n,直线b⊥m,b⊥n,则直线a,b的位置关系是.【解析】因为直线a⊥m,a⊥n,直线m⊂平面α,直线n⊂平面α,m∩n=M,所以a⊥α,同理可证直线b⊥α.所以a∥b.答案:a∥b三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2023·石家庄高一检测)如图,PA⊥正方形ABCD所在平面,经过A且垂直于PC的平面分别交PB,PC,PD于E,F,G,求证:AE⊥PB.【解题指南】欲证AE⊥PB,可将问题转化为证明AE⊥平面PBC.【证明】因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BC.又四边形ABCD是正方形,所以AB⊥BC.因为AB∩PA=A,所以BC⊥平面PAB.因为AE⊂平面PAB,所以BC⊥AE.由PC⊥平面AEFG,得PC⊥AE,因为PC∩BC=C,所以AE⊥平面PBC.因为PB⊂平面PBC,所以AE⊥PB.10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中.求证:(1)B1D⊥平面A1C1B.(2)B1D与平面A1C1B的交点设为O,则点O是△A1C1B的垂心.【证明】(1)连接B1D1,则A1C1⊥B1D1.又有DD1⊥A1C1,B1D1∩DD1=D1,所以A1C1⊥平面B1DD1,B1D⊂平面B1DD1,从而A1C1⊥B1D.同理可证:A1B⊥B1D.又因为A1C1∩A1B=A1,所以B1D⊥平面A1C1B.(2)连接BO,A1O,C1O.由BB1⊥A1C1,B1O⊥A1C1,BB1∩B1O=B1,得到A1C1⊥平面BB1O.所以A1C1⊥BO.同理,A1B⊥C1O,BC1⊥A1O.故点O是△A1C1B的垂心.【补偿训练】如图,四边形ABCD为矩形,AD⊥平面ABE,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.(1)求证:AE⊥平面BCE.(2)设M在线段AB上,且满足AM=2MB,试在线段CE上确定一点N,使得MN∥平面DAE.【解析】(1)因为AD⊥平面ABE,AD∥BC,所以BC⊥平面ABE,则AE⊥BC,又因为BF⊥平面ACE,则AE⊥BF,又BC∩BF=B,所以AE⊥平面BCE.(2)在三角形ABE中过M点作MG∥AE交BE于点G,在三角形BEC中,过G点作GN∥BC交EC于点N,连接MN,由比例关系易得CN=13因为MG∥AE,MG⊄平面ADE,AE⊂平面ADE,所以MG∥平面ADE,同理,GN∥平面ADE,又MG∩GN=G,所以平面MGN∥平面ADE,又MN⊂平面MGN,所以MN∥平面ADE,所以N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列说法正确的是()A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m∥α,m∥β,则α∥βC.若m∥n,m⊥α,则n⊥α D.若m∥α,α⊥β,则m⊥β【解析】选C.设直线a⊂α,b⊂α,a∩b=A,因为m⊥α,所以m⊥a,m⊥b.又n∥m,所以n⊥a,n⊥b,所以n⊥α.2.(2023·辽宁高考)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是()A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m⊥α,n⊂α,则m⊥nC.若m⊥α,m⊥n,则n∥α D.若m∥α,m⊥n,则n⊥α【解析】选B.对于选项A,若m∥α,n∥α,则m与n可能相交、平行或异面,A错误;显然选项B正确;对于选项C,若m⊥α,m⊥n,则n⊂α或n∥α,C错误;对于选项D,若m∥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α或n与α相交,D错误.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2023·开封高一检测)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,当底面四边形ABCD满足条件时,有A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情况).【解题指南】因为B1D1∥BD,所以只需寻求BD⊥A1C的条件,即证BD⊥平面A1AC.【解析】当BD⊥AC时,BD⊥AA1,所以BD⊥平面A1AC,从而BD⊥A1C,又B1D1∥BD,所以A1C⊥B1D1.答案:BD⊥AC(答案不唯一)4.(2023·瑞安高一检测)AB是☉O的直径,点C是☉O上的动点(点C不与A,B重合),过动点C的直线VC垂直于☉O所在的平面,D,E分别是VA,VC的中点,则下列结论中正确的是(填写正确命题的序号).(1)直线DE∥平面ABC.(2)直线DE⊥平面VBC.(3)DE⊥VB.(4)DE⊥AB.【解析】因为AB是☉O的直径,点C是☉O上的动点(点C不与A,B重合),所以AC⊥BC,因为VC垂直于☉O所在的平面,所以AC⊥VC,又BC∩VC=C,所以AC⊥平面VBC,因为D,E分别是VA,VC的中点,所以DE∥AC,又DE⊄平面ABC,所以DE∥平面ABC,DE⊥平面VBC,DE⊥VB,DE与AB所成的角为∠BAC,是锐角,故DE⊥AB不成立.由以上分析可知(1)(2)(3)正确.答案:(1)(2)(3)三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2023·攀枝花高一检测)如图,已知平面α∩平面β=AB,PQ⊥α于Q,PC⊥β于C,CD⊥α于D.(1)求证:P,C,D,Q四点共面.(2)求证:QD⊥AB.【证明】(1)PQ⊥α,CD⊥α.所以PQ∥CD.于是P,Q,C,D四点共面.(2)因为AB⊂α,所以PQ⊥AB,又因为PC⊥β,AB⊂β,所以PC⊥AB,又因为PQ∩PC=P,设P,Q,C,D四点共面于γ,则AB⊥γ,又因为QD⊂γ,所以AB⊥QD.6.已知:a,b是两条异面直线,a⊥α,b⊥β,α∩β=l,AB是a,b公垂线,交a于A,交b于B.求证:AB∥l.【证明】过A作b′∥b,则a,b′可确定一平面γ,因为AB是异面垂线的公垂线,即AB⊥a,AB⊥b,所以AB⊥b′,所以AB⊥γ