高中数学高考三轮冲刺 优质课奖

K单元概率目录K单元概率 1K1随事件的概率 1K2古典概型 3K3几何概型 10K4互斥事件有一个发生的概率 12K5相互对立事件同时发生的概率 15K6离散型随机变量及其分布列 17K7条件概率与事件的独立性 24K8离散型随机变量的数字特征与正态分布 25K9单元综合 25K1随事件的概率【【名校精品解析系列】数学理卷·2023届湖南省高三十三校联考第二次考试（202304）word版】5．已知函数，集合，现从M中任取两个不同的元素，则的概率为()A． B． C． D．【知识点】三角函数的化简求值；等可能事件的概率．C7K1【答案】【解析】A解析：已知函数，集合，现从M中任取两个不同的元素，则m=3，9时，满足f（m）•f（n）=0的个数为m=3时8个m=9时8个，n=3时8个，n=9时8个，重复2个，共有30个．从A中任取两个不同的元素m，n，则f（m）•f（n）的值有72个，所以函数，集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，从A中任取两个不同的元素m，n，则的概率为：=，故选A．【思路点拨】对于m值，求出函数的值，然后用排列组合求出满足的个数，以及所有的个数，即可得到的概率．【【名校精品解析系列】数学理卷·2023届江西省八所重点中学高三联考（202304）Word版】6.在某次联考数学测试中，学生成绩服从正态分布，若在内的概率为，则落在内的概率为（）A. B. C.D.【知识点】正态分布；概率I3K1【答案】【解析】B解析：∵ξ服从正态分布N（100，σ2）∴曲线的对称轴是直线x=100，∵ξ在（80，120）内取值的概率为，∴ξ在（0，100）内取值的概率为，∴ξ在（0，80）内取值的概率为﹣=．故选：B．【思路点拨】根据ξ服从正态分布N（100，σ2），得到曲线的对称轴是直线x=100，利用ξ在（80，120）内取值的概率为，即可求得结论．【【名校精品解析系列】数学文卷·2023届福建省高三毕业班质量检查（202304）WORD版】18．（本小题满分12分）2023年我国将加快阶梯水价推行，原则是“保基本、建机制、促节约”，其中“保基本”是指保证至少80%的居民用户用水价格不变．为响应国家政策，制定合理的阶梯用水价格，某城市采用简单随机抽样的方法分别从郊区和城区抽取5户和20户居民的年人均用水量进行调研，抽取的数据的茎叶图如下（单位：吨）：（Ⅰ）在郊区的这5户居民中随机抽取2户，求其年人均用水量都不超过30吨的概率；（Ⅱ）设该城市郊区和城区的居民户数比为，现将年人均用水量不超过30吨的用户定义为第一阶梯用户，并保证这一梯次的居民用户用水价格保持不变．试根据样本估计总体的思想，分析此方案是否符合国家“保基本”政策．【知识点】统计与概率I2K1【答案】【解析】(I)(II)符合解析：解：（Ⅰ）从5户郊区居民用户中随机抽取2户，其年人均用水量构成的所有基本事件是：（19,25），（19,28），（19,32），（19,34），（25,28），（25,32），（25,34），（28,32），（28,34），（32,34）共10个.其中年人均用水量都不超过30吨的基本事件是:（19,25），（19,28），（25,28）共3个．设“从5户郊区居民用户中随机抽取2户，其年人均用水量都不超过30吨”的事件为，则所求的概．（Ⅱ）设该城市郊区的居民用户数为，则其城区的居民用户数为．依题意，该城市年人均用水量不超过30吨的居民用户的百分率为：．故此方案符合国家“保基本”政策．【思路点拨】根据题意可求出总的基本结果数，再求出不超过30吨的基本结果数，即可求出概率，根据用户的百分比可知方案符合国家政策.K2古典概型【【名校精品解析系列】数学（理）卷·2023届福建省普通高中毕业班质量检查（202304）】18.“抢红包“的网络游戏给2023年的春节增添了一份趣味。”抢红包“有多种玩法，小明参加一种接龙红包游戏：小明在红包里装了9元现金，然后发给朋友A，并给出金额所在区间，让A猜（所猜金额为整数元；下同），如果A猜中,A将获得红包里的金额；如果A未猜中，A将当前的红包转发给朋友B，同时给出金额所在区间，让B猜，如果B猜中，A和B可以评分红包里的金额；如果B未猜中，B要将当前的红包转发个朋友C，同时给出金额所在区间，让C猜，如果C猜中，A、B和C可以评分红包里的金额；如果C未猜中，红包里的资金将退回小明的账户。（Ⅰ）、求A恰好得到3元的概率（Ⅱ）、设A所获得的金额为X元，求X的分布列及数学期望(Ⅲ)、从统计学的角度而言，A所获得的金额是否超过B和C两人所获得的金额之和?并说明理由【知识点】古典概型，相互独立事件的概率，互斥事件的概率，随机变量分布列，数学期望.K2K4K5K6K8【答案】【解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）所以X得分布列为；（Ⅲ）不能，理由：见解析.解析：（Ⅰ）记“A恰好得到3元”的事件为M，则.