高中数学北师大版第一章立体几何初步 优秀作品

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是()A．4πS B．2πSC．πS \f(2\r(3),3)πS解析：设底面半径为r，高为h，则2πr＝h，且πr2＝S.∴圆柱侧面积为2πrh＝4π2r2＝4πS.答案：A2．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是()A．32 B．16＋16eq\r(2)C．48 D．16＋32eq\r(2)解析：由三视图知原几何体是一个底面边长为4，高是2的正四棱锥．如图：∵AO＝2，OB＝2，∴AB＝2eq\r(2).又∵S侧＝4×eq\f(1,2)×4×2eq\r(2)＝16eq\r(2)，S底＝4×4＝16，∴S表＝S侧＋S底＝16＋16eq\r(2).答案：B3．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是()A．28＋6eq\r(5) B．30＋6eq\r(5)C．56＋12eq\r(5) D．60＋12eq\r(5)解析：从所给的三视图可以得到该几何体的直观图，如图所示，结合图中的数据，利用勾股定理计算出各边的长度，进而求出面积．S表＝S底＋S侧＝eq\f(1,2)×4×5＋eq\f(1,2)×4×5＋eq\f(1,2)×5×4＋eq\f(1,2)×2eq\r(5)×6＝30＋6eq\r(5).答案：B4．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是18π，则母线长为()A．2 B．3C．4 D．2eq\r(2)解析：设圆台的上、下底面圆半径分别为r1，r2，母线长为l，则π(r1＋r2)l＝18π，即(r1＋r2)l＝18.又∵l＝eq\f(1,2)(r1＋r2)，∴2l2＝18，即l2＝9，∴l＝3.答案：B二、填空题(每小题5分，共10分)5．如图，在一个几何体的三视图中，主视图和左视图都是矩形，俯视图是等腰直角三角形(如下图)，根据图中标注的长度，可以计算出该几何体的表面积是________．解析：如图，该几何体为底面为等腰直角三角形的直棱柱．由图知AB＝AC，BC＝2eq\r(2)，AB⊥AC.∴S表＝2·eq\f(AB·AC,2)＋2×2×2＋2×2eq\r(2)＝12＋4eq\r(2).答案：12＋4eq\r(2)6．如图所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，钻一个直径为1的圆柱形孔，所得几何体的表面积为________．解析：几何体的表面积为S＝6×22－π××2＋2π××2＝24－π＋2π＝24＋π.答案：24＋π三、解答题(每小题10分，共20分)7.如图所示，底面半径为6，母线长为8的圆柱，AB是该圆柱的一条母线，一蜘蛛沿圆柱的侧面从A爬到B，试计算爬行的最短路程．解析：圆柱的侧面展开图是矩形ABCD，如图所示，则爬行的最短路程是AC.因为AB＝8，BC＝2π×6＝12π，所以AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(82＋12π2)＝eq\r(64＋144π2)，即爬行的最短路程为eq\r(64＋144π2).8．已知四棱锥S－ABCD的底面是菱形，AC＝80cm，BD＝60cm，AC∩BD＝O，SO⊥平面ABCD，SO＝32cm，求它的侧面积．解析：如图，AC＝80cm，BD＝60cm.则AO＝40cm，OB＝30cm，由于AC⊥BD，∴AB＝eq\r(AO2＋OB2)＝50(cm)．过O向BC作垂线，垂足为M，连接SM.由OM·BC＝OB·OC，知OM＝eq\f(OB·OC,BC)＝eq\f(30×40,50)＝24(cm)，∴SM＝eq\r(OM2＋SO2)＝eq\r(242＋322)＝40cm，∴S侧＝4×eq\f(1,2)×BC×SM＝4×eq\f(1,2)×50×40＝4000(cm2)．eq\x(尖子生题库)☆☆☆9．(10分)已知某圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，你能求出此圆柱的表面积吗？求一求，看一下答案是唯一的吗？解析：圆柱的侧面积S侧＝6π×4π＝24π2.(1)以边长为6π的边为高时，4π为圆柱底面周长．∴2πr＝4π