北师版数学选修4-5讲义：第2章§1　柯西不等式

§1柯西不等式1.1简单形式的柯西不等式1.2一般形式的柯西不等式1．认识柯西不等式的几种不同的形式，理解它们的几何意义，能证明柯西不等式的代数形式和向量形式．(重点、易混点)2．理解用参数配方法讨论柯西不等式一般情况的过程．(重点难点)3．能利用柯西不等式求特定函数的最值和进行简单的证明．(难点)[基础·初探]教材整理1简单形式的柯西不等式阅读教材P27～P28，完成下列问题．1．定理1对任意实数a，b，c，d，有(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当向量(a，b)与向量(c，d)共线时，等号成立．2．柯西不等式的向量形式设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式(a2＋b2)(d2＋c2)≥(ac＋bd)2是柯西不等式．()(2)(a＋b)(c＋d)≥(eq\r(ac)＋eq\r(bd))2，是柯西不等式，其中a，b，c，d为正数．()(3)在柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2中，a，b，c，d是任意实数．()【解析】柯西不等式中，四个数的组合是有对应顺序的，故(1)不对，(2)中，a，b，c，d可分别写成(eq\r(a))2，(eq\r(b))2，(eq\r(c))2，(eq\r(d))2，所以是正确的，(3)正确．【答案】(1)×(2)√(3)√教材整理2一般形式的柯西不等式阅读教材P29～P30“练习”以上部分，完成下列问题．1．定理2设a1，a2，…，an与b1，b2，…，bn是两组实数，则有(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n))(beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋…＋beq\o\al(2,n))≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当向量(a1，a2，…，an)与向量(b1，b2，…，bn)共线时，等号成立．2．推论设a1，a2，a3，b1，b2，b3是两组实数，则有(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))(beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋beq\o\al(2,3))≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2.当向量(a1，a2，a3)与向量(b1，b2，b3)共线时“＝”成立．在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为ai＝kbi(i＝1,2,3，…，n)，可以吗？【解】不可以．若bi＝0而ai≠0，则k不存在．[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]利用柯西不等式证明不等式(1)已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：|ax＋by|≤1；(2)设a，b，c为正数，求证：eq\r(a2＋b2)＋eq\r(b2＋c2)＋eq\r(a2＋c2)≥eq\r(2)(a＋b＋c)．【精彩点拨】本题考查柯西不等式及证明不等式的基础知识，考查推理论证能力及代数式的变式能力．解答本题(1)可逆用柯西不等式，而解答题(2)需将eq\r(a2＋b2)，eq\r(b2＋c2)，eq\r(a2＋c2)增补，使其满足柯西不等式左边结构方可应用．【自主解答】(1)|ax＋by|＝eq\r(ax＋by2)≤eq\r(a2＋b2x2＋y2)＝1.(2)由柯西不等式得：eq\r(a2＋b2)·eq\r(12＋12)≥a＋b，即eq\r(2)eq\r(a2＋b2)≥a＋b.同理：eq\r(2)eq\r(b2＋c2)≥b＋c，eq\r(2)eq\r(a2＋c2)≥a＋c.将上面三个同向不等式相加得：eq\r(2)(eq\r(a2＋b2)＋eq\r(a2＋c2)＋eq\r(b2＋c2))≥2(a＋b＋c)，所以eq\r(a2＋b2)＋eq\r(a2＋c2)＋eq\r(b2＋c2)≥eq\r(2)(a＋b＋c)．利用二维柯西不等式的代数形式证题时，要抓住不等式的基本特征：a2＋b2c2＋d2≥ac＋bd2，其中a，b，c，d∈R或a＋bc＋d≥\r(ac)＋\r(bd)2，其中a，b，c，d为正数.找出待证不等式中相应的两组数，当这两组数不太容易找时，需分析，增补特别是对数字的增补：如a＝1×a变形等.[再练一题]1．设a，b，c为正数，求证：eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥a＋b＋c.【证明】由柯西不等式eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(b))))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,\r(c))))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,\r(a))))\s\up12(2)))[(eq\r(b))2＋(eq\r(c))2＋(eq\r(a))2]≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(b))·\r(b)＋\f(b,\r(c))·\r(c)＋\f(c,\r(a))·\r(a)))eq\s\up12(2).于是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,b)＋\f(b2,c)＋\f(c2,a)))(a＋b＋c)≥(a＋b＋c)2，即eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥a＋b＋c.运用柯西不等式求参数范围已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝xyz，且不等式eq\f(1,x＋y)＋eq\f(1,y＋z)＋eq\f(1,z＋x)≤λ恒成立，求λ的取值范围.【导学号：94910029】【精彩点拨】“恒成立”问题需求eq\f(1,x＋y)＋eq\f(1,y＋z)＋eq\f(1,z＋x)的最大值，设法应用柯西不等式求最值．