（Ⅱ）X可能变得取值为0,3,,9.由（Ⅰ）得,.所以X得分布列为.（Ⅲ）设B得到的金额为Y元，则Y的可能取值为0,3,.,所以Y的分布列为.设C得到的金额为Z元，则Z的可能取值为0，3.,.所以Z的分布列为.因此.所以从统计学的角度而言，A所获得的金额不能超过B和C两人所获得的金额之和.【思路点拨】（Ⅰ）利用古典概型的概率公式求解；(Ⅱ)先写出X的所有可能取值，然后求X取各值时的概率，得X的分布列，进而求得随机变量X的期望；（Ⅲ）再分别求出B、C两人所得金额的期望，与A所得金额的期望比较得结论.【【名校精品解析系列】数学理卷·2023届辽宁省沈阳市东北育才学校高三第五次模拟考试（202303）】14.有一名同学在书写英文单词“error”时，只是记不清字母的顺序，那么他写错这个单词的概率是.【知识点】古典概型的概率求法.K2【答案】【解析】解析：五个位置的全排列为5！，其中三个r位置无论如何互换都正确，即在5！种排法中，有3！种正确排法，所以所求概率为：.【思路点拨】先求正确排法种数及所有排法种数，再用减法得所求概率.【【名校精品解析系列】数学理卷·2023届河南省郑州市高三第二次质量预测（202303）WORD版】19.（本小题满分12分）某商场每天（开始营业时）以每件150元的价格购人A商品若千件(A商品在商场的保鲜时间为10小时，该商场的营业时间也恰好为10小时），并开始以每件300元的价格出售，若前6小时内所购进的商品没有售完，则商场对没卖出的A商品将以每件100元的价格低价处理完毕（根据经验,4小时内完全能够把A商品低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再购进A商品）．该商场统计了100天A商品在每天的前6小时内的销售量，制成如下表格（注：视频率为概率）．（其中x＋y＝70)（I）若某天该商场共购人6件该商品，在前6个小时中售出4件．若这些产品被6名不同的顾客购买，现从这6名顾客中随机选2人进行服务回访，则恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个以100元价格购买的顾客的概率是多少？（II）若商场每天在购进5件A商品时所获得的平均利润最大，求x的取值范围．【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差．K2K6【答案】【解析】(Ⅰ);（Ⅱ）解析：（1）恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个以100元价格购买的顾客的概率是A,则………3分（2）设销售A商品获得的利润为（单位：元）,依题意,视频率为概率，为追求更多的利润，则商店每天购进的A商品的件数取值可能为4件，5件，6件.当购进A商品4件时，当购进A商品5件时，当购进A商品6件时，=………9分由题意，解得，又知，所以x的取值范围为，.………12分【思路点拨】（1）根据排列组合，可以求出总的事件的个数和满足条件的基本事件的个数，根据概率公式计算即可；（2）设销售A商品获得利润为X，则商店每天购进的A商品的件数取值可能为4件，5件，6件，分别求出其利润，根据题意列出不等式解得即可．【【名校精品解析系列】数学文卷·2023届湖南省高三十三校联考第二次考试（202304）】16、（本小题满分12分）编号分别为A1，A2，…，A16的16名校篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：（1）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：区间[10,20)[20,30)[30,40]人数（2）从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，①用运动员编号列出所有可能的抽取结果；②求这2人得分之和大于50的概率．【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；古典概型及其概率计算公式．K2【答案】【解析】（1）4，6，6（2）eq\f(1,3)解析：（1）由已知中编号为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录表易得：得分在区间[10，20）上的共4人，在区间[20，30）上的共6人，在区间[30，40]上的共6人，故答案为4，6，6………4分（2）①得分在区间[20,30)内的运动员编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13。