高中数学人教A版第三章不等式 全国公开课

第二章第1课时基础巩固一、选择题1．已知a<0，－1<b<0，则下列各式正确的是eq\x(导学号54742610)(D)A．a>ab>ab2 B．ab>a>ab2C．ab2>ab>a D．ab>ab2>a[解析]∵－1<b<0，∴1>b2>0>b>－1，即b<b2<1，两边同乘以a得，∴ab>ab2>a.故选D．2．如果a、b、c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是eq\x(导学号54742611)(C)A．ab>ac B．bc>acC．cb2<ab2 D．ac(a－c)<0[解析]∵c<b<a，且ac<0，∴a>0，c<0.∴ab－ac＝a(b－c)>0，bc－ac＝(b－a)c>0，ac(a－c)<0，∴A、B、D均正确．∵b可能等于0，也可能不等于0.∴cb2<ab2不一定成立．3．已知：a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是eq\x(导学号54742612)(B)A．若a>b，c>b，则a>cB．若a>－b，则c－a<c＋bC．若a>b，c<d，则eq\f(a,c)>eq\f(b,d)D．若a2>b2，则－a<－b[解析]选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立；选项C不满足倒数不等式的条件，如a>b>0，c<0<d时，不成立；选项D只有a>b>0时才可以．否则如a＝－1，b＝0时不成立，故选B．4．下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是eq\x(导学号54742613)(C)A．lg(x2＋1)≥lg(2x) B．x2＋1>2xC．eq\f(1,x2＋1)≤1 D．x＋eq\f(1,x)≥2[解析]A中x>0；B中x＝1时，x2＋1＝2x；C中任意x，x2＋1≥1，故eq\f(1,x2＋1)≤1；D中当x<0时，x＋eq\f(1,x)<0.5．下列命题正确的是eq\x(导学号54742614)(D)A．若ac>bc，则a>b B．若a2>b2，则a>bC．若eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，则a<b D．若eq\r(a)<eq\r(b)，则a<b[解析]对于A，若c<0，其不成立；对于B，若a、b均小于0或a<0，其不成立；对于C，若a>0，b<0，其不成立；对于D，其中a≥0，b>0，平方后显然有a<b.6．若a>b>0，c<d<0，则一定有eq\x(导学号54742615)(D)A．eq\f(a,c)>eq\f(b,d) B．eq\f(a,c)<eq\f(b,d)C．eq\f(a,d)>eq\f(b,c) D．eq\f(a,d)<eq\f(b,c)[解析]eq\f(a,c)－eq\f(b,d)＝eq\f(ad－bc,cd)，cd>0，而ad－bc的符号不能确定，所以选项A、B不一定成立.eq\f(a,d)－eq\f(b,c)＝eq\f(ac－bd,dc)，dc>0，由不等式的性质可知ac<bd，所以选项D成立．本题也可以对实数a、b、c、d进行适当的赋值逐一排查．二、填空题7．若a＞b，则a3与b3的大小关系是a3＞\x(导学号54742616)8．若x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，则x与y的大小关系是x＜\x(导学号54742617)[解析]x－y＝(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8∴x＜y.三、解答题9．有粮食和石油两种物质，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输效果如下表：eq\x(导学号54742618)方式效果种类轮船运输量(t)飞机运输量(t)粮食300150石油250100现在要在一天内运输2000t粮食和1500t石油．写出安排轮船艘数和飞机架数所满足的所有不等关系的不等式．[解析]设需安排x艘轮船和y架飞机，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300x＋150y≥2000,250x＋100y≥1500,x≥0,y≥0))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6x＋3y≥40,5x＋2y≥30,x≥0,y≥0)).10．(1)a<b<0，求证：eq\f(b,a)<eq\f(a,b)；(2)已知a>b，eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，求证：ab>\x(导学号54742619)[解析](1)eq\f(b,a)－eq\f(a,b)＝eq\f(b2－a2,ab)＝eq\f(b＋ab－a,ab)，∵a<b<0，∴b＋a<0，b－a>0，ab>0，∴eq\f(b＋ab－a,ab)<0，故eq\f(b,a)<eq\f(a,b).(2)∵eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，∴eq\f(1,a)－eq\f(1,b)<0，即eq\f(b－a,ab)<0，而a>b，∴b－a<0，∴ab>0.能力提升一、选择题11．设a＝sin15°＋cos15°，b＝sin16°＋cos16°，则下列各式正确的是eq\x(导学号54742620)(B)A．a<eq\f(a2＋b2,2)<b B．a<b<eq\f(a2＋b2,2)C．b<a<eq\f(a2＋b2,2) D．b<eq\f(a2＋b2,2)<a[解析]a＝sin15°＋cos15°＝eq\r(2)sin60°，b＝sin16°＋cos16°＝eq\r(2)sin61°，∴a<b，排除C、D两项．又∵a≠b，∴eq\f(a2＋b2,2)－ab＝eq\f(a－b2,2)>0，∴eq\f(a2＋b2,2)>ab＝eq\r(2)sin60°×eq\r(2)sin61°＝eq\r(3)sin61°>eq\r(2)sin61°＝b，故a<b<eq\f(a2＋b2,2)成立．12．已知－1<a<0，A＝1＋a2，B＝1－a2，C＝eq\f(1,1＋a)，比较A、B、C的大小结果为eq\x(导学号54742621)(B)A．A<B<C B．B<A<CC．A<C<B D．B<C<A[解析]不妨设a＝－eq\f(1,2)，则A＝eq\f(5,4)，B＝eq\f(3,4)，C＝2，由此得B<A<C，排除A、C、D，选B．具体比较过程如下：由－1<a<0得1＋a>0，A－B＝(1＋a2)－(1－a2)＝2a2>0得A>BC－A＝eq\f(1,1＋a)－(1＋a2)＝－eq\f(aa2＋a＋1,1＋a)＝－eq\f(a\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))2＋\f(3,4))),1＋a)>0，得C>A，∴B<A<C．13．(2023·四川文，7)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2023年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是eq\x(导学号54742622)(B)(参考数据：＝，＝，lg2＝A．2023年 B．2023年C．2023年 D．2023年[解析]设经过x年后该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，则130(1＋12%)x>200，即>eq\f(2,⇒x>eq\f(lg\f(2,,＝eq\f(lg2－,＝eq\f－,＝，所以该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2023年．二、填空题14．给出四个条件：①b＞0＞a，②0＞a＞b，③a＞0＞b，④a＞b＞0，能推得eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)成立的是①、②、④.eq\x(导学号54742623)[解析]eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)⇔eq\f(b－a,ab)＜0，∴①、②、④能使它成立．15．a≠2、b≠－1、M＝a2＋b2、N＝4a－2b－5，比较M与N大小的结果为M＞\x(导学号54742624)[解析]∵a≠2，b≠－1，∴M－N＝a2＋b2－4a＋2b＋5＝(a－2)2＋(b＋1)2＞0，∴M>N三、解答题16．某矿山车队有4辆载重为10t的甲型卡车和7辆载重为6t的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式.eq\x(导学号54742625)[解析]设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆．根据题意，应有如下的不等关系：(1)甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数．(2)车队每天至少要运360t矿石．(3)甲型车不能超过4辆，乙型车不能超过7辆．要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤9,10×6x＋6×8y≥360,0≤x≤4,0≤y≤7))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤9,5x＋4y≥30,0≤x≤4,0≤y≤7)).17．设a>0，b>0且a≠b，试比较aabb与abba的大小.eq\x(导学号54742626)[解析