【自主解答】eq\f(1,x＋y)＋eq\f(1,y＋z)＋eq\f(1,z＋x)≤eq\f(1,2\r(xy))＋eq\f(1,2\r(yz))＋eq\f(1,2\r(zx))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1·\r(\f(z,x＋y＋z))＋1·\r(\f(x,x＋y＋z))＋1·\r(\f(y,x＋y＋z))))≤eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12＋12＋12\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(z,x＋y＋z)＋\f(x,x＋y＋z)＋\f(y,x＋y＋z)))))eq\s\up12(\f(1,2))＝eq\f(\r(3),2).故参数λ的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，＋∞)).此题也是通过构造转化应用柯西不等式，由此可见，应用柯西不等式，首先要对不等式形式、条件熟练掌握，然后根据题目的特点“创造性”应用定理.[再练一题]2．已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，试求a的取值范围．【解】由柯西不等式得，(2b2＋3c2＋6d2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,3)＋\f(1,6)))≥(b＋c＋d)2，即2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2.由条件可得，5－a2≥(3－a)2，解得1≤a≤2，所以实数a的取值范围是[1,2]．[探究共研型]利用柯西不等式求最值探究1柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2是如何证明的？【提示】要证(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，只要证a2c2＋b2c2＋a2d2＋b2d2≥a2c2＋2abcd＋b2d2，即证b2c2＋a2d2≥2abcd，只要证(bc－ad)2≥0.因为上式显然成立，故(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.探究2根据柯西不等式，下列结论成立吗？(1)(a＋b)(c＋d)≥(eq\r(ac)＋eq\r(bd))2(a，b，c，d为非负实数)；(2)eq\r(a2＋b2)·eq\r(c2＋d2)≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R)；(3)eq\r(a2＋b2)·eq\r(c2＋d2)≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R)．【提示】成立．已知x2＋2y2＋3z2＝eq\f(18,17)，求3x＋2y＋z的最小值．【精彩点拨】利用x2＋2y2＋3z2为定值，构造柯西不等式形式，再利用公式得出范围，求解最小值．【自主解答】(x2＋2y2＋3z2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(32＋\r(2)2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3))))\s\up12(2)))≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\r(2)y·\r(2)＋\r(3)z·\f(1,\r(3))))eq\s\up12(2)＝(3x＋2y＋z)2，∴(3x＋2y＋z)2≤(x2＋2y2＋3z2)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(32＋\r(2)2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3))))\s\up12(2)))＝12.∵－2eq\r(3)≤3x＋2y＋z≤2eq\r(3)，∴3x＋2y＋z的最小值为－2eq\r(3).利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要保证取到等号成立的条件.[再练一题]3．若3x＋4y＝2，试求x2＋y2的最小值及最小值点．【解】由柯西不等式(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，得25(x2＋y2)≥4，所以x2＋y2≥eq\f(4,25).当且仅当eq\f(x,3)＝eq\f(y,4)时“＝”成立，为求最小值点，需解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋4y＝2，,\f(x,3)＝\f(y,4)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(6,25)，,y＝\f(8,25).))因此，当x＝eq\f(6,25)，y＝eq\f(8,25)时，x2＋y2取得最小值，最小值为eq\f(4,25)，最小值点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,25)，\f(8,25))).[构建·体系]1．设x，y∈R，且2x＋3y＝13，则x2＋y2的最小值为()A.eq\r(13)B．169C．13D．0【解析】(2x＋3y)2≤(22＋32)(x2＋y2)，∴x2＋y2≥13.【答案】C2．已知a，b，c大于0，且a＋b＋c＝1，则a2＋b2＋c2的最小值为()A．1 B．4C.eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)【解析】根据柯西不等式，有(a2＋b2＋c2)(12＋12＋12)≥(a＋b＋c)2＝1，∴a2＋b2＋c2≥eq\f(1,3).【答案】C3．已知a2＋b2＋c2＝1，x2＋y2＋z2＝1，t＝ax＋by＋cz，则t的取值范围是()A．(0,1) B．(－1,1)C．(－1,0) D．[－1,1]【解析】设α＝(a，b，c)，β＝(x，y，z)．∵|α|＝eq\r(a2＋b2＋c2)＝1，|β|＝eq\r(x2＋y2＋z2)＝1，由|α||β|≥|α·β|，得|t|≤1.∴t的取值范围是[－1,1]．【答案】D4．已知x，y＞0，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,y)))的最小值为4，则xy＝________.【导学号：94910030】【解析】∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,y)))≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1·1＋\r(\f(1,xy))))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,\r(xy))))eq\s\up12(2)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,\r(