从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A10}，{A3，A11}，{A3，A13}，{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A4，A13}，{A5，A10}，{A5，A11}，{A5，A13}，{A10，A11}，{A10，A13}，{A11，A13}，共15种； ………8分②“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”(记为事件B)的所有可能结果有：{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A5，A10}，{A10，A11}，共5种；所以P(B)＝eq\f(5,15)＝eq\f(1,3)． ………12分【思路点拨】（1）根据已知中编号为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录表，我们易得出得分在对应区间内的人数．（2）①根据（1）的结论，我们易列出在区间[20，30）内的运动员中随机抽取2人，所有可能的抽取结果；②列出这2人得分之和大于50分的基本事件的个数，代入古典概型公式即可得到这2人得分之和大于50分的概率．【【名校精品解析系列】数学文卷·2023届广东省茂名市高三第二次模拟考试（202304）WORD版】17、（本小题满分12分）某市为增强市民的环境保护意识,征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组,第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，则应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，该市决定从3，4组抽取的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.【知识点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．I2K2【答案】【解析】（1）（2）解析：（1）由频率直方图可知：第3组的人数为……1分第4组的人数为…………2分第5的人数为………………3分所以用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组：第4组：（2）记第3组的3名志愿者为第4组的2名志愿者为………………6分则5名志愿者中抽取的2名志愿者有：，，，，，，，，共10种……9分其中第4组的2名志愿者为至少有一名志愿者被抽中的有：，，，，，，共有7种…11分所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为……………12分【思路点拨】（1）先分别求出这3组的人数，再利用分层抽样的方法即可得出答案；（2）利用古典概型的概率计算公式、互斥事件及相互独立事件的概率计算公式即可得出．【【名校精品解析系列】数学文卷·2023届广东省广雅中学高三3月月考（202303）】17．（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取20件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量得到如图3的频率分布直方图，从左到右各组的频数依次记为，，，，．⑴求图3中的值；⑵图4是统计图3中各组频数的一个算法流程图，求输出的结果；⑶从质量指标值分布在、的产品中随机抽取2件产品，求所抽取两件产品的质量指标值之差大于10的概率．【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；程序框图．K2L1【答案】【解析】⑴；⑵18；（3）解析：⑴依题意，……2分解得……3分⑵，，，，……6分（、、各1分）输出的……8分（列式、结果各1分）⑶记质量指标在的4件产品为，，，，质量指标在的1件产品为，则从5件产品中任取2件产品的结果为：，，，，，，，，，，共10种……10分记“两件产品的质量指标之差大于10”为事件A，则事件A中包含的基本事件为：，，，共4种……11分∴……12分【思路点拨】（1）依题意，利用频率之和为1，直接求解a的值．（2）由频率分布直方图可求A1，A2，A3，A4，A5的值，由程序框图可得S=A2+A3+A4，代入即可求值．（3）记质量指标在[110，120）的4件产品为x1，x2，x3，x4，质量指标在[80，90）的1件产品为y1，可得从5件产品中任取2件产品的结果共10种，记“两件产品的质量指标之差大于10”为事件A，可求事件A中包含的基本事件共4种，从而可求得P（A）．K3几何概型【【名校精品解析系列】数学（理）卷·2023届福建省普通高中毕业班质量检查（202304）】13.在中，,,，若在线段上任取一点,则为锐角的概率是______【知识点】几何概型的概率公式的应用.K3【答案】【解析】解析：当∠BAD是直角时，BD=2，使为锐角的线段BD的取值范围是（0,2），所以所求概率为.【思路点拨】根据几何概型的概率公式，只需求出使为锐角的线段BD的长，此长除以线段BC的长度为所求.【【名校精品解析系列】数学文卷·2023届辽宁省沈阳市东北育才学校高三第五次模拟考试（202304）】13.公共汽车在8：00到8：20内随机地到达某站，某人8:15到达该站，则他能等到公共汽车的概率为____________．【知识点】概率K3【答案】【解析】解析：由几何概型可知他能等到车的概率为【思路点拨】根据几何概型的定义可直接求出概率的值.【【名校精品解析系列】数学文卷·2023届福建省高三毕业班质量检查（202304）WORD版】15．如图，函数的图象经过矩形的顶点．若在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于__________．【知识点】概率K3【答案】【解析】解析：由图可知阴影部分的面积占整个矩形ABCD的面积的一半，所以随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于【思路点拨】根据概率的定义可由图直接分析出结果.【【名校精品解析系列】数学文卷·2023届广东省广雅中学高三3月月考（202303）】6．某人午睡醒，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，他等待的时间不多于15分钟的概率是A．B．C．D．【知识点】几何概型K3【答案】【解析】C解析：由题意知这是一个几何概型，

∵电台整点报时，∴事件总数包含的时间长度是60，

∵满足他等待的时间不多于15分钟的事件包含的时间长度是15，

由几何概型公式得到,故选B．【思路点拨】由电台整点报时的时刻是任意的知这是一个几何概型，电台整点报时知事件总数包含的时间长度是60，而他等待的时间不多于15分钟的事件包含的时间长度是15，两值一比即可求出所求．【【名校精品解析系列】数学（理）卷·2023届湖北省黄冈中学等八校高三第二次模拟考试（202304）WORD版】6.设不等式组所表示的区域为，函数的图象与轴所围成的区域为,向内随机投一个点,则该点落在内的概率为A. B.C. D.【知识点】简单的线性规划;几何概型E5K3【答案】【解析】B解析：区域的面积为，区域的面积为，由几何概型知所求概率为.【思路点拨】先求出区域以及区域的面积,再利用几何概型知所求概率.K4互斥事件有一个发生的概率【【名校精品解析系列】数学（理）卷·2023届福建省普通高中毕业班质量检查（202304）】18.“抢红包“的网络游戏给2023年的春节增添了一份趣味。”抢红包“有多种玩法，小明参加一种接龙红包游戏：小明在红包里装了9元现金，然后发给朋友A，并给出金额所在区间，让A猜（所猜金额为整数元；下同），如果A猜中,A将获得红包里的金额；如果A未猜中，A将当前的红包转发给朋友B，同时给出金额所在区间，让B猜，如果B猜中，A和B可以评分红包里的金额；如果B未猜中，B要将当前的红包转发个朋友C，同时给出金额所在区间，让C猜，如果C猜中，A、B和C可以评分红包里的金额；如果C未猜中，红包里的资金将退回小明的账户。（Ⅰ）、求A恰好得到3元的概率（Ⅱ）、设A所获得的金额为X元，求X的分布列及数学期望(Ⅲ)、从统计学的角度而言，A所获得的金额是否超过B和C两人所获得的金额之和?并说明理由【知识点】古典概型，相互独立事件的概率，互斥事件的概率，随机变量分布列，数学期望.K2K4K5K6K8【答案】【解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）所以X得分布列为；（Ⅲ）不能，理由：见解析.解析：（Ⅰ）记“A恰好得到3元”的事件为M，则.（Ⅱ）X可能变得取值为0,3,,9.由（Ⅰ）得,.所以X得分布列为.（Ⅲ）设B得到的金额为Y元，则Y的可能取值为0,3,.,所以Y的分布列为.设C得到的金额为Z元，则Z的可能取值为0，3.,.所以Z的分布列为.因此.所以从统计学的角度而言，A所获得的金额不能超过B和C两人所获得的金额之和.【思路点拨】（Ⅰ）利用古典概型的概率公式求解；(Ⅱ)先写出X的所有可能取值，然后求X取各值时的概率，得X的分布列，进而求得随机变量X的期望；（Ⅲ）再分别求出B、C两人所得金额的期望，与A所得金额的期望比较得结论.K5相互对立事件同时发生的概率【【名校精品解析系列】数学（理）卷·2023届福建省普通高中毕业班质量检查（202304）】18.“抢红包“的网络游戏给2023年的春节增添了一份趣味。”抢红包“有多种玩法，小明参加一种接龙红包游戏：小明在红包里装了9元现金，然后发给朋友A，并给出金额所在区间，让A猜（所猜金额为整数元；下同），如果A猜中,A将获得红包里的金额；如果A未猜中，A将当前的红包转发给朋友B，同时给出金额所在区间，让B猜，如果B猜中，A和B可以评分红包里的金额；如果B未猜中，B要将当前的红包转发个朋友C，同时给出金额所在区间，让C猜，如果C猜中，A、B和C可以评分红包里的金额；如果C未猜中，红包里的资金将退回小明的账户。（Ⅰ）、求A恰好得到3元的概率（Ⅱ）、设A所获得的金额为X元，求X的分布列及数学期望(Ⅲ)、从统计学的角度而言，A所获得的金额是否超过B和C两人所获得的金额之和?并说明理由【知识点】古典概型，相互独立事件的概率，互斥事件的概率，随机变量分布列，数学期望.K2K4K5K6K8【答案】【解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）所以X得分布列为；（Ⅲ）不能，理由：见解析.解析：（Ⅰ）记“A恰好得到3元”的事件为M，则.（Ⅱ）X可能变得取值为0,3,,9.由（Ⅰ）得,.所以X得分布列为.（Ⅲ）设B得到的金额为Y元，则Y的可能取值为0,3,.,所以Y的分布列为.设C得到的金额为Z元，则Z的可能取值为0，3.,.所以Z的分布列为.因此.所以从统计学的角度而言，A所获得的金额不能超过B和C两人所获得的金额之和.【思路点拨】（Ⅰ）利用古典概型的概率公式求解；(Ⅱ)先写出X的所有可能取值，然后求X取各值时的概率，得X的分布列，进而求得随机变量X的期望；（Ⅲ）再分别求出B、C两人所得金额的期望，与A所得金额的期望比较得结论.K6离散型随机变量及其分布列【【名校精品解析系列】数学（理）卷·2023届福建省普通高中毕业班质量检查（202304）】18.“抢红包“的网络游戏给2023年的春节增添了一份趣味。”抢红包“有多种玩法，小明参加一种接龙红包游戏：小明在红包里装了9元现金，然后发给朋友A，并给出金额所在区间，让A猜（所猜金额为整数元；下同），如果A猜中,A将获得红包里的金额；如果A未猜中，A将当前的红包转发给朋友B，同时给出金额所在区间，让B猜，如果B猜中，A和B可以评分红包里的金额；如果B未猜中，B要将当前的红包转发个朋友C，同时给出金额所在区间，让C猜，如果C猜中，A、B和C可以评分红包里的金额；如果C未猜中，红包里的资金将退回小明的账户。（Ⅰ）、求A恰好得到3元的概率（Ⅱ）、设A所获得的金额为X元，求X的分布列及数学期望(Ⅲ)、从统计学的角度而言，A所获得的金额是否超过B和C两人所获得的金额之和?并说明理由【知识点】古典概型，相互独立事件的概率，互斥事件的概率，随机变量分布列，数学期望.K2K4K5K6K8【答案】【解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）所以X得分布列为；（Ⅲ）不能，理由：见解析.解析：（Ⅰ）记“A恰好得到3元”的事件为M，则.（Ⅱ）X可能变得取值为0,3,,9.由（Ⅰ）得,.所以X得分布列为.（Ⅲ）设B得到的金额为Y元，则Y的可能取值为0,3,.,所以Y的分布列为.设C得到的金额为Z元，则Z的可能取值为0，3.,.所以Z的分布列为.因此.所以从统计学的角度而言，A所获得的金额不能超过B和C两人所获得的金额之和.【思路点拨】（Ⅰ）利用古典概型的概率公式求解；(Ⅱ)先写出X的所有可能取值，然后求X取各值时的概率，得X的分布列，进而求得随机变量X的期望；（Ⅲ）再分别求出B、C两人所得金额的期望，与A所得金额的期望比较得结论.【【名校精品解析系列】数学理卷·2023届河南省郑州市高三第二次质量预测（202303）WORD版】19.（本小题满分12分）某商场每天（开始营业时）以每件150元的价格购人A商品若千件(A商品在商场的保鲜时间为10小时，该商场的营业时间也恰好为10小时），并开始以每件300元的价格出售，若前6小时内所购进的商品没有售完，则商场对没卖出的A商品将以每件100元的价格低价处理完毕（根据经验,4小时内完全能够把A商品低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再购进A商品）．该商场统计了100天A商品在每天的前6小时内的销售量，制成如下表格（注：视频率为概率）．（其中x＋y＝70)（I）若某天该商场共购人6件该商品，在前6个小时中售出4件．若这些产品被6名不同的顾客购买，现从这6名顾客中随机选2人进行服务回访，则恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个以100元价格购买的顾客的概率是多少？（II）若商场每天在购进5件A商品时所获得的平均利润最大，求x的取值范围．【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差．K2K6【答案】【解析】(Ⅰ);（Ⅱ）解析：（1）恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个以100元价格购买的顾客的概率是A,则………3分（2）设销售A商品获得的利润为（单位：元）,依题意,视频率为概率，为追求更多的利润，则商店每天购进的A商品的件数取值可能为4件，5件，6件.当购进A商品4件时，当购进A商品5件时，当购进A商品6件时，=………9分由题意，解得，又知，所以x的取值范围为，.………12分【思路点拨】（1）根据排列组合，可以求出总的事件的个数和满足条件的基本事件的个数，根据概率公式计算即可；（2）设销售A商品获得利润为X，则商店每天购进的A商品的件数取值可能为4件，5件，6件，分别求出其利润，根据题意列出不等式解得即可．【【名校精品解析系列】数学理卷·2023届河北省衡水中学高三下学期三调（一模）考试（202304）word版】18、（本小题满分12分）为了影响学校“学科文化节”活动，数学组举办了一场数学知识竞赛，共分为甲乙两组，其中甲组得满分的有1个女生和3个男生，乙组得满分的有2个女生和4个男生，现从得满分的学生中，每组个任选2个学生，作为数学组的活动代言人。（1）求选出的4个学生中恰有1个女生的概率；（2）设X的选出的4人学生中女生的人数，求X的分布列和数学期望。【知识点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．K6【答案】【解析】（1）；（2）见解析解析：（1）设“从甲组内选出的2个同学均为男同学；从乙组内选出的2个同学中，1个是男同学，1个为女同学”为事件A，“从乙组内选出的2个同学均为男同学；从甲组内选出的2个同学中1个是男同学，1个为女同学”为事件B，由于事件A､B互斥，且P（A）==，P（B）==，∴选出的4个同学中恰有1个女生的概率为P（A+B）=P（A）+P（B）=；（2）X可能的取值为0，1，2，3，P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，∴X的分布列为X0123P∴X的数学期望EX=．【思路点拨】（1）设“从甲组内选出的2个同学均为男同学；从乙组内选出的2个同学中，1个是男同学，1个为女同学”为事件A，“从乙组内选出的2个同学均为男同学；从甲组内选出的2个同学中1个是男同学，1个为女同学”为事件B，则所求概率为P（A+B），根据互斥事件的概率加法公式可求；（2）X可能的取值为0，1，2，3，利用古典概型的概率加法公式可求X取相应值时的概率，从而可得分布列，利用数学期望公式可求得期望值。【【名校精品解析系列】数学理卷·2023届江西省八所重点中学高三联考（202304）Word版】19.(本题12分)已知集合，函数的定义域、值域都是，且对于任意，.设是的任意一个排列，定义数表，若两个数表的对应位置上至少有一个数不同，就说这是两张不同的数表.（1）求满足条件的不同的数表的张数;(2)若()，从所有数表中任意抽取一张，记为表中的个数，求的分布列及期望.【知识点】排列、组合；离散型随机变量及其分布列J2K6【答案】【解析】(1)216(2)见解析解析：（1）9=……5分（2）p(=1)=,p(=2)=p(=3)=……9分因此，的分布列如下：123PE=2……12分【思路点拨】(1)由排列数易求结果.(2)由分布列的定义易求结果.【【名校精品解析系列】数学理卷·2023届广东省茂名市高三第二次模拟考试（202304）WORD版】3.若离散型随机变量的分布列为则的数学期望＝().A．2 B．2或C．D．1【知识点】离散型随机变量及其分布列．K6【答案】【解析】C解析：由离散型随机变量ξ分布列知：,解得，所以，故选C.【思路点拨】利用离散型随机变量ξ分布列的性质求解．【【名校精品解析系列】数学理卷·2023届天津市南开区高三一模考试（202304）】（16）（本小题满分13分）将编号为1，2，3，4的4个小球随机放到A、B、C三个不同的小盒中，每个小盒至少放一个小球．（Ⅰ）求编号为1，2的小球同时放到A盒的概率；（Ⅱ）设随机变量为放入A盒的小球的个数，求的分布列与数学期望．【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．K6【答案】【解析】（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析解析：（Ⅰ）设编号为1，2的小球同时放到A盒的概率为P，P==．…………4分（Ⅱ）=1，2，…………5分P(=1)==，P(=2)==，12P所以的分布列为…………11分的数学期望E()=1×+2×=．…………13分【思路点拨】（Ⅰ）设编号为1，2的小球同时放到A盒的概率为P，直接求解即可．（Ⅱ）ξ=1，2，求出概率，列出分布列，然后求解期望即可．【【名校精品解析系列】数学（理）卷·2023届湖北省黄冈中学等八校高三第二次模拟考试（202304）WORD版】20.（本小题满分12分）根据最新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在，各类人群可正常活动．某市环保局在2023年对该市进行了为期一年的空气质量检测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为，，，，，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图．（Ⅰ）求的值；并根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值